Esercizi Fisica 2: Leggi Di Maxwell
Salve a tutti!
Sto svolgendo alcuni problemi di Fisica 2, ma, non avendo potuto seguire il corso per motivi lavorativi, mi trovo con molti dubbi che non riesco a colmare
Di seguito metterò dei problemi con le relative soluzioni da me proposte, che, però, spesso saranno solo parziali... Spero mi possiate aiutare!
Problema 1) Un solenoide indefinito di raggio $R$ ed $n$ spire per unità di lunghezza, è percorso da una corrente $i$ che cresce con legge esponenziale e costante di tempo $tau$ passando dal valore iniziale $0$ al valore finale $i_0$.
Determinare il campo elettrico indotto in funzione del tempo all'interno e all'esterno del solenoide.
Risoluzione:
Beh, ovviamente devo applicare la legge di Faraday, ossia: $ oint_()barE*dbar(l)=-(dint_SbarB*dbars)/dt $
Il problema è che non riesco a capire quale sia la "legge esponenziale"" con la quale si capisce l'andamento della corrente... Qualcuno potrebbe aiutarmi su questo punto?
Comunque io faccio così:
So che il campo magnetico del solenoide derivabile dalle legge di Ampere é: $ B=inmu _0 $, con direzione verso l'asse del solenoide. Quindi il flusso è, essendo il campo magnetico indipendente dal raggio delle spire:
Per $r
Per $r>R$: $ Phi(B)=BpiR^2=piR^2mu_0ni(t)$
I quali sono uguali alla forza elettromotrice che è uguale a:
$ oint_()barE*dbarl=Eoint_()dl=E2pir $
Essendo il campo con direzione tangente alle linee di circuitazione e verso concorde alla intensità di corrente.
Quindi:
Per $rE=(di)/dt(rnmu_0)/2 $
Per $r>R:$ $ E2pir=(di)/dtpiR^2nmu_0=>E=(di)/dt(R^2nmu_0)/(2r) $
Senza il segno meno perché sto considerando il modulo.
Se ho fatto bene, allora vorrei che qualcuno gentilmente chiarisca il mio dubbio precedente, ossia:
Come posso capire come la corrente varia rispetto al tempo? Qual è la legge in questo caso?
Problema 2) Si consideri una spira rettangolare di lati $a$ e $b$ e resistenza $R$ posta in prossimità di un filo rettilineo infinitamente lungo percorso da una corrente $I$, in modo tale che il filo giaccia nel piano contenente la spira e che due lati della spira siano paralleli al filo. Sia $d$ la distanza iniziale tra il filo ed il lato $a$ della spira. Determinare la corrente indotta nella spira quando questa si allontana con velocità $barv$ lungo una direzione che forma un angolo di $30°$ rispetto alla direzione della corrente.
Risoluzione:
Qui inizialmente trovo il flusso del campo magnetico del filo sulla spira. Il filo ha simmetria cilindrico e il campo magnetico gira attorno l'asse del cilindro, quindi per calcolare il flusso, sapendo che $ B=(Imu_0)/(2pir) $ per un filo infinitamente lungo:
$ Phi(B)=intbarB*dbars=intBds=(Imu_0)/(2pi)int_(d)^(d+b) r drint_(0)^(a) dx=(Imu_0)/(2pi)aln(1+b/d) $
Ora non so che fare... So che devo calcolare la corrente indotta, che è pari al rapporto tra la forza elettromotrice indotta e la resistenza. E so che la forza elettromotrice indotta è pari a meno la derivata rispetto al tempo del mio flusso... So anche la velocità, che posso scomporre in orizzontale e verticale rispetto al verso arbitrario della corrente nel filo, ossia:
$ v_(_|_)=vsintheta=vsin30=v/2 $
$ v_(|| )=vcostheta=vcos30=(sqrt3v)/2 $
Ma ora? Come agisco?
Avevo pensato ( anche se sono praticamente sicuro di aver sbagliato) che:
$ f.e.m.=-(dPhi)/dt=-(dPhi)/(d(d))(d(d))/dt=-(Imu_0a)/(2pi)(-b/((d+b)(d)))v_(_|_)=(Imu_0a)/(2pi)b/(d^2+bd)v/2 $
Visto che il campo magnetico non dipende dalla componente della velocità parallela... Poi ovviamente mi basterebbe dividere la $ f.e.m.$ per $R$ per trovare la corrente indotta...
L'ultimo procedimento ricordo di averlo visto da qualche parte, ma non sono sicuro dove... Scrivendo mi sono ricordato di questo e ho cercato di farlo... Qualcuno potrebbe farmi capire cosa ho fatto in quest'ultimo passaggio? XD E Cosa ho sbagliato?
Comunque il mio più grande dubbio è su quel segno meno della leggedi Faraday! Quando lo metto e quando posso non metterlo? Se qualcuno mi potesse far capire questo concetto gliene sarei tremendamente grato!
Problema 3) Una lamina indefinita giace nel piano $xy$ ed è percorsa da una corrente che scorre nella direzione dell'asse $y$. Sia $ J_l=(dI)/dx $ la densità lineare di corrente che attraversa la lamina. Calcolare il campo magnetico.
Risoluzione:
Non ho mai visto un problema del genere..Penso comunque che la lamina possa essere pensata come un insieme di fili sottili paralleli di lunghezza indefinita verticali, ossia lungo l'asse y, con spessore dx e che trasportano una corrente $di=Jdx$... Ora essendo i fili infinitesimi, allora ognuno di essi genererà un campo infinitesimo in un dato punto: $ dB=(mu_0di)/(2pir)=(mu_0Jdx)/(2pir) $. E da ora, ammesso che abbia fatto bene, non so come andare avanti... Qualche consiglio?
Per ora questi sono i miei dubbi principali! Probabilmente aggiornerò questa discussione con nuovi problemi...
Ringrazio anticipatamente per qualsiasi tipo di aiuto
Sto svolgendo alcuni problemi di Fisica 2, ma, non avendo potuto seguire il corso per motivi lavorativi, mi trovo con molti dubbi che non riesco a colmare
Di seguito metterò dei problemi con le relative soluzioni da me proposte, che, però, spesso saranno solo parziali... Spero mi possiate aiutare!
Problema 1) Un solenoide indefinito di raggio $R$ ed $n$ spire per unità di lunghezza, è percorso da una corrente $i$ che cresce con legge esponenziale e costante di tempo $tau$ passando dal valore iniziale $0$ al valore finale $i_0$.
Determinare il campo elettrico indotto in funzione del tempo all'interno e all'esterno del solenoide.
Risoluzione:
Beh, ovviamente devo applicare la legge di Faraday, ossia: $ oint_()barE*dbar(l)=-(dint_SbarB*dbars)/dt $
Il problema è che non riesco a capire quale sia la "legge esponenziale"" con la quale si capisce l'andamento della corrente... Qualcuno potrebbe aiutarmi su questo punto?
Comunque io faccio così:
So che il campo magnetico del solenoide derivabile dalle legge di Ampere é: $ B=inmu _0 $, con direzione verso l'asse del solenoide. Quindi il flusso è, essendo il campo magnetico indipendente dal raggio delle spire:
Per $r
Per $r>R$: $ Phi(B)=BpiR^2=piR^2mu_0ni(t)$
I quali sono uguali alla forza elettromotrice che è uguale a:
$ oint_()barE*dbarl=Eoint_()dl=E2pir $
Essendo il campo con direzione tangente alle linee di circuitazione e verso concorde alla intensità di corrente.
Quindi:
Per $r
Per $r>R:$ $ E2pir=(di)/dtpiR^2nmu_0=>E=(di)/dt(R^2nmu_0)/(2r) $
Senza il segno meno perché sto considerando il modulo.
Se ho fatto bene, allora vorrei che qualcuno gentilmente chiarisca il mio dubbio precedente, ossia:
Come posso capire come la corrente varia rispetto al tempo? Qual è la legge in questo caso?
Problema 2) Si consideri una spira rettangolare di lati $a$ e $b$ e resistenza $R$ posta in prossimità di un filo rettilineo infinitamente lungo percorso da una corrente $I$, in modo tale che il filo giaccia nel piano contenente la spira e che due lati della spira siano paralleli al filo. Sia $d$ la distanza iniziale tra il filo ed il lato $a$ della spira. Determinare la corrente indotta nella spira quando questa si allontana con velocità $barv$ lungo una direzione che forma un angolo di $30°$ rispetto alla direzione della corrente.
Risoluzione:
Qui inizialmente trovo il flusso del campo magnetico del filo sulla spira. Il filo ha simmetria cilindrico e il campo magnetico gira attorno l'asse del cilindro, quindi per calcolare il flusso, sapendo che $ B=(Imu_0)/(2pir) $ per un filo infinitamente lungo:
$ Phi(B)=intbarB*dbars=intBds=(Imu_0)/(2pi)int_(d)^(d+b) r drint_(0)^(a) dx=(Imu_0)/(2pi)aln(1+b/d) $
Ora non so che fare... So che devo calcolare la corrente indotta, che è pari al rapporto tra la forza elettromotrice indotta e la resistenza. E so che la forza elettromotrice indotta è pari a meno la derivata rispetto al tempo del mio flusso... So anche la velocità, che posso scomporre in orizzontale e verticale rispetto al verso arbitrario della corrente nel filo, ossia:
$ v_(_|_)=vsintheta=vsin30=v/2 $
$ v_(|| )=vcostheta=vcos30=(sqrt3v)/2 $
Ma ora? Come agisco?
Avevo pensato ( anche se sono praticamente sicuro di aver sbagliato) che:
$ f.e.m.=-(dPhi)/dt=-(dPhi)/(d(d))(d(d))/dt=-(Imu_0a)/(2pi)(-b/((d+b)(d)))v_(_|_)=(Imu_0a)/(2pi)b/(d^2+bd)v/2 $
Visto che il campo magnetico non dipende dalla componente della velocità parallela... Poi ovviamente mi basterebbe dividere la $ f.e.m.$ per $R$ per trovare la corrente indotta...
L'ultimo procedimento ricordo di averlo visto da qualche parte, ma non sono sicuro dove... Scrivendo mi sono ricordato di questo e ho cercato di farlo... Qualcuno potrebbe farmi capire cosa ho fatto in quest'ultimo passaggio? XD E Cosa ho sbagliato?
Comunque il mio più grande dubbio è su quel segno meno della leggedi Faraday! Quando lo metto e quando posso non metterlo? Se qualcuno mi potesse far capire questo concetto gliene sarei tremendamente grato!
Problema 3) Una lamina indefinita giace nel piano $xy$ ed è percorsa da una corrente che scorre nella direzione dell'asse $y$. Sia $ J_l=(dI)/dx $ la densità lineare di corrente che attraversa la lamina. Calcolare il campo magnetico.
Risoluzione:
Non ho mai visto un problema del genere..Penso comunque che la lamina possa essere pensata come un insieme di fili sottili paralleli di lunghezza indefinita verticali, ossia lungo l'asse y, con spessore dx e che trasportano una corrente $di=Jdx$... Ora essendo i fili infinitesimi, allora ognuno di essi genererà un campo infinitesimo in un dato punto: $ dB=(mu_0di)/(2pir)=(mu_0Jdx)/(2pir) $. E da ora, ammesso che abbia fatto bene, non so come andare avanti... Qualche consiglio?
Per ora questi sono i miei dubbi principali! Probabilmente aggiornerò questa discussione con nuovi problemi...
Ringrazio anticipatamente per qualsiasi tipo di aiuto
Risposte
"ImNoTaGenius":
...
Problema 1)....
Il problema è che non riesco a capire quale sia la "legge esponenziale"" con la quale si capisce l'andamento della corrente...
Mi pare che sia
$i(t)=i_0(1-e^(-t/tau))$.
Quindi mi basta derivare la $i(t)$ che mi hai dato tu nell'ultimo passaggio del problema per completarlo?
Ma cos'è quella $tau$ al denominatore? =/ Il mio tempo finale $T$?
Comunque mi sai indicare una dispensa o qualcosa di simile che posso leggere per capire come ricavare le leggi dell'intensità di corrente rispetto al tempo? Perché in vari problemi trovo che la corrente cresce o decresce esponenzialmente o linearmente, dandomi valori iniziali e finali. Alcune volte trovo anche come cresce o decresce il campo magnetico, ma non riesco quasi mai a capire come variano corrente o campo magnetico Dove posso vedere per capire meglio?
Grazie mille!
Ma cos'è quella $tau$ al denominatore? =/ Il mio tempo finale $T$?
Comunque mi sai indicare una dispensa o qualcosa di simile che posso leggere per capire come ricavare le leggi dell'intensità di corrente rispetto al tempo? Perché in vari problemi trovo che la corrente cresce o decresce esponenzialmente o linearmente, dandomi valori iniziali e finali. Alcune volte trovo anche come cresce o decresce il campo magnetico, ma non riesco quasi mai a capire come variano corrente o campo magnetico
Dove posso vedere per capire meglio?Grazie mille!
"ImNoTaGenius":
....cresce con legge esponenziale e costante nel tempo $T$ ....
Sicuro del testo? Non è che fosse scritto "costante di tempo $tau$"?
Hai ragione, è come dici tu Scusami! E grazie ancora!
P.S.
Nuovo problema aggiunto!
Scusami! E grazie ancora!P.S.
Nuovo problema aggiunto!
Quello del piano non sono ancora riuscito a farlo ._. Qualche aiuto?
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