Esercizio cilindro conduttore con due cavità

[AlettaDePollo]

Sto preparando esame di fisica 2 e ho dei dubbi riguardo lo svolgimento di questo esercizio.

Si ha un cilindro conduttore indefinito di raggio $R$ attraversato da due cavità cilindriche con rispettivi raggi pari a $R_1=R_2=R/3$ e posti a distanza $d=\bar{OO_1}=\bar{OO_2}=R/2$ con $O$ centro del cilindro conduttore. Il cilindro è attraversato da una corrente continua $I$ con densità di corrente $\vec J$ parallela a $\hat z$, uscente dal piano del foglio ($\hat z$ è perpendicolare alla direzione del raggio).

$a)$ Determinare la densità di corrente J che attraversa il cilindro:
Questo punto l'ho risolto applicando la formula $i=\int_S \vec J * \hat n dS$, utilizzando come area della sezione trasversale, la differenza tra l'area totale del cilindro conduttore e le due aree delle cavità.

$b)$ Determinare il campo di induzione magnetica $\vec B$, in modulo, direzione e verso, nel generico punto $P$, posto nel vuoto sull'asse $x$:

Per questo punto ho delle difficoltà, vi spiego come pensavo di risolverlo:
Applico la legge di Ampère-Maxwell per una circonferenza di raggio generico r $\oint \vec B * d\vec l = \mu_0 i_c$ da cui, essendo che per la simmetria cilindrica le linee di campo sono concentriche al cilindro conduttore e $\vec B$ con direzione tangenziale ad esse, si ha che $2\pirB(r)=\mu_0I$.
Quindi il modulo sarà $B(r)=(\mu_0I)/(2\pir)$ ed avrà direzione tangenziale alle linee di campo, verso dato dalla regola della mano destra (antiorario).
E' corretto come ragionamento o sto sbagliando qualcosa?

[ingres]

Il sistema non è esattamente simmetrico, ovvero il campo dipende non solo dalla distanza dal centro ma anche dall'angolo, per cui conviene vederlo come la sovrapposizione di 3 correnti:
1) corrente di densità J che occupa l'intero cilindro
2) prima corrente di densità -J distante R/2 dal centro e raggio R/3
3) seconda corrente di densità -J distante R/2 dal centro e raggio R/3

In questo modo le cavità hanno comunque corrente nulla, ma ciascuna delle correnti, presa singolarmente, gode della simmetria cilindrica per cui è possibile calcolarne il campo sia interno che esterno.
Una volta calcolati i singoli campi, questi si sommano vettorialmente per ottenere il campo complessivo.

[AlettaDePollo]

Grazie per la risposta, quindi il campo $\vec B$ per le due cavità sarà dato da $B(r')=(\mu_0 I_(cavità))/(2\pir')$ dove $r'$ è la distanza dal centro della cavità al punto P ovvero $\sqrt (r^2 + d^2)$, giusto?

[ingres]

E' meglio precisare che per il campo esterno ad ogni cilindro vale il T. di Ampere con tutta la corrente e quindi la classica formula del campo di un filo (stando attenti a come si definisce la distanza dal centro di ogni cilindro), ma internamente l'andamento è diverso. La corrente inclusa all'interno della circonferenza di raggio minore a quello del cilindro non è tutta la corrente, ma solo una porzione data dalla densità di corrente per l'area.
Applicando il T. di Ampere si può quindi facilmente trovare che internamente il campo varia linearmente con la distanza dal relativo centro. Risulta ad es. per il cilindro grande centrato in O

$B*2 pi r = mu_0*J * pi r^2$

da cui

$B = mu_0 J/2 r$

Quindi se l'asse x è l'asse di simmetria in cui giacciono tutti i centri, studiando solo per simmetria x>0, avremo che il campo della cavità di sinistra è tutto esterno, quello della cavità di destra è interno per R/6 Per x>R tutti i campi sono esterni e centrati rispettivamente a x=-d, x=0, x=d.

Se l'asse x è invece quello perpendicolare all'asse dei centri allora su x c'è solo il cilindro grande che è interno per 0

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[AlettaDePollo]

Grazie di nuovo per il chiarimento!
Preciso che l'asse x è quello perpendicolare all'asse dei centri quindi la distanza di quelli delle cavità è effettivamente $\sqrt (x^2 + d^2)$.