Esercizio cane e padrone

[Kernul]

Ho provato a fare questo esercizio ma mi sembra strano che debba ripetere la stessa operazione più volte.
"Un uomo sta tornando a casa e cammina con velocità costante di $2 m/s$. Il suo cagnolino lo vede quando egli dista $500 m$ da casa e gli corre incontro con velocità costante di $4 m/s$. Lo saluta e torna a casa "ad avvisare" che il suo padrone sta arrivando. Esce di nuovo, arriva dal padrone e torna di nuovo a casa. Fa questo finché l'uomo non è arrivato a casa. Quanta è la strada che ha fatto il cagnolino (non lo spostamento, che è nullo) ? Si suppongono nulli tutti i "tempi di interazione"."

Quello che ho provato a fare io è così:
Metto a sistema il punto di incontro del cane e del padrone:
$\{(x_(i1)(t)=x_(0p)(t)+v_p*t),(x_(i1)(t)=x_(0c)(t)-v_c*t):}$
In cui $x_(i1)(t)$ è il primo punto di incontro fra i due.
$x_(0p)(t)$ è la posizione iniziale del padrone(che è $0$ all'inizio).
$x_(0c)(t)$ è la posizione iniziale del cane(che è $500$ dato che si trova a casa all'inizio).
Ho messo poi in negativo la velocità del cane dato che si sta muovendo nella direzione opposta alla casa.
Assegnando i valori ho:
$\{(x_(i1)(t)=0+2*t),(x_(i1)(t)=500-4*t):}$

$\{(x_(i1)(t)=2*t),(2*t=500-4*t):}$

$\{(x_(i1)(t)=2*t),(6*t=500):}$

$\{(x_(i1)(t)=2*t),(t=83.33):}$

$\{(x_(i1)(t)=2*83.33),(t=83.33):}$

$\{(x_(i1)(t)=166.67),(t=83.33):}$
Mi trovo quindi che il primo incontro avviene a $166.67 m$ rispetto al padrone(non al cane) dopo $83.33 s$.
Sottraendo da $500$ il numero $166.67$(che in questo caso sarebbe il percorso compiuto dal padrone) si sa quanta strada è stata percorsa dal cane, e cioè $333.33 m$.
Ora $83.33 s$ è solo il tempo di andata da parte del cane dalla casa al padrone. Per ripercorrere dal punto in cui si trova ora fino a casa ci metterà lo stesso tempo e quindi abbiamo già che il cane ha percorso $666.66 m$.
Dobbiamo tenere conto però che mentre il cane torna indietro anche il padrone si muove nella stessa direzione in quel lasso di tempo. Avremo quindi:
$x_p(t)=x_0p(t)+v_p*t$
In cui $x_p(t)$ è il punto in cui si troverà dopo $83.33 s$.
$x_0p(t)$ è il nuovo punto iniziale(che ora è $166.67 m$).
Ci troveremo che la distanza percorsa è $333.33 m$.

Da qui il procedimento si ripete con il sistema in cui la seconda equazione rimane uguale ogni volta e la prima cambia a seconda di dove si trova il padrone in quel momento. Il problema è che la cosa sembra andare all'infinito. Non c'è un procedimento più veloce? O forse sto sbagliando io?

[PadreBishop]

L'uomo quanto ci metterà ad arrivare a casa?
In quel lasso di tempo $T_u$, il cane a quale velocità viaggia? Tale velocità è da assumersi costante in modulo?

In ultima analisi, c'è un modo per sapere quanta strada percorre un cane che viaggia velocità costante per $T_u$ secondi?

[Kernul]

Giusto! L'uomo percorre i $500 m$ in $250 s$. Il cane ha la velocità costante di $4 m/s$ e quindi, sapendo che il padrone ci mette $250 s$ per arrivare a casa, basta moltiplicare la velocità del cane per il tempo impiegato dal padrone per arrivare. E infatti mi trovo con la soluzione che è $1km$.
Ero io che lo stavo calcolando in modo troppo complicato...
Grazie!