Esercizio campo elettrico distribuzione cilindrica con rho non costante
Io ho questo problema:
In una regione dello spazio è distribuita una carica con simmetria cilindrica e una densità $rho(r)= rho_0(1+ar^2)$, con r che rappresenta la distanza dall’asse. Si calcoli il lavoro esterno necessario a spostare una carica di prova q dall’asse della distribuzione a r’. Si eseguano i calcoli per a=20 m-2 , $rho_0$=5x10-3 C/m3, q=-10-6 C e r’=5 cm .
Se mi calcolassi la carica nel mio cilindro verrebbe:
$Q_i= int_V (rho(r)*dV) = int_0^h( rho(r)*pi*r^2*h)*dr$
Siccome la lunghezza del cilindro non è specificata, devo assumerlo come indefinito.
Il mio dubbio è il seguente:
Per calcolarmi il campo elettrico procedo con il teorema di Gauss: $Phi(vec(E))= Q_i / epsilon_0 = 1/epsilon_0 * int_V rho*dV$
Quindi dovrei procedere in questa maniera:
$vec(E)*2pi*r*h= 1/epsilon_0 * int_V rho(r)pir^2hdr$
Solo che poi dovrei integrare da 0 ad h...
Quindi nel mio caso invece di considerare il volume, mi devo preoccupare solamente di come varia il campo elettrico lungo la superficie laterale? Per esempio in questo modo:
$vec(E)*2pi*r*h= 1/epsilon_0 * int_0^r rho(r)2pirhdr = 1/epsilon_0 * int_0^r rho_0(1+ar^2)2pirhdr = rho_0/(2epsilon_0)*(r+ a/2*r^3)$
e poi mi calcolo $V(r) = - int_0^(r') vec(E)*vec(dr)$ ed infine uso $W=qDeltaV$
E' giusto questo procedimento?
Devo impostarlo così l'integrale della densità di carica per trovarmi come varia il campo elettrico nel mio caso?
La prossima settimana ho l'esame, vorrei togliermi questo dubbio.
Grazie in anticipo!!!
In una regione dello spazio è distribuita una carica con simmetria cilindrica e una densità $rho(r)= rho_0(1+ar^2)$, con r che rappresenta la distanza dall’asse. Si calcoli il lavoro esterno necessario a spostare una carica di prova q dall’asse della distribuzione a r’. Si eseguano i calcoli per a=20 m-2 , $rho_0$=5x10-3 C/m3, q=-10-6 C e r’=5 cm .
Se mi calcolassi la carica nel mio cilindro verrebbe:
$Q_i= int_V (rho(r)*dV) = int_0^h( rho(r)*pi*r^2*h)*dr$
Siccome la lunghezza del cilindro non è specificata, devo assumerlo come indefinito.
Il mio dubbio è il seguente:
Per calcolarmi il campo elettrico procedo con il teorema di Gauss: $Phi(vec(E))= Q_i / epsilon_0 = 1/epsilon_0 * int_V rho*dV$
Quindi dovrei procedere in questa maniera:
$vec(E)*2pi*r*h= 1/epsilon_0 * int_V rho(r)pir^2hdr$
Solo che poi dovrei integrare da 0 ad h...
Quindi nel mio caso invece di considerare il volume, mi devo preoccupare solamente di come varia il campo elettrico lungo la superficie laterale? Per esempio in questo modo:
$vec(E)*2pi*r*h= 1/epsilon_0 * int_0^r rho(r)2pirhdr = 1/epsilon_0 * int_0^r rho_0(1+ar^2)2pirhdr = rho_0/(2epsilon_0)*(r+ a/2*r^3)$
e poi mi calcolo $V(r) = - int_0^(r') vec(E)*vec(dr)$ ed infine uso $W=qDeltaV$
E' giusto questo procedimento?
Devo impostarlo così l'integrale della densità di carica per trovarmi come varia il campo elettrico nel mio caso?
La prossima settimana ho l'esame, vorrei togliermi questo dubbio.
Grazie in anticipo!!!
Risposte
L'integrale di volume scritto nel modo corretto e'
[tex]Q\ =\ \int{\rho(r)\ dV}\ =\ \int{\int{\int{\rho(r)\ r\ dr\ d\phi\ dz}}}[/tex]
poi quando vai ad integrare avrai che l'integrale in dz ti da' un h che si semplifica con la h del membro a sinistra ($E_r2\pi\ r\ h$), e infatti hai che il campo elettrico ha solo direzione radiale e dipende solo da r ...
[tex]Q\ =\ \int{\rho(r)\ dV}\ =\ \int{\int{\int{\rho(r)\ r\ dr\ d\phi\ dz}}}[/tex]
poi quando vai ad integrare avrai che l'integrale in dz ti da' un h che si semplifica con la h del membro a sinistra ($E_r2\pi\ r\ h$), e infatti hai che il campo elettrico ha solo direzione radiale e dipende solo da r ...
quindi l'integrale è di questa forma:
$1/epsilon_0 int_0^(2pi) int_0^h int _0 ^r r dr dphi dz = 1/epsilon_0 2pihrho_0 *r (r+ a/2*r^3) = E_r2pirh$ --> $E_r= rho_0/ epsilon_0 *(r+ a/2*r^3)$ ???
Mi sono perso un 2 da qualche parte.. l'integrale va messo così?
$1/epsilon_0 int_0^(2pi) int_0^h int _0 ^r r dr dphi dz = 1/epsilon_0 2pihrho_0 *r (r+ a/2*r^3) = E_r2pirh$ --> $E_r= rho_0/ epsilon_0 *(r+ a/2*r^3)$ ???
Mi sono perso un 2 da qualche parte.. l'integrale va messo così?
non capisco il termine a sinistra e c'e' qualcosa nell'ultimo termine a destra che non mi torna, comunque applicando il teorema di Gauss gli integrali vanno scritti cosi'
[tex]\int{\vec E\ \cdot\ d\vec S}\ =\ \frac{\int{\rho(r)\ dV}}{\epsilon_0}\ \rightarrow\ \int_0^h{\int_0^{2\pi}{E_r\ r\ d\phi\ dz}}\ =\ \frac{1}{\epsilon_0} \int_0^r{\int_0^{2\pi}{\int_0^h{\rho_0\ \left(1+\frac{ar^2}{2}\right)\ r\ dr\ d\phi\ dz}}}[/tex]
dove il termine a sinistra rappresenta il flusso del campo elettrico attraverso la superficie laterale del cilindro e il termine a destra rappresenta il termine $\frac{Q}{\epsilon_0}$.
Risolvi gli integrali e il gioco e' fatto
[tex]\int{\vec E\ \cdot\ d\vec S}\ =\ \frac{\int{\rho(r)\ dV}}{\epsilon_0}\ \rightarrow\ \int_0^h{\int_0^{2\pi}{E_r\ r\ d\phi\ dz}}\ =\ \frac{1}{\epsilon_0} \int_0^r{\int_0^{2\pi}{\int_0^h{\rho_0\ \left(1+\frac{ar^2}{2}\right)\ r\ dr\ d\phi\ dz}}}[/tex]
dove il termine a sinistra rappresenta il flusso del campo elettrico attraverso la superficie laterale del cilindro e il termine a destra rappresenta il termine $\frac{Q}{\epsilon_0}$.
Risolvi gli integrali e il gioco e' fatto
Ho risolto, il 2 che mi ero perso veniva dall'integrale di destra, precisamente da $(r^/2 + a/4*r^4)$
PS: Grazie per la risposta
PS: Grazie per la risposta
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