Esercizio attrazione gravitazionale
Salve a tutti, m'è capitato di seguire un orale di Fisica 1 l'altro giorno e poiché a breve toccherà anche a me volevo chiedervi un aiuto su un esercizio che il prof. ha chiesto nel suddetto esame. In un sistema isolato -all'istante \( t=0 \) - troviamo una massa sferica $ M $ di raggio $ R $ e a distanza $ l $ da questa, una massettina $ m $ di raggio $ r $. Come s'è potuto intuire \( M\gg m \). Determinare il tempo $ tau $ al quale le due masse si incontrano. Ora, né lo sfortunato all'esame, né io siamo riusciti a risolvere il quesito. Ho provato a imporre il principio di conservazione dell'energia meccanica per trovare le velocità, ma ottengo delle velocità in funzione della distanza e non del tempo, perciò non posso integrarle in dt!?! C'è qualcuno che riesce ad aiutarmi? Perlomeno ad indirizzarmi per la strada giusta, gliene sarei grato 
Risposte
Secondo me, nelle condizioni del problema, il centro di massa lo puoi approssimativamente porre al centro di $M$. Allora scrivi l'equazione del moto di $m$. Il tempo $\tau$ lo determini quando la distanza fra le due masse, considerate puntiformi, vale $R+r$.
Se, invece, non metti il centro di massa al centro della massa grande, allora devi impostare un problema dei due corpi.
Ps. In entrambi i casi, le equazioni differenziali che ottieni non sono risolvibili analiticamente.
Se, invece, non metti il centro di massa al centro della massa grande, allora devi impostare un problema dei due corpi.
Ps. In entrambi i casi, le equazioni differenziali che ottieni non sono risolvibili analiticamente.
Dunque io non ne sono sicuro ma quello che io farei è il seguente procedimento.
Secondo me dovresti usare la legge di gravitazione di Newton.
$F=(G*M*m)/d^2$ dove G è la costante di gravitazione mentre d rappresenta la distanza fra i centri delle sfere ossia $d=l+r+R$.
Dato che la massa $M$ è molto più grande della massa $m$ la forza che abbiamo trovato praticamente accelera solamente la massettina $m$ sulla quale calcoliamo l'accelerazione in funzione della distanza $a(l)=(F(l))/m$.
Partendo dal presupposto che le 2 masse all'inizio fossero ferme nel loro sistema di riferimento cioè con $v_i= 0 m/s$ io continuerei così...
Se nell'equazione $a(l)=(F(l))/m$ integriamo ambo i membri in dl (l=distanza) dovremmo ottenere:
$v_f^2=\int_{0}^{l} a(l) dl=1/m\int_{0}^{l} F(l) $
Dove $v_f^2$ dovrebbe essere il quadrato della velocità finale al momento dell'impatto che probabilmente avresti anche potuto ricavare con la conservazione dell'energia.
Dunque noi possiamo ricavare la velocità in funzione della distanza:
$v(l)=sqrt(\int a(l) dl)=sqrt(1/m\int F(l)) $
Se abbiamo tutte le velocità in funzione di tutte le possibili distanze penso che possiamo trovare anche il tempo come somma di tutti gli infinetisimi rapporti fra spazio e velocità:
$t=\int_{0}^{l} (dl)/(v(l)) $
Comunque ripeto che non ne sono sicuro, aspettiamo il parere degli esperti...
Secondo me dovresti usare la legge di gravitazione di Newton.
$F=(G*M*m)/d^2$ dove G è la costante di gravitazione mentre d rappresenta la distanza fra i centri delle sfere ossia $d=l+r+R$.
Dato che la massa $M$ è molto più grande della massa $m$ la forza che abbiamo trovato praticamente accelera solamente la massettina $m$ sulla quale calcoliamo l'accelerazione in funzione della distanza $a(l)=(F(l))/m$.
Partendo dal presupposto che le 2 masse all'inizio fossero ferme nel loro sistema di riferimento cioè con $v_i= 0 m/s$ io continuerei così...
Se nell'equazione $a(l)=(F(l))/m$ integriamo ambo i membri in dl (l=distanza) dovremmo ottenere:
$v_f^2=\int_{0}^{l} a(l) dl=1/m\int_{0}^{l} F(l) $
Dove $v_f^2$ dovrebbe essere il quadrato della velocità finale al momento dell'impatto che probabilmente avresti anche potuto ricavare con la conservazione dell'energia.
Dunque noi possiamo ricavare la velocità in funzione della distanza:
$v(l)=sqrt(\int a(l) dl)=sqrt(1/m\int F(l)) $
Se abbiamo tutte le velocità in funzione di tutte le possibili distanze penso che possiamo trovare anche il tempo come somma di tutti gli infinetisimi rapporti fra spazio e velocità:
$t=\int_{0}^{l} (dl)/(v(l)) $
Comunque ripeto che non ne sono sicuro, aspettiamo il parere degli esperti...
... ogni tanto i posts spariscono ... volevo anche dire che, se uno si accontenta di una stima di $\tau$, basta considerare il campo come uniforme e così si ottiene un banale moto con accelerazione costante ...
Ora che ci penso forse nel procedimento che ho descritto non c'era nemmeno bisogno di ricavare $v(l)$ perchè se abbiamo l'accelerazione in funzione di tutte le possibili distanze noi possiamo supporre che per ogni tratto infinitesimo $dl$ percorso dalla massettina $m$ l'accelerazione sia costante e quindi agire di conseguenza...
Alla fine Atem l'ho risolto seguendo il tuo ragionamento. Come ti ho detto in privato la $ v(l) $ l'ho trovata imponendo la conservazione dell'energia meccanica. Grazie mille a tutti.
Non ho capito bene le difficoltà (concettuali) di integrazione per ottenere il tempo. Su moti unidimensionali, scrivendo come da te suggerito l'energia $\frac{1}{2}m \dot{x}^2+U(x)=E$, ci si riconduce, per il calcolo di intervalli di tempo, ad integrali del tipo $T_2-T_1=\sqrt{m/2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{sqrt{E-U(x)}}$. Il passaggio è concettualmente semplice, ma il calcolo dell'integrale in genere no, e sarei in effetti curioso di sapere che espressione finale hai ottenuto per $\tau$ (e se effettivamente il professore pretendeva un simile calcolo durante l'esame). Se si trascurano le dimensioni $R$ e $r$, il tempo di caduta può essere calcolato con altre argomentazioni.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo