Esercizio campo magnetico/legge Faraday
Vi chiedo un aiuto per questo esercizio:
"Una spira rettangolare di lati a e b, resistenza R e massa m si muove, in assenza di attrito, a velocità costante $ v_0 $ nel suo stesso piano in direzione parallela al lato a, in una regione priva di campo, fino a entrare in un semispazio in cui è presente un campo di induzione magnetica uniforme, costante nel tempo e ortogonale al piano definito dalla spira. Determinare la legge $ v(x) $ con cui varia la velocità in funzione della penetrazione nella regione di campo magnetico. Considerare l’eventualità che la spira penetri completamente o meno."
Il mio problema principale è che non viene specificato se la spira può o meno muoversi anche in direzione perpendicolare al lato di lunghezza a, e nemmeno se può ruotare. Tra l'altro, se suppongo che la spira possa muoversi solo lungo la direzione della velocità iniziale, trovo per la velocità una legge di decrescita esponenziale per la velocità, ma quel "Considerare l’eventualità che la spira penetri completamente o meno" alla fine dell'esercizio mi fa capire che probabilmente non è corretta la soluzione che ho trovato...
Ho proceduto in questo modo: nel momento in cui la spira entra nella zona in cui è presente il campo magnetico, si genera una forza elettromotice, data da $ f_(em)=-(dPhi_vec(B))/dt $ , dove $ Phi_vec(B) $ è il flusso del campo magnetico sulla superficie della porzione di spira che è entrata nella zona in cui $ vec(B)!=0 $; il flusso è dato da $ Phi_vec(B)= int_S vec(B)\cdot dvec(S)=int_(0)^(a)(int_(0)^(b)Bdx)dy=Bb int_(0)^(b)dx/(dt)dt=Bb int_(0)^(b)v_xdt $; però in questo calcolo tengo conto del fatto che il circuito non può muoversi lungo y quando risolvo l'integrale in dy (ho scelto come asse x quello parallelo alla velocità iniziale, come asse y quello perpendicolare e tale che nel piano xy giaccia la spira). Se il circuito potesse muoversi anche lungo y, non saprei come trattare la superficie S sulla quale calcolare il flusso. Poi procedendo si trova $ f_(em)=-(dPhi_vec(B))/dt=-bBv_x $ e $ I(t)=f_(em)/R=(-bBv_x)/R $ , quindi $ dvec(F)=Idvec(l)xx vec(B) =-(bBv_x)/RdlBhat(x)=-(bB^2v_x)/Rdlhat(x) $ e $ vec(F)=int Idvec(l)xx vec(B) =int_(0)^(b) -(bB^2v_x)/Rdlhat(x) =-(b^2B^2v_x)/Rhat(x) $, quindi $ mddot(x) =-(b^2B^2dot(x))/R $ e $ dot(x) =v_0e^-((b^2B^2)/(mR)t) $ .
Sembra essere quindi una soluzione errata per l'ultima osservazione nel testo dell'esercizio.
Qualcuno riesce a darmi una risposta?
"Una spira rettangolare di lati a e b, resistenza R e massa m si muove, in assenza di attrito, a velocità costante $ v_0 $ nel suo stesso piano in direzione parallela al lato a, in una regione priva di campo, fino a entrare in un semispazio in cui è presente un campo di induzione magnetica uniforme, costante nel tempo e ortogonale al piano definito dalla spira. Determinare la legge $ v(x) $ con cui varia la velocità in funzione della penetrazione nella regione di campo magnetico. Considerare l’eventualità che la spira penetri completamente o meno."
Il mio problema principale è che non viene specificato se la spira può o meno muoversi anche in direzione perpendicolare al lato di lunghezza a, e nemmeno se può ruotare. Tra l'altro, se suppongo che la spira possa muoversi solo lungo la direzione della velocità iniziale, trovo per la velocità una legge di decrescita esponenziale per la velocità, ma quel "Considerare l’eventualità che la spira penetri completamente o meno" alla fine dell'esercizio mi fa capire che probabilmente non è corretta la soluzione che ho trovato...
Ho proceduto in questo modo: nel momento in cui la spira entra nella zona in cui è presente il campo magnetico, si genera una forza elettromotice, data da $ f_(em)=-(dPhi_vec(B))/dt $ , dove $ Phi_vec(B) $ è il flusso del campo magnetico sulla superficie della porzione di spira che è entrata nella zona in cui $ vec(B)!=0 $; il flusso è dato da $ Phi_vec(B)= int_S vec(B)\cdot dvec(S)=int_(0)^(a)(int_(0)^(b)Bdx)dy=Bb int_(0)^(b)dx/(dt)dt=Bb int_(0)^(b)v_xdt $; però in questo calcolo tengo conto del fatto che il circuito non può muoversi lungo y quando risolvo l'integrale in dy (ho scelto come asse x quello parallelo alla velocità iniziale, come asse y quello perpendicolare e tale che nel piano xy giaccia la spira). Se il circuito potesse muoversi anche lungo y, non saprei come trattare la superficie S sulla quale calcolare il flusso. Poi procedendo si trova $ f_(em)=-(dPhi_vec(B))/dt=-bBv_x $ e $ I(t)=f_(em)/R=(-bBv_x)/R $ , quindi $ dvec(F)=Idvec(l)xx vec(B) =-(bBv_x)/RdlBhat(x)=-(bB^2v_x)/Rdlhat(x) $ e $ vec(F)=int Idvec(l)xx vec(B) =int_(0)^(b) -(bB^2v_x)/Rdlhat(x) =-(b^2B^2v_x)/Rhat(x) $, quindi $ mddot(x) =-(b^2B^2dot(x))/R $ e $ dot(x) =v_0e^-((b^2B^2)/(mR)t) $ .
Sembra essere quindi una soluzione errata per l'ultima osservazione nel testo dell'esercizio.
Qualcuno riesce a darmi una risposta?
Risposte
Dal testo mi sembra di capire che la velocità della spira è parallela al lato $a$, e ovviamente è sottinteso che non può che essere questa l'unica direzione di movimento, che viene considerata parallela all'asse x, senza altre componenti o rotazioni; direi che è inoltre sottinteso che il confine della regione soggetta al campo $B$ sia parallelo al lato $b$ della spira.
Detto ciò, la richiesta della $v(x)$ e non della $v(t)$, impone di concentrarsi sulla generica profondità di immersione $x$ della spira nel campo e quindi da Lorentz, o equivalentemente dal flusso concatenato $\Phi(x)=B b x$, via "regola del flusso" $|\xi(x)|=\frac {\text{d}\Phi(x)}{\text{d}t}=B b v(x)$, da questa la corrente $i(x)$, la forza $f(x)=Bbi(x)$, l'accelerazione $a(x)=\frac {\text{d}v(x)}{\text{d}x}$ e la soluzione.
Per quanto riguarda la condizione per la penetrazione totale\parziale, andrei poi ad usare una disuguaglianza fra l'energia di ingresso iniziale e il lavoro di $f(x)$ da x=0 a x=a.
Edit: ho erroneamente scritto $a(x)=\frac {\text{d}v(x)}{\text{d}x}$, invece che $a(x)=\frac {\text{d}v(x)}{\text{d}t}$.
Detto ciò, la richiesta della $v(x)$ e non della $v(t)$, impone di concentrarsi sulla generica profondità di immersione $x$ della spira nel campo e quindi da Lorentz, o equivalentemente dal flusso concatenato $\Phi(x)=B b x$, via "regola del flusso" $|\xi(x)|=\frac {\text{d}\Phi(x)}{\text{d}t}=B b v(x)$, da questa la corrente $i(x)$, la forza $f(x)=Bbi(x)$, l'accelerazione $a(x)=\frac {\text{d}v(x)}{\text{d}x}$ e la soluzione.
Per quanto riguarda la condizione per la penetrazione totale\parziale, andrei poi ad usare una disuguaglianza fra l'energia di ingresso iniziale e il lavoro di $f(x)$ da x=0 a x=a.
Edit: ho erroneamente scritto $a(x)=\frac {\text{d}v(x)}{\text{d}x}$, invece che $a(x)=\frac {\text{d}v(x)}{\text{d}t}$.
Non riesco bene a capire il calcolo per la $ v(x) $; io avrei proceduto in questo modo: dall'equazione di Newton $ m(dv)/dt=m(dv)/dx dx/(dt)=m(dv)/dx v $ ottengo $ m(dv)/dx v=-(b^2B^2v)/R $ e semplifiicando le v, $ (dv)/dx =-(b^2B^2)/(mR) $, quindi si ottiene $ v_((x))=v_0-(b^2B^2)/(mR)x $. Se questa è effettivamente la soluzione poi si ricava facilmente la condizione di penetrazione totale.
Ok, grazie mille, mi hai chiarito ogni dubbio 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo