Esercizi d'esame
Salve vorrei alcuni chiaramenti di come svolgere i due seguenti esercizi.
1) Un proiettile viene lanciato verticalmente all'insù da un pianeta privo di atmosfera con massa M e raggio R; la sua velocità iniziale è il doppio della velocità di fuga. Si deduca un'espressione per la sua velocità in funzione della distanza dal centro del pianeta.
2) I satelliti vengono lanciati di solito verso est per sfruttare la rotazione della terra. Si calcoli (in %) la maggiore energia necessaria per lanciare un satellite in un'orbita polare alla quota di 1000 km rispetto a quella necessaria per lanciarlo in un'orbita equatoriale alla stessa quota.
Grazie cordiali saluti.
Cris.
1) Un proiettile viene lanciato verticalmente all'insù da un pianeta privo di atmosfera con massa M e raggio R; la sua velocità iniziale è il doppio della velocità di fuga. Si deduca un'espressione per la sua velocità in funzione della distanza dal centro del pianeta.
2) I satelliti vengono lanciati di solito verso est per sfruttare la rotazione della terra. Si calcoli (in %) la maggiore energia necessaria per lanciare un satellite in un'orbita polare alla quota di 1000 km rispetto a quella necessaria per lanciarlo in un'orbita equatoriale alla stessa quota.
Grazie cordiali saluti.
Cris.
Risposte
Per il primo direi intanto di trovare un'espressione riguardante la velocità di fuga (per la quale la velocità all'infinito è zero)
Impostiamo la conservazione e otteniamo
$1/2mv_(fuga)^2-(GMm)/r=0$
ovvero (mantenendo il quadrato)
$v_(fuga)^2=(2GM)/r$
Ora impostiamo la conservazione, ma presupponendo che la velocità iniziale sia il dobbio della velocità di fuga, che abbiamo ritrovato.
Tieni conto che avendo i termini al quadrato, il quadrato del doppio della velocità di fuga è il quadruplo della velocità di fuga.
Otteniamo
$1/2m*(4*(2GM)/r)+(GMm)/r=1/2mv^2$
se non ho sbagliato i calcoli dovrei avere
$v=sqrt(10GM/r)$
Per il secondo non saprei dirti, spero di aver fatto giusto almeno il primo.
Ciao
Impostiamo la conservazione e otteniamo
$1/2mv_(fuga)^2-(GMm)/r=0$
ovvero (mantenendo il quadrato)
$v_(fuga)^2=(2GM)/r$
Ora impostiamo la conservazione, ma presupponendo che la velocità iniziale sia il dobbio della velocità di fuga, che abbiamo ritrovato.
Tieni conto che avendo i termini al quadrato, il quadrato del doppio della velocità di fuga è il quadruplo della velocità di fuga.
Otteniamo
$1/2m*(4*(2GM)/r)+(GMm)/r=1/2mv^2$
se non ho sbagliato i calcoli dovrei avere
$v=sqrt(10GM/r)$
Per il secondo non saprei dirti, spero di aver fatto giusto almeno il primo.
Ciao
Non ho capito perchè non hai considerato l'energia potenziale sul pianeta. Bisogna solo considerare l'energia potenziale inifinita o anche quella del pianeta? GRAZIE
Non ho capito bene... in questo caso ti spiego entrambe le equazioni.
Nella prima, usata per considerare la velocità di fuga, al primo membro ho messo la situazione al momento del lancio: velocità iniziale (di fuga) e energia potenziale al suolo (infatti al denominatore c'è r, raggio della terra).
Nel secondo membro non c'è nulla perchè l'energia potenziale all'infinito è zero (il pianeta non esercità più forza) e la cinetica pure (infatti la velocità di fuga è la velocità per la quale sfuggi dal pianeta ma non ti rimane più energia, e sei fermo all'infinito).
Nella seconda, al primo mebro si ripete la stessa storia.
Questa volta il satellite, uscito dall'influenza del pianeta, ha ancora velocità residua (che dobbiamo calcolare) v, mentre l'energia potenziale è nulla (siamo all'infinito).
Se hai dubbi, dimmelo.
Ciao
Nella prima, usata per considerare la velocità di fuga, al primo membro ho messo la situazione al momento del lancio: velocità iniziale (di fuga) e energia potenziale al suolo (infatti al denominatore c'è r, raggio della terra).
Nel secondo membro non c'è nulla perchè l'energia potenziale all'infinito è zero (il pianeta non esercità più forza) e la cinetica pure (infatti la velocità di fuga è la velocità per la quale sfuggi dal pianeta ma non ti rimane più energia, e sei fermo all'infinito).
Nella seconda, al primo mebro si ripete la stessa storia.
Questa volta il satellite, uscito dall'influenza del pianeta, ha ancora velocità residua (che dobbiamo calcolare) v, mentre l'energia potenziale è nulla (siamo all'infinito).
Se hai dubbi, dimmelo.
Ciao
Io credo che nella seconda formula al secondo membro tu debba considerare anche l'energia potenziale che hai per una generica distanza, infatti si vuole conoscere l'andamento della velocità in funzione della distanza da centro della terra, quindi...
A me torna:
$v(r)=sqrt(2GM(3/R+1/r))$
dove $R$ è il raggio della terra ed $r$ la distanza generica.
$v(r)=sqrt(2GM(3/R+1/r))$
dove $R$ è il raggio della terra ed $r$ la distanza generica.
"cavallipurosangue":
Io credo che nella seconda formula al secondo membro tu debba considerare anche l'energia potenziale che hai per una generica distanza, infatti si vuole conoscere l'andamento della velocità in funzione della distanza da centro della terra, quindi...
Nella seconda equazione non bisogna dimenticare che la velocità di sparo è il doppio della velocità di fuga.
Quindi, se il corpo perde tutta l'energia potenziale con la sola velocità di fuga, figuriamoci con il doppio...
Direi che siamo all'infinito, è il corpo si muove di moto rettilineo uniforme.
Che dici?
Ciao
Ha ragione ovviamente Cavallipurosangue (ben ritornato).
Steven se un corpo raggiunge la velocità di fuga non significa che "perde" la sua energia potenziale, quella c'è sempre, indipendentemente dalla velocità, ed è legata al fatto che agisce sempre una forza conservativa nel sistema pianeta-corpo.
Con la velocità di fuga il corpo acquisisce una energia cinetica che gli permette di superare l'energia potenziale che lo tiene legato al pianeta, stop.
Steven se un corpo raggiunge la velocità di fuga non significa che "perde" la sua energia potenziale, quella c'è sempre, indipendentemente dalla velocità, ed è legata al fatto che agisce sempre una forza conservativa nel sistema pianeta-corpo.
Con la velocità di fuga il corpo acquisisce una energia cinetica che gli permette di superare l'energia potenziale che lo tiene legato al pianeta, stop.
Mi scuso con CrisLoveStefy per la mia sincera vaccata che, per mia e sua fortuna, è stata individuata.
Purtroppo sono rimasto ancorato alla definizione comune ma inesatta, come ci dice wikipedia
Ora dato che la velocità in funzione della distanza è
$v(r)=sqrt(2GM(3/R+1/r))$
posso dedurne che il corpo non andrà mai sotto la velocità di $sqrt((6GM)/R)$ ??
Ciao
Purtroppo sono rimasto ancorato alla definizione comune ma inesatta, come ci dice wikipedia
"wikipedia":
Comunemente si definisce la velocità di fuga come la velocità necessaria per liberarsi da un campo gravitazionale, questa definizione è inesatta perché un campo gravitazionale è infinitamente esteso.
Ora dato che la velocità in funzione della distanza è
$v(r)=sqrt(2GM(3/R+1/r))$
posso dedurne che il corpo non andrà mai sotto la velocità di $sqrt((6GM)/R)$ ??
Ciao
Grazie del bentornato giuseppe... 
In ogni caso attenzione il dominio di quella funzione è $R<=r<=+\infty$,
quindi la velocità più bassa possibile è la velcotà con cui lo lanci, ossia:
$v(R)=\sqrt{8GM/R}$, che è proprio il doppio della velocità di fuga.
In ogni caso attenzione il dominio di quella funzione è $R<=r<=+\infty$,
quindi la velocità più bassa possibile è la velcotà con cui lo lanci, ossia:
$v(R)=\sqrt{8GM/R}$, che è proprio il doppio della velocità di fuga.
Scusa non ho ben capito... io chiedevo la velocità più bassa all'infinito, ovvero la velocità sulla quale il corpo di stabilizza, dato che la forza del pianeta (sempre più lontano) tende a zero.
Per questo ho visto cosa accadeva alla velocità imponento $r=oo$
Come mai tu hai invece imposto $r=R$ ?
Ciao e scusa il disturbo.
Per questo ho visto cosa accadeva alla velocità imponento $r=oo$
Come mai tu hai invece imposto $r=R$ ?
Ciao e scusa il disturbo.
Scusami...
Stavolta mi son confuso io, volevo dire la velocità più alta ed ho scritto che dicevo la più bassa...
In ogni caso si all'infinito la velocità è proprio quella $sqrt{6GM/R}$.
Per altro quella che avresti trovato anche tu se solo non avevessi sbagliato il segno al secondo termine del primo membro della seconda equazione di conservazione che hai scritto.
Stavolta mi son confuso io, volevo dire la velocità più alta ed ho scritto che dicevo la più bassa...
In ogni caso si all'infinito la velocità è proprio quella $sqrt{6GM/R}$.
Per altro quella che avresti trovato anche tu se solo non avevessi sbagliato il segno al secondo termine del primo membro della seconda equazione di conservazione che hai scritto.
Ok
Grazie dei chiarimenti, ciao.
Stefano
Grazie dei chiarimenti, ciao.
Stefano
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