Esercizi di temodinamica e termodinamica statistica
Ciao, ho alcuni problemi con questo esercizi: potete darmi una mano?
ESERCIZIO 1
Un insieme di N oscillatori armonici in D=2, di massa m e costante elastica k è in contatto con un termostato alla temperatura T.
1) Determinare, per il singolo oscillatore, $$, $ - ^2$.
2) Determinare il valor medio dell'energia potenziale (per singolo oscillatore).
So che dovrei postare il mio tentativo, ma ehm, ecco, come dire, non so da che parte prendere. Ho studiato la teoria dal libro (purtroppo ho avuto qualche difficoltà a seguire il corso causa lavoro), ma non mi ritrovo per gli esercizi. Questo esercizio è preso dall'ultima prova d'esame (che non ho fatto...e nessuno è stato in grado di spiegarmi per bene come fare).
Vi ringrazio in anticipo e scusate la mancanza di tentativi, ma non ho idea di come fare.
ESERCIZIO 1
Un insieme di N oscillatori armonici in D=2, di massa m e costante elastica k è in contatto con un termostato alla temperatura T.
1) Determinare, per il singolo oscillatore, $
2) Determinare il valor medio dell'energia potenziale (per singolo oscillatore).
So che dovrei postare il mio tentativo, ma ehm, ecco, come dire, non so da che parte prendere. Ho studiato la teoria dal libro (purtroppo ho avuto qualche difficoltà a seguire il corso causa lavoro), ma non mi ritrovo per gli esercizi. Questo esercizio è preso dall'ultima prova d'esame (che non ho fatto...e nessuno è stato in grado di spiegarmi per bene come fare).
Vi ringrazio in anticipo e scusate la mancanza di tentativi, ma non ho idea di come fare.
Risposte
Conosci la funzione di partizione per un sistema termodinamico?
Ssssì, dovrei 
Cioè, io so che in generale la funzione di partizione di un insieme canonico è
$Z = sum e^(-beta E_j)$ dove $beta = 1/(k_B T)$ e $E_j$ è l'energia interna del microstato j-esimo.
Se non ho capito male (e sarebbe probabile) l'energia totale è il valore atteso della probabilità, giusto? Però poi dovrei dividere per N (perche a me interessa lìenergia di ciascun singolo oscillatore).
Ma in tutto questo, dove metto il fatto che si tratta appunto di oscillatori? Nell'energia interna del microstato?
Non so, ho le idee poco chiare.
Grazie dell'aiuto e buon pomeriggio.
Cioè, io so che in generale la funzione di partizione di un insieme canonico è
$Z = sum e^(-beta E_j)$ dove $beta = 1/(k_B T)$ e $E_j$ è l'energia interna del microstato j-esimo.
Se non ho capito male (e sarebbe probabile) l'energia totale è il valore atteso della probabilità, giusto? Però poi dovrei dividere per N (perche a me interessa lìenergia di ciascun singolo oscillatore).
Ma in tutto questo, dove metto il fatto che si tratta appunto di oscillatori? Nell'energia interna del microstato?
Non so, ho le idee poco chiare.
Grazie dell'aiuto e buon pomeriggio.
Ma è un sistema classico o quantistico?
Una piccola premessa questi argomenti a lezione li abbiamo trattati poco, un paio di lezioni al più, assolutamente in maniera non approfondita.
Ho cercato l'argomento su altri libri (quello del corso in realtà non ne parla molto) e se non ho capito male, quello che mi stai chiedendo è se devo considerare il sistema in modo discreto (quindi facendo uso di sommatorie) o continuo (e allora integrali).
Il problema è che non lo so...nel senso, a lezione abbiamo affrontato la teoria nel primo caso; ma dalla correzione dell'esercizio, pare che avrei dovuto considerarlo come continuo.
Sorry
Ho cercato l'argomento su altri libri (quello del corso in realtà non ne parla molto) e se non ho capito male, quello che mi stai chiedendo è se devo considerare il sistema in modo discreto (quindi facendo uso di sommatorie) o continuo (e allora integrali).
Il problema è che non lo so...nel senso, a lezione abbiamo affrontato la teoria nel primo caso; ma dalla correzione dell'esercizio, pare che avrei dovuto considerarlo come continuo.
Sorry
Per un sistema classico la funzione di partizione canonica di singola particella è
[tex]\displaystyle {Z = \int \, d p \,\,\, d q \,\,\, e^{-\beta H(p,q)} }[/tex]
dove l'integrale è esteso a tutto lo spazio delle fasi , [tex]H(p,q)[/tex] è l'Hamiltoniana totale e [tex]\beta = 1 / kT[/tex].
Tu hai un sistema di [tex]N[/tex] oscillatori bidimensionali. Lo spazio delle fasi del singolo oscillatore è rappresentato da un [tex]\mathbb{R}^4[/tex], due momenti [tex]\vec{p} = (p_x,p_y)[/tex] e due coordinate [tex]\vec{r} = (x,y)[/tex]. L'Hamiltoniana è
[tex]\displaystyle{ H(\vec{p},\vec{r}) = \frac{\vec{p}^2}{2m} + \frac{k}{2} \vec{r}^2 = \frac{1}{2m} \left( p_x^2 + p_y^2 \right) + \frac{k}{2}\left( x^2 + y^2 \right) }[/tex]
Ora devi costruire l'Hamiltoniana totale e trovare la funzione di partizione (lo sapresti fare?). Fatto questo hai la distribuzione di probabilità canonica, data da
[tex]\displaystyle{ \rho(p,q) = \frac{ e^{-\beta H(p,q)} }{Z} }[/tex]
che puoi usare per calcolare i valori medi di cui sopra, cioè
[tex]\displaystyle{ \langle E \rangle = \langle H \rangle = \int \,\, dp \,\, dq \,\, H \frac{ e^{-\beta H(p,q)} }{Z} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \langle E^2 \rangle = \langle H^2 \rangle = \int \,\, dp \,\, dq \,\, H^2 \frac{ e^{-\beta H(p,q)} }{Z} }[/tex]
Ti torna?
[tex]\displaystyle {Z = \int \, d p \,\,\, d q \,\,\, e^{-\beta H(p,q)} }[/tex]
dove l'integrale è esteso a tutto lo spazio delle fasi , [tex]H(p,q)[/tex] è l'Hamiltoniana totale e [tex]\beta = 1 / kT[/tex].
Tu hai un sistema di [tex]N[/tex] oscillatori bidimensionali. Lo spazio delle fasi del singolo oscillatore è rappresentato da un [tex]\mathbb{R}^4[/tex], due momenti [tex]\vec{p} = (p_x,p_y)[/tex] e due coordinate [tex]\vec{r} = (x,y)[/tex]. L'Hamiltoniana è
[tex]\displaystyle{ H(\vec{p},\vec{r}) = \frac{\vec{p}^2}{2m} + \frac{k}{2} \vec{r}^2 = \frac{1}{2m} \left( p_x^2 + p_y^2 \right) + \frac{k}{2}\left( x^2 + y^2 \right) }[/tex]
Ora devi costruire l'Hamiltoniana totale e trovare la funzione di partizione (lo sapresti fare?). Fatto questo hai la distribuzione di probabilità canonica, data da
[tex]\displaystyle{ \rho(p,q) = \frac{ e^{-\beta H(p,q)} }{Z} }[/tex]
che puoi usare per calcolare i valori medi di cui sopra, cioè
[tex]\displaystyle{ \langle E \rangle = \langle H \rangle = \int \,\, dp \,\, dq \,\, H \frac{ e^{-\beta H(p,q)} }{Z} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \langle E^2 \rangle = \langle H^2 \rangle = \int \,\, dp \,\, dq \,\, H^2 \frac{ e^{-\beta H(p,q)} }{Z} }[/tex]
Ti torna?
Ovviamente ci sono dei trucchetti per evitare di fare tutti gli integrali, ad esempio considera
[tex]\displaystyle{ \langle E \rangle = \langle H \rangle = \int \,\, dp \,\, dq \,\, H \frac{ e^{-\beta H(p,q)} }{Z} = - \frac{1}{Z} \int \,\, dp \,\, dq \,\, \frac{\partial}{\partial \beta} e^{-\beta H(p,q)} = - \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \beta} \int \,\, dp \,\, dq \,\, e^{-\beta H(p,q)} = - \frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta} = -\frac{\partial}{\partial \beta} \log Z}[/tex]
quindi
[tex]\displaystyle{ \langle E \rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \log Z}[/tex]
che è decisamente più economico dal punto di vista dei conti.
Oppure, con la stessa filosofia ma con una derivata in più,
[tex]\displaystyle{ \langle E^2 \rangle = \langle H^2 \rangle = \frac{1}{Z} \frac{\partial^2}{\partial \beta^2} \int \,\, dp \,\, dq \,\, e^{-\beta H(p,q)} = \frac{1}{Z} \frac{\partial^2 Z}{\partial \beta^2} }[/tex]
"spostando", da quest'ultima, una derivata(*) ottieni
[tex]\displaystyle{ \langle E^2 \rangle = \frac{\partial }{\partial \beta} \left( \frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta} \right) - \frac{\partial Z}{\partial \beta} \,\, \frac{\partial }{\partial \beta} \left( \frac{1}{Z} \right) = \frac{\partial^2 }{\partial \beta^2} \log Z + \frac{\partial Z}{\partial \beta} \,\, \frac{1}{Z^2} \frac{\partial Z}{\partial \beta} = \frac{\partial^2 }{\partial \beta^2} \log Z + \left( \frac{\partial }{\partial \beta} \log Z \right)^2}[/tex]
e quindi
[tex]\displaystyle{ \Delta E^2 = \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2 = \frac{\partial^2 }{\partial \beta^2} \log Z }[/tex]
Ho aggiunto questo per enfatizzare il ruolo della funzione di partizione. Infatti con le scorciatoie di questo post in effetti di integrale ne devi fare solo uno, quello per la [tex]Z[/tex]. Simili ragionamenti funzionano anche per ricavare l'entropia (e in realtà tutte quante le funzioni di stato) partendo dalla funzione di partizione. La cui importanza quindi non è mai sopravvalutata.
(*) nel senso di [tex]f' g = (fg)' - f g'[/tex]
[tex]\displaystyle{ \langle E \rangle = \langle H \rangle = \int \,\, dp \,\, dq \,\, H \frac{ e^{-\beta H(p,q)} }{Z} = - \frac{1}{Z} \int \,\, dp \,\, dq \,\, \frac{\partial}{\partial \beta} e^{-\beta H(p,q)} = - \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \beta} \int \,\, dp \,\, dq \,\, e^{-\beta H(p,q)} = - \frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta} = -\frac{\partial}{\partial \beta} \log Z}[/tex]
quindi
[tex]\displaystyle{ \langle E \rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \log Z}[/tex]
che è decisamente più economico dal punto di vista dei conti.
Oppure, con la stessa filosofia ma con una derivata in più,
[tex]\displaystyle{ \langle E^2 \rangle = \langle H^2 \rangle = \frac{1}{Z} \frac{\partial^2}{\partial \beta^2} \int \,\, dp \,\, dq \,\, e^{-\beta H(p,q)} = \frac{1}{Z} \frac{\partial^2 Z}{\partial \beta^2} }[/tex]
"spostando", da quest'ultima, una derivata(*) ottieni
[tex]\displaystyle{ \langle E^2 \rangle = \frac{\partial }{\partial \beta} \left( \frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta} \right) - \frac{\partial Z}{\partial \beta} \,\, \frac{\partial }{\partial \beta} \left( \frac{1}{Z} \right) = \frac{\partial^2 }{\partial \beta^2} \log Z + \frac{\partial Z}{\partial \beta} \,\, \frac{1}{Z^2} \frac{\partial Z}{\partial \beta} = \frac{\partial^2 }{\partial \beta^2} \log Z + \left( \frac{\partial }{\partial \beta} \log Z \right)^2}[/tex]
e quindi
[tex]\displaystyle{ \Delta E^2 = \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2 = \frac{\partial^2 }{\partial \beta^2} \log Z }[/tex]
Ho aggiunto questo per enfatizzare il ruolo della funzione di partizione. Infatti con le scorciatoie di questo post in effetti di integrale ne devi fare solo uno, quello per la [tex]Z[/tex]. Simili ragionamenti funzionano anche per ricavare l'entropia (e in realtà tutte quante le funzioni di stato) partendo dalla funzione di partizione. La cui importanza quindi non è mai sopravvalutata.
(*) nel senso di [tex]f' g = (fg)' - f g'[/tex]
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