Esercizio cinematica
Devo risolvere il seguente esercizio:
la traiettoria di un punto nello spazio è espressa con:
$ x(t)=4cos6t;
$ y(t)=4sin6t;
$ z(t)=3t $
calcolare la lunghezza d'arco percorsa dal punto in movimento dopo un tempo $ ts=5s $
Innanzitutto determiniamo la velocità con la quale il punto si muove, quindi deriviamo :
$ x'(t)=-24sin6t;
$ y'(t)=24cos6t;
$ z'(t)=3 $ ottenendo la velocità vettoriale; a questo punto possiamo trovare il modulo:
$ s'(t)=sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2)=sqrt(576sin^(2)6t+576cos^(2)6t+9)=sqrt(585) ~~ 24,186 $ e rappresenta proprio la velocità con la quale il punto si muovo sulla traiettoria.
La distanza percorsa vale
$ s=int s'(t)*dt=int x'(t)*dt+int y'(t)*dt+int z'(t)*dt =(-4cos6t+4sin6t+3t)+c $
Nella soluzione la quantità $ s ~~ 100 $ . Ma non riesco a capire come la ricava !! Dove sbaglio oppure cosa mi manca??
la traiettoria di un punto nello spazio è espressa con:
$ x(t)=4cos6t;
$ y(t)=4sin6t;
$ z(t)=3t $
calcolare la lunghezza d'arco percorsa dal punto in movimento dopo un tempo $ ts=5s $
Innanzitutto determiniamo la velocità con la quale il punto si muove, quindi deriviamo :
$ x'(t)=-24sin6t;
$ y'(t)=24cos6t;
$ z'(t)=3 $ ottenendo la velocità vettoriale; a questo punto possiamo trovare il modulo:
$ s'(t)=sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2)=sqrt(576sin^(2)6t+576cos^(2)6t+9)=sqrt(585) ~~ 24,186 $ e rappresenta proprio la velocità con la quale il punto si muovo sulla traiettoria.
La distanza percorsa vale
$ s=int s'(t)*dt=int x'(t)*dt+int y'(t)*dt+int z'(t)*dt =(-4cos6t+4sin6t+3t)+c $
Nella soluzione la quantità $ s ~~ 100 $ . Ma non riesco a capire come la ricava !! Dove sbaglio oppure cosa mi manca??
Risposte
Mah secondo me lei si complica inutilmente la vita...intendo dire che avendo la r(t) in forma vettoriale basta porre t=5 e scopriamo (automaticamente) i valori della x, della y e della z in quel punto. Nella fattispecie
$\vec r(t) = 4\cos 6t i + 4 \sin 6t j + 3t k\implies \vec r(5) = 4\cos 30 i + 4 \sin 30j+15k$ ora bisognerebbe vedere se quegli angoli sono dati in radianti o in gradi...
$\vec r(t) = 4\cos 6t i + 4 \sin 6t j + 3t k\implies \vec r(5) = 4\cos 30 i + 4 \sin 30j+15k$ ora bisognerebbe vedere se quegli angoli sono dati in radianti o in gradi...
Io ho come sensazione che non puoi semplicemente calcolare il modulo del vettore posizione come hai fatto tu, perchè in questo caso otteresti una traiettoria rettilinea mentre il percorso è curvo...
$| v(t)|=| r'(t)|= (ds)/(dt)$ da cui $ds= |r'(t)|dt$ e per trovare lo spazio integri : $s(t)= int_( t_0)^(t )| r'(t)|dt$
"legendre":
$| v(t)|=| r'(t)|= (ds)/(dt)$ da cui $ds= |r'(t)|dt$ e per trovare lo spazio integri : $s(t)= int_( t_0)^(t )| r'(t)|dt$
Ma è proprio quello che ho fatto !!
"raffaele.russo2":
$ z'(t)=3 $ ottenendo la velocità vettoriale; a questo punto possiamo trovare il modulo:
$ s'(t)=sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2)=sqrt(576sin^(2)6t+576cos^(2)6t+9)=sqrt(585) ~~ 24,186 $ e rappresenta proprio la velocità con la quale il punto si muovo sulla traiettoria.
questo quasi ok
ma poi spezzi l'integrale incomprensibilmente:
"raffaele.russo2":
La distanza percorsa vale
$ s=int s'(t)*dt=int x'(t)*dt+int y'(t)*dt+int z'(t)*dt =(-4cos6t+4sin6t+3t)+c $
Nella soluzione la quantità $ s ~~ 100 $ . Ma non riesco a capire come la ricava !! Dove sbaglio oppure cosa mi manca??
Lo "spezzo" perchè $ s'(t)=x'(t)+y'(t)+z'(t) $ e per il teorema di linearità dell'integrale faccio ciò che ho fatto !!
"raffaele.russo2":
$ z'(t)=3 $ ottenendo la velocità vettoriale; a questo punto possiamo trovare il modulo:
$ s'(t)=sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2)=sqrt(576sin^(2)6t+576cos^(2)6t+9)=sqrt(585) ~~ 24,186 $ e rappresenta proprio la velocità con la quale il punto si muovo sulla traiettoria.
Ma anche tu hai scritto che $ s'(t)=sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2)$
Come fa ad essere ora:
"raffaele.russo2":
La distanza percorsa vale
$ s=int s'(t)*dt=int x'(t)*dt+int y'(t)*dt+int z'(t)*dt =(-4cos6t+4sin6t+3t)+c $
Nella soluzione la quantità $ s ~~ 100 $ . Ma non riesco a capire come la ricava !! Dove sbaglio oppure cosa mi manca??
si scusami ho fatto un pò di confusione effettivamente ! ma quindi devo integrare tutta quella robaccia sotto radice???
si ma non e' robaccia se vedi e' robetta:integrare una costante $sqrt(585)$
quindi $ sqrt(585)t=24,186 $ e sostituendo $ t=5 $ oTtengo $ 24,186*5=120,93 $ giusto???
si se e' $t in [0,5]$ e il risultato di $100$ e' toppato.
cosa intendi per toppato??? approssimato notevolmente o addirittura errato???
troppo approssimato.se $s$ e' misurato in metri e ci sono 2 corridori centometristi tra $100m$ e $120m$ c'e' una bella differenza.Se e' in kilometri e percorro la distanza in macchina $20km$ e' una bella differenza
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