Esercizio cinematica
Buonasera. Mi piacerebbe avere il vostro parere su questo semplice problema di fisica!
Riporto il testo.
Io ho pensato alla seguente soluzione. Scusate in anticipo se mi fermerò a specificare anche dettagli che possono apparire insignificanti, ma ho bisogno di avere chiare anche le inezie di un problema per capirlo a fondo.
La mano ha una velocità iniziale costante e il sasso è a contatto con la mano. Il sasso è sottoposto alla forza di gravità, quindi ad una forza $m_sg$ diretta verso il basso, e il fatto che sia a contatto con la mano significa che è sottoposto anche a una reazione vincolare $f_c$. Il vincolo della mano fa sì che il sasso si muova insieme alla mano (cioè con la stessa velocità della mano) fintantoché questa esercita sul sasso la suddetta reazione vincolare; ergo, sasso e mano si muovono con la stessa legge oraria finché $f_c$ non si annulla. Quando $f_c$ si annulla, sul sasso agisce solo l'accelerazione di gravità $g$. Allora la condizione per cui il sasso abbandona la mano diventa
$a(t)=g$
che si ha per $t=T$. Quindi ho
$(1/2 g t) = g$
da cui ricavo $t=T=2 s$.
Vi chiederei, in primo luogo, di controllare se il ragionamento è corretto.
In secondo luogo, vorrei sapere se è possibile ricavare una formula analitica per $f_c$, dipendente dal parametro tempo $t$, in modo da avere come condizione risolutrice $f_c(t)=0$. Mi viene più naturale pensare alla condizione di distacco come $f_c(t)=0$ invece di $a(t)=g$, benché entrambe ugualmente valide. So che bisognerebbe tirare in ballo le masse della mano e del sasso, complicando magari il problema, però mi incuriosiva andare fino in fondo alla questione. Io ho fatto alcuni tentativi ma suppongo sbagliati, vorrei avere chiarezza da qualcuno di più sicuro di me sul tema.
Ringrazio anticipatamente e sentitamente chi vorrà aiutarmi!
Riporto il testo.
Si lancia verticalmente verso l'alto un sasso appoggiandolo alla mano e accompagnandolo per un certo tempo. La mano ha una velocità iniziale di modulo $v_0$ ed una decelerazione di modulo $a=(1/2 g t) m/s^2$. Calcolare, trascurando la resistenza dell'aria, l'istante $T$ in cui il sasso abbandona la mano.
Io ho pensato alla seguente soluzione. Scusate in anticipo se mi fermerò a specificare anche dettagli che possono apparire insignificanti, ma ho bisogno di avere chiare anche le inezie di un problema per capirlo a fondo.
La mano ha una velocità iniziale costante e il sasso è a contatto con la mano. Il sasso è sottoposto alla forza di gravità, quindi ad una forza $m_sg$ diretta verso il basso, e il fatto che sia a contatto con la mano significa che è sottoposto anche a una reazione vincolare $f_c$. Il vincolo della mano fa sì che il sasso si muova insieme alla mano (cioè con la stessa velocità della mano) fintantoché questa esercita sul sasso la suddetta reazione vincolare; ergo, sasso e mano si muovono con la stessa legge oraria finché $f_c$ non si annulla. Quando $f_c$ si annulla, sul sasso agisce solo l'accelerazione di gravità $g$. Allora la condizione per cui il sasso abbandona la mano diventa
$a(t)=g$
che si ha per $t=T$. Quindi ho
$(1/2 g t) = g$
da cui ricavo $t=T=2 s$.
Vi chiederei, in primo luogo, di controllare se il ragionamento è corretto.
In secondo luogo, vorrei sapere se è possibile ricavare una formula analitica per $f_c$, dipendente dal parametro tempo $t$, in modo da avere come condizione risolutrice $f_c(t)=0$. Mi viene più naturale pensare alla condizione di distacco come $f_c(t)=0$ invece di $a(t)=g$, benché entrambe ugualmente valide. So che bisognerebbe tirare in ballo le masse della mano e del sasso, complicando magari il problema, però mi incuriosiva andare fino in fondo alla questione. Io ho fatto alcuni tentativi ma suppongo sbagliati, vorrei avere chiarezza da qualcuno di più sicuro di me sul tema.
Ringrazio anticipatamente e sentitamente chi vorrà aiutarmi!
Risposte
Il ragionamento e' giusto.
La formula analitica e' semplice: la risultante delle forze applicate al sasso deve essere uguale alla massa del sasso moltiplicata l'accelerazione, che a sua volta, siccome il sasso sta attaccato alla mano, deve essere quella della mano.
Preso un sistema di riferimento orientato verso l'alto, sul sasso agiscono 2 forze: il peso e la reazione vincolare da te indicata come $f_c$.
Risulta $f_c-mg=-m*1/2g*t$. Quando $f_c=0$ significa che il sasso si e' staccato. Allora da $-mg=-m*1/2g*t$ si ricava subito t=2
La formula analitica e' semplice: la risultante delle forze applicate al sasso deve essere uguale alla massa del sasso moltiplicata l'accelerazione, che a sua volta, siccome il sasso sta attaccato alla mano, deve essere quella della mano.
Preso un sistema di riferimento orientato verso l'alto, sul sasso agiscono 2 forze: il peso e la reazione vincolare da te indicata come $f_c$.
Risulta $f_c-mg=-m*1/2g*t$. Quando $f_c=0$ significa che il sasso si e' staccato. Allora da $-mg=-m*1/2g*t$ si ricava subito t=2
Si lancia verticalmente verso l'alto un sasso appoggiandolo alla mano e accompagnandolo per un certo tempo. La mano ha una velocità iniziale di modulo $ v_0 $ ed una decelerazione di modulo $ a=(1/2 g t) m/s^2 $. Calcolare, trascurando la resistenza dell'aria, l'istante $ T $ in cui il sasso abbandona la mano.
Dal punto di vista dell' omogeneità dimensionale , questo testo è veramente un obbrobrio !
Una decelerazione ( ovvero , accelerazione contraria alla velocità vettoriale) , non può avere quel modulo , se $g$ è la "solita" accelerazione di gravita! Il prodotto $g*t $ ha le dimensioni di una velocità , non di una accelerazione !
Forse il testo voleva dire che : $a = 4.9t m/s^2$ , allora è un altro discorso .
"Shackle":
Dal punto di vista dell' omogeneità dimensionale , questo testo è veramente un obbrobrio !
Una decelerazione ( ovvero , accelerazione contraria alla velocità vettoriale) , non può avere quel modulo , se $g$ è la "solita" accelerazione di gravita! Il prodotto $g*t $ ha le dimensioni di una velocità , non di una accelerazione !
Forse il testo voleva dire che : $a = 4.9t m/s^2$ , allora è un altro discorso .
Ho notato anche io questa ambiguità nel testo, Shackle! Mi sono permessa di interpretare $1/2$ come un coefficiente di dimensioni di s/m per far tornare l'omogeneità.
professorkappa, ti ringrazio per la tua celere risposta!
In effetti trovare l'espressione $f_c(t)$ è immediato considerando il diagramma delle forze sul sasso.
Ciò che io continuavo testardamente a fare, senza riuscirci, era cercare di esprimere $f_c(t)$ a partire dal diagramma delle forze sulla mano. Posto due disegni per chiarire la situazione.
dove:
$w_m$ è il peso della mano;
$w_s$ è il peso del sasso;
$f_c$ è la forza di contatto, cioè la reazione vincolare;
$f$ è la forza esterna che deve essere esercitata sulla mano per bilanciare i pesi quando il sistema si muove di moto rettilineo uniforme;
$f_a$ è la forza agente sulla mano che subentra quando la mano comincia a decelerare.
in seguito intenderò:
$m_m$ massa della mano;
$m_s$ massa del sasso.
Quando $a=0$, si ricava subito $f_c=w_s$ e, di conseguenza, $f=w_s+w_m$ (naturalmente sto esprimendo tutto in modulo).
[Fin qui naturalmente mi è tutto chiaro. Ora forse comincerà ad esserci qualche errore nel mio ragionamento, se riesci ad individuarlo mi faresti un grande favore.]
Scrivo l'equazione delle forze sulla mano, proiettando i vettori su un asse orientato verso l'alto:
$m_ma(t)=f-f_a-f_c-w_m$
se mi baso sulla situazione precedente, ho $f=w_m+w_s$ e $f_c=w_s$, quindi, riscrivendo l'equazione, ho:
$m_ma(t)=w_m+w_s-f_a-w_s-w_m$ , da cui $m_ma(t)=f_a$, cioè la forza decelerante è la risultante delle forze.
Mi rendo conto però che così non riesco a ricavare un'espressione di $f_c$ dipendente dal tempo, anche perché per ottenere $m_ma(t)=f_a$ devo ri-porre $f_c=w_s$, quindi ad una costante, non a qualcosa che dipende dal tempo, in contrasto con il mio obiettivo di ottenere $f_c(t)$
Qualche fallacia nel mio ragionamento c'è ed è sicuramente banale, ma i miei occhi ancora non la vedono. Riusciresti ad indicarmela?
Innanzitutto, in effetti Shackle ha ragione, dimensionalmente l'accelerazione data e' balorda.
Ma si puo' ovviare ammettento che "g" non sia la g canonica ma una costante (chiamiamola k per non confonderci) che vale $9.81$ e dimensionalmente e' in $m/sec^3$.
In queste condizioni, l'equazione dovrebbe essere riscritta come:
$f_c-mg=-1/2mkt$
Da cui, seguendo il ragionamento sopra: $mg=1/2mkt$, e quindi $t=[2g [m/sec^2]]/[k [m/sec^3]]$. Essendo k=g in valore, si riottiene 2 sec.
Avendo aggirato il problema dimensionale, non capisco il motivo di tutti quei calcoli che mi propongo di rivedere solo per curiosita': la forza $f_c$ in funzione del tempo e' proprio $f_c=mg-1/2mkt$, lineare con il tempo.....
Ma si puo' ovviare ammettento che "g" non sia la g canonica ma una costante (chiamiamola k per non confonderci) che vale $9.81$ e dimensionalmente e' in $m/sec^3$.
In queste condizioni, l'equazione dovrebbe essere riscritta come:
$f_c-mg=-1/2mkt$
Da cui, seguendo il ragionamento sopra: $mg=1/2mkt$, e quindi $t=[2g [m/sec^2]]/[k [m/sec^3]]$. Essendo k=g in valore, si riottiene 2 sec.
Avendo aggirato il problema dimensionale, non capisco il motivo di tutti quei calcoli che mi propongo di rivedere solo per curiosita': la forza $f_c$ in funzione del tempo e' proprio $f_c=mg-1/2mkt$, lineare con il tempo.....
In effetti, ai fini della risoluzione del problema, usare il secondo principio della dinamica sulla mano è molto più laborioso che usarlo sul sasso. Però volevo assicurarmi di aver capito le leggi della dinamica e della cinematica provando a risolvere il problema dal punto di vista della mano, e questo ha messo in evidenza che ho ancora dei dubbi. Grazie davvero per il tuo tempo (:
Si , quando ho scritto questo :
ho sottinteso che il coefficiente $4.9$ abbia dimensioni $ [LT^-3]$ , e quindi nel SI quel coefficiente valga $4.9m*s^-3$ . Moltiplicando per un tempo , si ottiene $a$ in $m/s^2$ .
"Shackle":
Forse il testo voleva dire che : $a = 4.9t m/s^2$ , allora è un altro discorso .
ho sottinteso che il coefficiente $4.9$ abbia dimensioni $ [LT^-3]$ , e quindi nel SI quel coefficiente valga $4.9m*s^-3$ . Moltiplicando per un tempo , si ottiene $a$ in $m/s^2$ .
Enrico, e' un po' sporca cosi. Non so se puoi pubblicizzare i tuoi libri con queste tecniche di spam. Se puoi mi taccio, am anche in quel caso, invece di spammare ogni singolo messaggio non ti converrebbe aprire un post apposito?
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