Esercizio battimenti e doppler
Cerco un aiuto su questo esercizio
Uno studente tiene in mano un diapason che oscilla alla frequenza di 256Hz e cammina verso una parete alla velocità di 1,33m/s. Quale frequenza di battimento osserverà tra il diapason e il suo eco? Con quale velocità dovrebbe allontanarsi dalla parete per osservare una frequenza di battimento paria 5Hz. (Velocità del suono v=343m/s) (SOL: 1.99Hz, 3.38m/s)
Mi sembrava piuttosto facile eppure ho alcuni dubbi che vorrei esporvi:
1) L'ho risolto così mami viene 0,99m/s (errore)
$f_R=f_E(v_s+v_o)/v_s$ con pedici o_osservatore s_suono
Essendo la frequenza di battimento: $f_B=|f_R-f_E|$
Però appunto è errato
2) Ho imposto $5HZ=|256-x|$ da cui ricavo 251Hz
Sfruttando il dato in doppler: $251=256(343-x)/343$ e risolvendo per x=velocità osservatore...
viene 6.69 esattamente il doppio!
3) La terza è una domanda bonus di teoria che mi preme capire poiché risolvendo questo erecizio mi è venuto il seguente dubbio: io so che i battimenti si trovano con prostaferesi sommando due onde $Asin(omega_1t)$ e $Asin(omega_2t)$.
E avrei $2Acos((omega_1-omega_2)/2t)sin((omega_1+omega_2)/2t)$
Però so anche che nel mio caso ho onda incidente: $Asin(omegat)$ ma onda riflessa dovrebbe essere in opposizione di fase (riflessione totale) e quindi $Asin(-omegat)$, ma questo è un bel problema perché
avrei $2Acos((omega+omega)/2t)sin((omega-omega)/2t)$
e la frequenza di battimento sarebbe allora: $f_b=|omega+omega|/(2pi)=|f_1+f_2|$ cioè sommate
Spero nel vostroaiuto
Uno studente tiene in mano un diapason che oscilla alla frequenza di 256Hz e cammina verso una parete alla velocità di 1,33m/s. Quale frequenza di battimento osserverà tra il diapason e il suo eco? Con quale velocità dovrebbe allontanarsi dalla parete per osservare una frequenza di battimento paria 5Hz. (Velocità del suono v=343m/s) (SOL: 1.99Hz, 3.38m/s)
Mi sembrava piuttosto facile eppure ho alcuni dubbi che vorrei esporvi:
1) L'ho risolto così mami viene 0,99m/s (errore)
$f_R=f_E(v_s+v_o)/v_s$ con pedici o_osservatore s_suono
Essendo la frequenza di battimento: $f_B=|f_R-f_E|$
Però appunto è errato
2) Ho imposto $5HZ=|256-x|$ da cui ricavo 251Hz
Sfruttando il dato in doppler: $251=256(343-x)/343$ e risolvendo per x=velocità osservatore...
viene 6.69 esattamente il doppio!
3) La terza è una domanda bonus di teoria che mi preme capire poiché risolvendo questo erecizio mi è venuto il seguente dubbio: io so che i battimenti si trovano con prostaferesi sommando due onde $Asin(omega_1t)$ e $Asin(omega_2t)$.
E avrei $2Acos((omega_1-omega_2)/2t)sin((omega_1+omega_2)/2t)$
Però so anche che nel mio caso ho onda incidente: $Asin(omegat)$ ma onda riflessa dovrebbe essere in opposizione di fase (riflessione totale) e quindi $Asin(-omegat)$, ma questo è un bel problema perché
avrei $2Acos((omega+omega)/2t)sin((omega-omega)/2t)$
e la frequenza di battimento sarebbe allora: $f_b=|omega+omega|/(2pi)=|f_1+f_2|$ cioè sommate
Spero nel vostroaiuto
Risposte
Indicando con $f$ la frequenza del diapason, con $u$ la velocità del suono e con $v$ la velocità dello studente:
Punto 1)
$[barf=(u+v)/(u-v)f] rarr [f_B=(2v)/(u-v)f]$
Punto 2)
$[barf=(u-v)/(u+v)f] rarr [f_B=(2v)/(u+v)f] rarr [v=f_B/(2f-f_B)u]$
Volevo accedere per corregere sperando nessuno avesse ancora risposto perché dopo averci ragionato e non capito stanotte mi è soggiunta la soluzione senza accorgermene
Il punto è che non consideravo che oltre all'avvicinamento dell'osservatore rispetto all'onda riflessa è anche da considerarsi l'avvicinamento della sorgente stessa (questo perché prima della riflessione è come se fosse la sorgente ad avanzare).Consideravo solo il post riflessione comevelocità.
In definitiva numericamente per la frequenza recepita: $f_R=256((343+1.33)/(343-1.33))$
per il battimento,come scrivi:
$f_b=|f-f'|=|f-((u+v)/(u-v))f|=f|1-(u+v)/(u-v)|=|(2v)/(u-v)|f$
Parimenti anche per il punto 2) negli allontanamenti.
Resta aperta la domanda 3
Qualcuno armato di Giobbiana pazienza sperebbe spiegarmi a parole cosa sbaglio?
"albalonga":
$f'=f_E(v_s+v_o)/v_s$
Il punto è che non consideravo che oltre all'avvicinamento dell'osservatore rispetto all'onda riflessa è anche da considerarsi l'avvicinamento della sorgente stessa (questo perché prima della riflessione è come se fosse la sorgente ad avanzare).Consideravo solo il post riflessione comevelocità.
In definitiva numericamente per la frequenza recepita: $f_R=256((343+1.33)/(343-1.33))$
per il battimento,come scrivi:
$f_b=|f-f'|=|f-((u+v)/(u-v))f|=f|1-(u+v)/(u-v)|=|(2v)/(u-v)|f$
Parimenti anche per il punto 2) negli allontanamenti.
Resta aperta la domanda 3
3) La terza è una domanda bonus di teoria che mi preme capire poiché risolvendo questo erecizio mi è venuto il seguente dubbio: io so che i battimenti si trovano con prostaferesi sommando due onde $Asin(omega_1t)$ e $Asin(omega_2t)$.
E avrei $2Acos((omega_1-omega_2)/2t)sin((omega_1+omega_2)/2t)$
Però so anche che nel mio caso ho onda incidente: $Asin(omegat)$ ma onda riflessa dovrebbe essere in opposizione di fase (riflessione totale) e quindi $Asin(-omegat)$, ma questo è un bel problema perché
avrei $2Acos((omega+omega)/2t)sin((omega-omega)/2t)$
e la frequenza di battimento sarebbe allora: $f_b=|omega+omega|/(2pi)=|f_1+f_2|$ cioè sommate
Qualcuno armato di Giobbiana pazienza sperebbe spiegarmi a parole cosa sbaglio?
"albalonga":
Resta aperta la domanda 3
Premesso che la pulsazione $\omega$ è positiva per definizione e che l'eventuale sfasamento di $\pi$ dell'onda riflessa è, almeno in questo ambito, del tutto irrilevante, se proprio ti disturba il segno $-$ nell'argomento della funzione:
$sin(-\omegat)$
tieni conto che:
$sin(-\omegat)=-sin(\omegat)$
Insomma, non si comprende quale sia il problema.
@anonymous_0b37e9
Uhm, ma anche se per disparità della funzione seno tolgo il segno dall'argomento non varia il problema. Provo ad esplicarlo meglio:
I battimenti sono dati matematicamente da $s_1+s_2$ ove s1 e s2 sono le due onde, siccome l'onda riflessa è in inversione di fase avrei per $s_1=Asinomega_1t$ ; $s_2=Asin-omega_2t=-Asinomega_2t$
Quindi $s_1+s_2=+Asinomega_1t-Asinomega_2t=$... (prostaferesi)...$=2Acos((omega_1+omega_2)/2t)sin((omega_1-omega_1)/2t)$
Ove: $2Acos((omega_1+omega_2)/2t)$ è l'ampiezza modulante della mia onda risultante e che ha per pulsazione $(omega_1+omega_2)/2$, e mi pare sia sommata, non sottratta.
Uhm, ma anche se per disparità della funzione seno tolgo il segno dall'argomento non varia il problema. Provo ad esplicarlo meglio:
I battimenti sono dati matematicamente da $s_1+s_2$ ove s1 e s2 sono le due onde, siccome l'onda riflessa è in inversione di fase avrei per $s_1=Asinomega_1t$ ; $s_2=Asin-omega_2t=-Asinomega_2t$
Quindi $s_1+s_2=+Asinomega_1t-Asinomega_2t=$... (prostaferesi)...$=2Acos((omega_1+omega_2)/2t)sin((omega_1-omega_1)/2t)$
Ove: $2Acos((omega_1+omega_2)/2t)$ è l'ampiezza modulante della mia onda risultante e che ha per pulsazione $(omega_1+omega_2)/2$, e mi pare sia sommata, non sottratta.
Intanto, nel caso più generale:
Ovviamente, per definizione di modulante, quest'ultima è sempre associata alla funzione goniometrica di frequenza minore:
indipendentemente dal fatto che sia un coseno oppure un seno. Del resto, se così non fosse, poiché:
si avrebbe un evidente paradosso, ossia, una perturbazione fisica la cui modulante ha una frequenza che dipende dalla rappresentazione matematica.
$Asin(\omega_1t+\varphi_1)+Asin(\omega_2t+\varphi_2)=$
$=2Acos((\omega_1-\omega_2)/2t+(\varphi_1-\varphi_2)/2)sin((\omega_1+\omega_2)/2t+(\varphi_1+\varphi_2)/2)$
"albalonga":
... è l'ampiezza modulante ...
Ovviamente, per definizione di modulante, quest'ultima è sempre associata alla funzione goniometrica di frequenza minore:
$(\omega_1-\omega_2)/2$
indipendentemente dal fatto che sia un coseno oppure un seno. Del resto, se così non fosse, poiché:
$2Acos((\omega_1-\omega_2)/2t+(\varphi_1-\varphi_2)/2)sin((\omega_1+\omega_2)/2t+(\varphi_1+\varphi_2)/2)=$
$=2Asin((\omega_1-\omega_2)/2t+(\varphi_1-\varphi_2)/2+\pi/2)cos((\omega_1+\omega_2)/2t+(\varphi_1+\varphi_2)/2-\pi/2)$
si avrebbe un evidente paradosso, ossia, una perturbazione fisica la cui modulante ha una frequenza che dipende dalla rappresentazione matematica.
"anonymous_0b37e9":
si avrebbe un evidente paradosso, ossia, una perturbazione fisica la cui modulante ha una frequenza che dipende dalla rappresentazione matematica.
Esatto, è questo il punto che mi turba.
Però non capisco perché:
Ovviamente, per definizione di modulante, quest'ultima è sempre associata alla funzione goniometrica di frequenza minore
Quando applicando meramente prostaferesi sui negativi/onda di rimbalzo (o facendo nel caso più generale proposto da te $Asin(\omega_1t+\varphi_1)+Asin(-\omega_2t+\varphi_2)$) non si giunga a soluzione.
Voglio dire, la formula (cioè matematicamente) dovrebbe tornare senza impostare il principio primo "è sempre associata alla funzione goniometrica di frequenza minore" sbaglio?
"albalonga":
... senza impostare il principio primo ...
Non si comprende di quale principio primo tu stia parlando. Insomma, si tratta della logica sottostante il concetto di modulante. A questo punto, mi viene il dubbio che tu non l'abbia compreso. Credimi, ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua.
Esatto, credo proprio di non averlo compreso. Ma forse mi è anche stato mal definito perché mi è stato fatto vedere solo evidenziando l'argomento del coseno e dicendo "questo è il modulante".
Posso cortesemente chiederti una spiegazione più precisa di quella che ho
?
Grazie ancora.
Posso cortesemente chiederti una spiegazione più precisa di quella che ho
?Grazie ancora.
"albalonga":
... l'argomento del coseno e dicendo "questo è il modulante".
Si tratta di un caso particolare.
"albalonga":
Posso cortesemente chiederti ...
Quella di cui sopra:
La modulante è associata alla funzione goniometrica di frequenza minore.
Ad ogni modo, prova a dare un'occhiata alla simulazione sottostante:
http://www.gigiboscaino.it/simulazione-battimenti/
Grazie è molto utile il link per figurarselo!
Sei sempre molto preciso e puntuale. Buon we
Sei sempre molto preciso e puntuale. Buon we
Solo per precisare che la modulante è la curva tratteggiata. Inoltre, poiché la modulante "inviluppa" la portante, la sua frequenza è necessariamente minore.
"anonymous_0b37e9":
Inoltre, poiché la modulante "inviluppa" la portante, la sua frequenza è necessariamente minore.
Sì, è da qui che nel disegno mi si è accesa la
sul discorso precedente.
Ottimo. 
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