Esercizio campo elettrico e potenziale
Ciao a tutti!
Ho bisogno di aiuto per capire come affrintare il seguente esercizio:
Calcolare il potenziale elttrostatico del seguente campo elettrico $ \vec{E} = 2axy * \vec{i} + a(x^2 - y^2) * \vec{j} $ dove a è una costante.
Quanto vale il potenziale nell'origine degli assi?
Quanto vale il potenziale all'infinito?
Calcolare il luogo dei punti dove il potenziale è uguale al potenziale nell'origine degli assi.
Sinceramente non ho mai trovato un esercizio in cui il campo mi viene dato scomposto lungo gli assi e non so come gestirlo.
Ho provato ad integrare la prima componente rispetto ad x e la seconda rispetto ad y per trovare l'espressione del potenziale, ma non so poi come mettere insieme le informazioni.
Questo esercizio era all'appello di esame di fisica 2 che chiaramente non ho superato.
Qualcuno mi può aiutare per favore? grazie!
Ho bisogno di aiuto per capire come affrintare il seguente esercizio:
Calcolare il potenziale elttrostatico del seguente campo elettrico $ \vec{E} = 2axy * \vec{i} + a(x^2 - y^2) * \vec{j} $ dove a è una costante.
Quanto vale il potenziale nell'origine degli assi?
Quanto vale il potenziale all'infinito?
Calcolare il luogo dei punti dove il potenziale è uguale al potenziale nell'origine degli assi.
Sinceramente non ho mai trovato un esercizio in cui il campo mi viene dato scomposto lungo gli assi e non so come gestirlo.
Ho provato ad integrare la prima componente rispetto ad x e la seconda rispetto ad y per trovare l'espressione del potenziale, ma non so poi come mettere insieme le informazioni.
Questo esercizio era all'appello di esame di fisica 2 che chiaramente non ho superato.
Qualcuno mi può aiutare per favore? grazie!
Risposte
Un metodo potrebbe essere il seguente: integrando la prima componente $E_x$ rispetto a $x$ otterrai
$ax^2y+u(y)$
dove quella funzione $u(y)$ rappresenta la "costante di integrazione", che potrà essere ottenuta semplicemente integrando rispetto a $y$ il solo termine non funzione di $x$ della componente $E_y$, ovvero $-ay^2$, ottenendo
$-(ay^3)/3+c$
Di coseguenza
$V(x,y)=-ax^2y+(ay^3)/3+C$
$ax^2y+u(y)$
dove quella funzione $u(y)$ rappresenta la "costante di integrazione", che potrà essere ottenuta semplicemente integrando rispetto a $y$ il solo termine non funzione di $x$ della componente $E_y$, ovvero $-ay^2$, ottenendo
$-(ay^3)/3+c$
Di coseguenza
$V(x,y)=-ax^2y+(ay^3)/3+C$
Grazie infinite! Mi hai davvero illuminata!
Se posso ancora disturbarti, quindi per trovare poi il potenziale nell'origine mi basterà semplicemente sostituire le coordinate, giusto? Ottenendo così un valore costante del potenziale in pratica...
Ma invece per determinare il luogo dei punti in cui il potenziale è uguale a questo valore costante devo porre $ V(x,y) = C $ ?
Se posso ancora disturbarti, quindi per trovare poi il potenziale nell'origine mi basterà semplicemente sostituire le coordinate, giusto? Ottenendo così un valore costante del potenziale in pratica...
Ma invece per determinare il luogo dei punti in cui il potenziale è uguale a questo valore costante devo porre $ V(x,y) = C $ ?
"RobyBrokk":
... quindi per trovare poi il potenziale nell'origine mi basterà semplicemente sostituire le coordinate, giusto? ...
Giusto!
"RobyBrokk":
... Ottenendo così un valore costante del potenziale ...
Ogni punto avrà un potenziale costante; costante ed arbitrario, in quanto per poter parlare di potenziale è necessario scegliere un punto di "riferimento a zero", che normalmente viene scelto all'infinito, ma che in questo caso sarebbe più conveniente scegliere nell'origine degli assi, ovvero C=0.
"RobyBrokk":
... Ma invece per determinare il luogo dei punti in cui il potenziale è uguale a questo valore costante devo porre $ V(x,y) = C $ ?
Sì, e nel caso particolare della suddetta scelta (C=0), avrai che quel luogo è anche semplice da tracciare, in quanto viene a coincidere con tre rette, mentre se \(C\ne 0\), il luogo andrà a modificarsi prevalentemente in prossimità dell'origine [nota]Meno a grandi distanze dallo stesso, \(d \gg \left | C \right | \).[/nota], dal quale ovviamente si separerà andando a formare tre curve (che direi "iperboliche"[nota]Con asintoti coincidenti con le suddette tre rette.[/nota]) disposte a 120 gradi una dall'altra.
Buongiorno e grazie ancora di cuore!
Stavo ricontrollando l'esercizio, ma non ho capito una cosa. Supponendo che di porre il valore zero del pootenziale nell'origine degli assi, ho posto $ V(x,y) = 0 $ trovando così:
$ ay * ( -3ax^2 + y^3 ) $
come faccio a capire che queste sono 3 rette? una sarà l'asse delle ascisse, ma le altre 2?
Inoltre, avendo scelto come zero del potenziale l'origine, come ricavo il potenziale a infinito?
Stavo ricontrollando l'esercizio, ma non ho capito una cosa. Supponendo che di porre il valore zero del pootenziale nell'origine degli assi, ho posto $ V(x,y) = 0 $ trovando così:
$ ay * ( -3ax^2 + y^3 ) $
come faccio a capire che queste sono 3 rette? una sarà l'asse delle ascisse, ma le altre 2?
Inoltre, avendo scelto come zero del potenziale l'origine, come ricavo il potenziale a infinito?
Attenzione a scrivere correttamente la V. Per C=0
$V(x,y) = ay(y^2/3-x^2) = ay*(y/sqrt(3)-x)(y/sqrt(3)+x)$
Quanto al potenziale all'infinito, la funzione non ha limite (assume valori differenti in diverse direzioni). Questo significa semplicemente che la sua validità è limitata in un intorno dell'origine.
$V(x,y) = ay(y^2/3-x^2) = ay*(y/sqrt(3)-x)(y/sqrt(3)+x)$
Quanto al potenziale all'infinito, la funzione non ha limite (assume valori differenti in diverse direzioni). Questo significa semplicemente che la sua validità è limitata in un intorno dell'origine.
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