Esercizio ciclo Carnot
Buonasera a tutti!
Eccomi di nuovo tra voi per un dubbio che mi attanaglia. Probabilmente sto diventando sempre più lento col passare del tempo, ma non riesco a venirne a capo da solo, per cui mi rivolgo a voi ben più esperti nella speranza che possiate aiutarmi.
Nel risolvere il seguente problema tratto dal libro FTE di Fabbri-Masini sono andato di pilota automatico e ho svolto in questo modo:
a) $eta_C=1-T_f/T_c=1-(280K)/(400K)=0,3=30%$
b) $Q_(ass)=Q_(AB)=nRTln(V_B/V_A)=3mol*8,314J/(mol*K)*400K*ln((1,2V_A)/V_A)=1819J$
$Q_(ced)=Q_(CD)=nRTln(V_D/V_C)=3mol*8,314J/(mol*K)*280K*ln((0,8V_C)/V_C)=-1558J$
c) $W=Q_(ass)-|Q_(ced)|=1819J-1558J=261J$
d) $eta=1-|Q_(ced)|/Q_(ass)=1-(1558J)/(1819J)=0,14=14%$
Ora, come dicevo, sono andato di pilota automatico, ma, una volta risolto, mi sono sorti due dubbi: il primo riguarda l'ultimo risultato, il rendimento pari a 0,14 che è diverso dal risultato del libro. Il secondo riguarda più la teoria (e cerco di spiegarmi): il rendimento di un ciclo di Carnot (due adiabatiche e due isoterme reversibili) si può calcolare con la formula $eta_C=1-T_f/T_c$, ma continuano anche a valere le formule più generali del rendimento, cioè $eta=W/Q_(ass)$ e $eta=1-|Q_(ced)|/Q_(ass)$. In particolare quest'ultima mi assicura che $T_f/T_c=|Q_(ced)|/Q_(ass)$. Ma allora perché, applicando le due formule del rendimento (quella di Carnot e quella con i calori) nel punto a) e nel punto d) ottengo due rendimenti diversi? Il ciclo è sempre quello. I calori li ho calcolati con le formule dell'isoterma applicate al ciclo di Carnot. Non riesco a venirne a capo.
Ringrazio sin d'ora quanti risponderanno e, come sempre,
saluti
Eccomi di nuovo tra voi per un dubbio che mi attanaglia. Probabilmente sto diventando sempre più lento col passare del tempo, ma non riesco a venirne a capo da solo, per cui mi rivolgo a voi ben più esperti nella speranza che possiate aiutarmi.
Nel risolvere il seguente problema tratto dal libro FTE di Fabbri-Masini sono andato di pilota automatico e ho svolto in questo modo:
a) $eta_C=1-T_f/T_c=1-(280K)/(400K)=0,3=30%$
b) $Q_(ass)=Q_(AB)=nRTln(V_B/V_A)=3mol*8,314J/(mol*K)*400K*ln((1,2V_A)/V_A)=1819J$
$Q_(ced)=Q_(CD)=nRTln(V_D/V_C)=3mol*8,314J/(mol*K)*280K*ln((0,8V_C)/V_C)=-1558J$
c) $W=Q_(ass)-|Q_(ced)|=1819J-1558J=261J$
d) $eta=1-|Q_(ced)|/Q_(ass)=1-(1558J)/(1819J)=0,14=14%$
Ora, come dicevo, sono andato di pilota automatico, ma, una volta risolto, mi sono sorti due dubbi: il primo riguarda l'ultimo risultato, il rendimento pari a 0,14 che è diverso dal risultato del libro. Il secondo riguarda più la teoria (e cerco di spiegarmi): il rendimento di un ciclo di Carnot (due adiabatiche e due isoterme reversibili) si può calcolare con la formula $eta_C=1-T_f/T_c$, ma continuano anche a valere le formule più generali del rendimento, cioè $eta=W/Q_(ass)$ e $eta=1-|Q_(ced)|/Q_(ass)$. In particolare quest'ultima mi assicura che $T_f/T_c=|Q_(ced)|/Q_(ass)$. Ma allora perché, applicando le due formule del rendimento (quella di Carnot e quella con i calori) nel punto a) e nel punto d) ottengo due rendimenti diversi? Il ciclo è sempre quello. I calori li ho calcolati con le formule dell'isoterma applicate al ciclo di Carnot. Non riesco a venirne a capo.
Ringrazio sin d'ora quanti risponderanno e, come sempre,
saluti
Risposte
Il ciclo disegnato non è quello di Carnot e per questo motivo ci sono delle incongruenze tra le risposte alle domande a,b,c.
Se DA e BC fossero veramente delle adiabatiche dovrebbe risultare
$T_c/T_f=((0.8*V_C)/V_A)^(gamma-1)$
$T_c/T_f=(V_C/(1.2*V_A))^(gamma-1)$
Da cui seguirebbe
$0.8*V_C/V_A = V_C/(1.2*V_A)$
che conduce a 0.96 = 1 che ovviamente è falsa.
Ammettiamo allora che invece sia $V_B=1.25V_A$ in modo da rispettare le formule dell'adiabatica.
Il calore assorbito varrà
$Q_(ass) = 3*8.314*400*ln(1.25)=2226 text( J)$
A questo punto risulterà
$W = 2226-1558 = 668 text( J)$
$eta = W/Q_(ass)=668/2226=0.3$
$eta = 1-abs(Q_(ced))/Q_(ass) = 1-1558/2226=0.3$
Quanto al quesito d) a questo punto lascerei perdere.
Se DA e BC fossero veramente delle adiabatiche dovrebbe risultare
$T_c/T_f=((0.8*V_C)/V_A)^(gamma-1)$
$T_c/T_f=(V_C/(1.2*V_A))^(gamma-1)$
Da cui seguirebbe
$0.8*V_C/V_A = V_C/(1.2*V_A)$
che conduce a 0.96 = 1 che ovviamente è falsa.
Ammettiamo allora che invece sia $V_B=1.25V_A$ in modo da rispettare le formule dell'adiabatica.
Il calore assorbito varrà
$Q_(ass) = 3*8.314*400*ln(1.25)=2226 text( J)$
A questo punto risulterà
$W = 2226-1558 = 668 text( J)$
$eta = W/Q_(ass)=668/2226=0.3$
$eta = 1-abs(Q_(ced))/Q_(ass) = 1-1558/2226=0.3$
Quanto al quesito d) a questo punto lascerei perdere.
Ciao @ingres! e grazie della risposta.
Svelato l'arcano. Stupidamente avevo dato per scontato che quel ciclo rappresentato in figura fosse il ciclo di Carnot di cui parlava il testo, senza controllare che DA e BC fossero adiabatiche. Possiamo, quindi, dire, che il problema è scritto piuttosto male? In pratica alla domanda a) possiamo rispondere direttamente perché abbiamo le temperature di lavoro del ciclo, ma alla domanda b) non possiamo rispondere in quanto non abbiamo sufficienti dati del ciclo di Carnot, dico bene? Dato che i volumi non corrispondono a quelli delle adiabatiche. Oppure c'è un modo per rispondere anche alla domanda b)? Possiamo anche dire che la risposta da me data (che coincide con quella del libro) alla domanda b) sia riferita al ciclo in figura, che non è di Carnot, ma è il ciclo di cui si parla nel punto d); è corretto ciò che dico? Idem per il punto c) dove non è possibile trovare il lavoro del ciclo di Carnot poiché conosco solo le temperature e non ho dati a sufficienza (in quanto il piano di Clapeyron mi fornisce i dati del ciclo al punto d) e non del ciclo di Carnot di cui parla nel testo). Anche qui, il lavoro che ho calcolato si riferirebbe al ciclo del punto d) e non a quello di Carnot, che è impossibile determinare. In pratica, se ho ben inteso, ha mischiato un po' le carte dando nei punti b) e c) dei risultati non riferiti al ciclo di Carnot, ma al ciclo NON di Carnot di cui parla al punto d). E' corretto quanto da me detto?
Grazie
Svelato l'arcano. Stupidamente avevo dato per scontato che quel ciclo rappresentato in figura fosse il ciclo di Carnot di cui parlava il testo, senza controllare che DA e BC fossero adiabatiche. Possiamo, quindi, dire, che il problema è scritto piuttosto male? In pratica alla domanda a) possiamo rispondere direttamente perché abbiamo le temperature di lavoro del ciclo, ma alla domanda b) non possiamo rispondere in quanto non abbiamo sufficienti dati del ciclo di Carnot, dico bene? Dato che i volumi non corrispondono a quelli delle adiabatiche. Oppure c'è un modo per rispondere anche alla domanda b)? Possiamo anche dire che la risposta da me data (che coincide con quella del libro) alla domanda b) sia riferita al ciclo in figura, che non è di Carnot, ma è il ciclo di cui si parla nel punto d); è corretto ciò che dico? Idem per il punto c) dove non è possibile trovare il lavoro del ciclo di Carnot poiché conosco solo le temperature e non ho dati a sufficienza (in quanto il piano di Clapeyron mi fornisce i dati del ciclo al punto d) e non del ciclo di Carnot di cui parla nel testo). Anche qui, il lavoro che ho calcolato si riferirebbe al ciclo del punto d) e non a quello di Carnot, che è impossibile determinare. In pratica, se ho ben inteso, ha mischiato un po' le carte dando nei punti b) e c) dei risultati non riferiti al ciclo di Carnot, ma al ciclo NON di Carnot di cui parla al punto d). E' corretto quanto da me detto?
Grazie
Ciao @BayMax
Si. Secondo me il problema è scritto male, mischia i due cicli, e i risultati che fornisce sono fuorvianti.
Per il ciclo di Carnot, avendo le temperature, si potrebbe dire qualcosa di più avendo dei dettagli sul tipo di gas (monoatomico o biatomico) e quindi conoscendo i calori specifici. Ma purtroppo anche questa informazione è assente, per cui al di là del rendimento è difficile dire di più.
Se ammettiamo invece che quello indicato sia il ciclo non di Carnot, e che i risultati b,c, d siano tutti relativi a tale ciclo (circostanza che avrebbero dovuto evidenziare bene perchè dal testo b, c sembra che siano invece riferiti a Carnot) anche qui si apre un problema perchè una delle due trasformazioni "adiabatiche" non è tale e quindi è in realtà una politropica con un contributo di calore. I risultati b, c potrebbero essere ancora corretti perchè riferiti alle due sorgenti, ma il lavoro, che scaturisce da un bilancio complessivo della macchina ciclica, dovrebbe tener conto della politropica e quindi il risultato in c) non sarebbe corretto. Peraltro questo potrebbe spiegare la differenza di risultato sul rendimento, altrimenti incomprensibile.
Si. Secondo me il problema è scritto male, mischia i due cicli, e i risultati che fornisce sono fuorvianti.
Per il ciclo di Carnot, avendo le temperature, si potrebbe dire qualcosa di più avendo dei dettagli sul tipo di gas (monoatomico o biatomico) e quindi conoscendo i calori specifici. Ma purtroppo anche questa informazione è assente, per cui al di là del rendimento è difficile dire di più.
Se ammettiamo invece che quello indicato sia il ciclo non di Carnot, e che i risultati b,c, d siano tutti relativi a tale ciclo (circostanza che avrebbero dovuto evidenziare bene perchè dal testo b, c sembra che siano invece riferiti a Carnot) anche qui si apre un problema perchè una delle due trasformazioni "adiabatiche" non è tale e quindi è in realtà una politropica con un contributo di calore. I risultati b, c potrebbero essere ancora corretti perchè riferiti alle due sorgenti, ma il lavoro, che scaturisce da un bilancio complessivo della macchina ciclica, dovrebbe tener conto della politropica e quindi il risultato in c) non sarebbe corretto. Peraltro questo potrebbe spiegare la differenza di risultato sul rendimento, altrimenti incomprensibile.
Sono d'accordo che il testo poteva dare qualche imbeccata in più.
In ogni caso va considerato che da nessuna parte è scritto che il ciclo è un ciclo di Carnot reversibile, le adiabatiche per esempio potrebbero (anzi quello è così sicuramente a ben vedere) non essere isoentropiche, essendo irreversibili.
Certo sarebbe stato meglio, ripeto, specificare meglio nel testo.
In ogni caso va considerato che da nessuna parte è scritto che il ciclo è un ciclo di Carnot reversibile, le adiabatiche per esempio potrebbero (anzi quello è così sicuramente a ben vedere) non essere isoentropiche, essendo irreversibili.
Certo sarebbe stato meglio, ripeto, specificare meglio nel testo.
Ciao @Faussone
Se alcune delle trasformazioni fossero irreversibili non sarebbe corretto chiamarlo ciclo di Carnot
https://it.wikipedia.org/wiki/Ciclo_di_Carnot
Inoltre il suo rendimento non sarebbe quello in a) perchè la formula data vale solo per il ciclo reversibile.
E infine le trasformazioni irreversibili graficamente dovrebbero essere tratteggiate per evidenziare che nel corso della trasformazione le variabili termodinamiche non sono in equilibrio.
Insomma, comunque lo si voglia vedere, è perlomeno fuorviante.
Se alcune delle trasformazioni fossero irreversibili non sarebbe corretto chiamarlo ciclo di Carnot
https://it.wikipedia.org/wiki/Ciclo_di_Carnot
Inoltre il suo rendimento non sarebbe quello in a) perchè la formula data vale solo per il ciclo reversibile.
E infine le trasformazioni irreversibili graficamente dovrebbero essere tratteggiate per evidenziare che nel corso della trasformazione le variabili termodinamiche non sono in equilibrio.
Insomma, comunque lo si voglia vedere, è perlomeno fuorviante.
Grazie ancora @ingres e grazie anche @Faussone per aver risposto.
Considerando che questo problema è tratto da un testo di scuole superiori durante le quali non si trattano nemmeno le politropiche, direi che non è spiegato nel migliore dei modi. Inoltre, anche volendo considerare le politropiche, non mi sembra fornisca sufficienti informazioni per ricavare l'esponente delle stesse, correggetemi se sbaglio
Considerando che questo problema è tratto da un testo di scuole superiori durante le quali non si trattano nemmeno le politropiche, direi che non è spiegato nel migliore dei modi. Inoltre, anche volendo considerare le politropiche, non mi sembra fornisca sufficienti informazioni per ricavare l'esponente delle stesse, correggetemi se sbaglio
"BayMax":
non mi sembra fornisca sufficienti informazioni per ricavare l'esponente delle stesse,
Sono d'accordo. Se si sapesse che una delle "adiabatiche" è veramente tale e fosse noto il rapporto tra i calori specifici allora si potrebbe calcolare l'esponente della politropica che permette di richiudere il ciclo.
Ma comunque concordo pienamente che sarebbe troppo complicato per un esercizio delle superiori, per cui credo molto banalmente che il testo del problema sia errato o lacunoso.
Grazie ancora @ingres!
Sperando di non risultare eccessivamente pedante, posso chiederti di mostrarmi, qualora fosse possibile, come svolgere l'esercizio con l'aggiunta dell'unica informazione, ad esempio, di gas perfetto monoatomico (di cui, quindi, conosciamo $c_p$ e $c_V$)?
Sperando di non risultare eccessivamente pedante, posso chiederti di mostrarmi, qualora fosse possibile, come svolgere l'esercizio con l'aggiunta dell'unica informazione, ad esempio, di gas perfetto monoatomico (di cui, quindi, conosciamo $c_p$ e $c_V$)?
Se ci aggiungiamo almeno l'informazione che ad es. AD sia realmente un'adiabatica, allora visto che conosciamo $gamma=c_p/c_v$ è possibile trovare il rapporto $V_C/V_A$ dalla:
$ T_c/T_f=((0.8*V_C)/V_A)^(gamma-1) $
che sostituito nell'espressione di BC
$ T_c/T_f=(V_C/(1.2*V_A))^(n-1) $
ci permetterebbe di trovare l'esponente $n$ della politropica. Noto il legame $PV^n = text(costante)$ si può determinare il lavoro svolto dal sistema durante la trasformazione politropica tramite la formula (N = numero di moli):
$L = (N*R)/(n-1)*(T_c-T_f)$
(cfr https://it.wikipedia.org/wiki/Trasforma ... olitropica )
Poichè abbiamo le temperature e $c_v$, anche la variazione di energia interna durante la trasformazione politropica è disponibile.
A questo punto dal primo principio è noto anche il calore scambiato durante la politropica e quindi dal bilancio del ciclo si può ricavare il lavoro utile e infine il rendimento.
$ T_c/T_f=((0.8*V_C)/V_A)^(gamma-1) $
che sostituito nell'espressione di BC
$ T_c/T_f=(V_C/(1.2*V_A))^(n-1) $
ci permetterebbe di trovare l'esponente $n$ della politropica. Noto il legame $PV^n = text(costante)$ si può determinare il lavoro svolto dal sistema durante la trasformazione politropica tramite la formula (N = numero di moli):
$L = (N*R)/(n-1)*(T_c-T_f)$
(cfr https://it.wikipedia.org/wiki/Trasforma ... olitropica )
Poichè abbiamo le temperature e $c_v$, anche la variazione di energia interna durante la trasformazione politropica è disponibile.
A questo punto dal primo principio è noto anche il calore scambiato durante la politropica e quindi dal bilancio del ciclo si può ricavare il lavoro utile e infine il rendimento.
Grazie mille ancora di tutto @ingres! Troppo gentile.
Saluti
Saluti
@ingres
Sì ovviamente concordo, come avevo già detto, col fatto che il problema è scritto molto male e che è difficile capire cosa avesse in mente chi lo ha creato. Volevo dire che per me avrebbe senso assumere il ciclo iniziale come un "ciclo di Carnot" solo per intendere che le trasformazioni sono isoterme e adiabatiche, ma non necessariamente reversibili, confrontando poi il rendimento ottenuto col ciclo di Carnot "vero".
In ogni caso avete fatto tutte le osservazioni possibili, comunque il problema sarebbe scritto male e mancano dati.
Sottolineo solo che adiabatiche e isoentropiche non sono sinonimi in generale.
Sì ovviamente concordo, come avevo già detto, col fatto che il problema è scritto molto male e che è difficile capire cosa avesse in mente chi lo ha creato. Volevo dire che per me avrebbe senso assumere il ciclo iniziale come un "ciclo di Carnot" solo per intendere che le trasformazioni sono isoterme e adiabatiche, ma non necessariamente reversibili, confrontando poi il rendimento ottenuto col ciclo di Carnot "vero".
In ogni caso avete fatto tutte le osservazioni possibili, comunque il problema sarebbe scritto male e mancano dati.
Sottolineo solo che adiabatiche e isoentropiche non sono sinonimi in generale.
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