Esercizi Cinematica - Composizione vettori velocità
1)Una piattaforma, inizialmente in quiete a livello del suolo, viene
improvvisamente messa in moto di salita verticale con velocità costante $V_T = 4 ms−1$. Quando
la piattaforma si trova ad un’altezza H = 5.1 m dal suolo, un corpo puntiforme viene lanciato
dalla piattaforma con velocità relativa di modulo $v_0 = 10 m/s$ e alzo θ = 30°. Calcolare:
a) il modulo e la direzione della velocità del corpo al momento del lancio rispetto ad un
osservatore solidale al suolo;
b) la massima altezza rispetto al suolo raggiunta dal corpo dopo il lancio;
c) le coordinate del punto di impatto al suolo.
Il sistema di riferimento è al suolo, la piattaforma sale lungo la retta verticale x=0.
dunque stavolta il mio dubbio, come da titolo, riguarda il comportamento del corpo puntiforme nei termini della velocità.
all'istante in cui il corpo viene lanciato la piattaforma si muove e quindi la mia idea è stata banalmente quella di sommare $V_T$ con $v_0$. ossia:
$v_0=v_0 sin \theta \hat j + v_0 cos \theta \hat i$
$V_T=V_T \hat j$
quindi ho deciso di sommare le componenti lungo i e j ( rispettivamente parallele a x e y ), ottengo:
$v_0 + V_T= (v_0 sin \theta + V_T) \hat j + v_0 cos \theta \hat i = (5+4) \hat j + 8,66 \hat i$
cioè :
$|v_0 + V_T|=sqrt(9^2+8,66^2)=12,5 m/s
al che l'angolo tra la base della piattaforma (parallela a x) e il vettore velocità complessivo :
$arctan \alpha=9/8.66 rArr \alpha=46°$
ho dunque trovato modulo e direzione. Secondo voi è corretto?
2) Un corpo, assimilabile a un punto materiale, di massa m = 0.5 kg,
solidalmente appoggiato sul pavimento di un vagone ferroviario in moto rettilineo traslatorio
uniforme lungo il piano orizzontale con velocità $V_T = 57.6 (km)/h$, viene lanciato in aria in
direzione verticale verso l’alto con velocità relativa $v_0 = 11 m/s$. Trascurando l’attrito con
l’aria, calcolare:
a) il modulo e la direzione della velocità $v_A$ del corpo nell’istante del lancio, rispetto ad un
osservatore solidale al suolo.
....ecc.
Suggerimento: Scegliere l’origine O del sistema di riferimento Oxy solidale al suolo in modo
che l’asse y passi per la posizione occupata dal corpo all’istante t = 0, istante in cui il corpo
viene lanciato in aria.
anche in questo problema la velocità $v_A$ si calcola analogamente a prima?
improvvisamente messa in moto di salita verticale con velocità costante $V_T = 4 ms−1$. Quando
la piattaforma si trova ad un’altezza H = 5.1 m dal suolo, un corpo puntiforme viene lanciato
dalla piattaforma con velocità relativa di modulo $v_0 = 10 m/s$ e alzo θ = 30°. Calcolare:
a) il modulo e la direzione della velocità del corpo al momento del lancio rispetto ad un
osservatore solidale al suolo;
b) la massima altezza rispetto al suolo raggiunta dal corpo dopo il lancio;
c) le coordinate del punto di impatto al suolo.
Il sistema di riferimento è al suolo, la piattaforma sale lungo la retta verticale x=0.
dunque stavolta il mio dubbio, come da titolo, riguarda il comportamento del corpo puntiforme nei termini della velocità.
all'istante in cui il corpo viene lanciato la piattaforma si muove e quindi la mia idea è stata banalmente quella di sommare $V_T$ con $v_0$. ossia:
$v_0=v_0 sin \theta \hat j + v_0 cos \theta \hat i$
$V_T=V_T \hat j$
quindi ho deciso di sommare le componenti lungo i e j ( rispettivamente parallele a x e y ), ottengo:
$v_0 + V_T= (v_0 sin \theta + V_T) \hat j + v_0 cos \theta \hat i = (5+4) \hat j + 8,66 \hat i$
cioè :
$|v_0 + V_T|=sqrt(9^2+8,66^2)=12,5 m/s
al che l'angolo tra la base della piattaforma (parallela a x) e il vettore velocità complessivo :
$arctan \alpha=9/8.66 rArr \alpha=46°$
ho dunque trovato modulo e direzione. Secondo voi è corretto?
2) Un corpo, assimilabile a un punto materiale, di massa m = 0.5 kg,
solidalmente appoggiato sul pavimento di un vagone ferroviario in moto rettilineo traslatorio
uniforme lungo il piano orizzontale con velocità $V_T = 57.6 (km)/h$, viene lanciato in aria in
direzione verticale verso l’alto con velocità relativa $v_0 = 11 m/s$. Trascurando l’attrito con
l’aria, calcolare:
a) il modulo e la direzione della velocità $v_A$ del corpo nell’istante del lancio, rispetto ad un
osservatore solidale al suolo.
....ecc.
Suggerimento: Scegliere l’origine O del sistema di riferimento Oxy solidale al suolo in modo
che l’asse y passi per la posizione occupata dal corpo all’istante t = 0, istante in cui il corpo
viene lanciato in aria.
anche in questo problema la velocità $v_A$ si calcola analogamente a prima?
Risposte
Anche a me per il primo esce
$alpha=46°$
e
$v=12,5m/s$
Per il secondo poi prenderei le due componenti
$v_x$ (treno)
$v_y=11m/s$
e troverei l'ipotenusa e l''angolo tra ipotenusa e cateto che funge da base.
Magari aspetta anche un'altra conferma.
Ciao.
$alpha=46°$
e
$v=12,5m/s$
Per il secondo poi prenderei le due componenti
$v_x$ (treno)
$v_y=11m/s$
e troverei l'ipotenusa e l''angolo tra ipotenusa e cateto che funge da base.
Magari aspetta anche un'altra conferma.
Ciao.
Per quanto riguarda il primo esercizio mi trovo con il modulo (v=12,5 m/s), però ho dei dubbi sulla direzione. Secondo me l'angolo è anche qui di 30°. Infatti, siccome piattaforma e suolo sono paralleli (almeno così si desume dal testo), il vettore velocità forma lo stesso angolo sia col suolo che con la piattaforma (questi due angoli, infatti, sono corrispondenti). Comunque non sono sicuro del mio ragionamento, in quanto l'angolo che hai calcolato è, in effetti, diverso da 30°.
qui trovate la figura:
scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid020558.pdf
cmq mi sembra di capire che è giusto il modo in cui ho deciso di comporre la velocità della piattaforma con quella del lancio del corpo. se volete posto la soluzione agli altri due punti che richiedono la massima altezza e il punto di caduta al suolo..ma a questo punto sono abbastanza semplici..
scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid020558.pdf
cmq mi sembra di capire che è giusto il modo in cui ho deciso di comporre la velocità della piattaforma con quella del lancio del corpo. se volete posto la soluzione agli altri due punti che richiedono la massima altezza e il punto di caduta al suolo..ma a questo punto sono abbastanza semplici..
Altro problema..da cui non mi sembra di venire fuori con la sicurezza che invece dovrei avere...dato che l'esame è alle porte sigh.
qui trovate testo e disegno.
scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid789539.pdf
posto comunque il testo per comodità.
Un bersaglio di dimensioni trascurabili è posto in B ad un’altezza H = 5 m
dal suolo; un carrellino in moto rettilineo uniforme sul piano orizzontale con velocità di
modulo V = 2 m/s, si avvicina al punto Q, punto proiezione del bersaglio B sul piano
orizzontale. Quando il carrellino si trova a distanza H dal punto Q viene lanciato dal
carrellino stesso un sasso ad un angolo α rispetto al piano orizzontale che colpisce il bersaglio
proprio nel punto più alto della sua traiettoria. Trascurando le dimensioni del carrellino
rispetto ad H e considerando trascurabile l’attrito con l’aria, calcolare:
(a) le componenti $v_(0x)$ e $v_(0y)$ della velocità iniziale del sasso rispetto al suolo (velocità
assoluta);
(b) l’angolo di lancio α;
(c) il modulo delle velocità iniziale v’ del sasso rispetto al carrello (velocità relativa);
(d) l’equazione della traiettoria descritta dal sasso rispetto ad un osservatore solidale al
suolo.
SOLUZIONE
allora ho iniziato con il scrivere le componenti delle velocità del sasso rispetto al suolo:
$\{(v_(0x)=v_0 cos \alpha + V),(v_(0y)=v_0 sin \alpha-g*t):}$
quindi valgono:
$\{(x=(v_0 cos \alpha + V)*t (1)),(y=v_0 sin \alpha * t - 1/2*g*t^2 (2)):}$
poichè $v_0y=0$ nel punto di massima altezza allora posso scrivere :
$v_0 sin \alpha = g*t$ (3)
dalla (2) dunque si ottiene: (ricordo che y=H perchè siamo nel punto di massima altezza che per ipotesi è H!)
$H=g*t^2-1/2*g*t^2=1/2*g*t^2 rArr t=sqrt((2*H)/g)=1 s$
dalla (1) invece:
$H=v_0 cos \alpha*t + V*t rArr v_0 cos \alpha = H/t - V = 3 m/s$
e dato che ho trovato t= 1 s allora dalla (3) si ha:
$v_0 sin \alpha=g*t=9.8 m/s$
dunque dal primo sistema che ho scritto sulle velocità si ha:
$v_(0x)=3+2=5 m/s$
cioè la velocità del sasso rispetto al suolo è la velocità del sasso rispetto al carrello (3 m/s) + la velocità del carrello. e mi sembra corretto.
mentre:
$v_(0y)=9.8 m/s$
velocità del sasso rispetto al suolo. Il carrello è fermo lungo y.
l'angolo si trova: $tg \alpha= 9.8/3 rArr \alpha=73 \circ$
la velocità del sasso rispetto al carrello è uguale alla velocità del sasso rispetto al suolo meno la velocità del carrello...
cioè
$v'_x =v_0 cos \alpha = 3 m/s$
$v'_y=v_0 sin \alpha = 9.8 m/s$
quindi $v'=sqrt(3^2+9.8^2)=10,2 m/s $
per la traiettoria basta ricavare il tempo da x nella (1) e sostiturilo nella (2) ricavando così y(x)..
se ho sbagliato qualcosa correggetemi, perchè non sono troppo sicuro. anche se ho fatto qualche check giostrando le formule ( che vabbè sono sempre le stesse) e i conti mi sembrano tornare..
qui trovate testo e disegno.
scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid789539.pdf
posto comunque il testo per comodità.
Un bersaglio di dimensioni trascurabili è posto in B ad un’altezza H = 5 m
dal suolo; un carrellino in moto rettilineo uniforme sul piano orizzontale con velocità di
modulo V = 2 m/s, si avvicina al punto Q, punto proiezione del bersaglio B sul piano
orizzontale. Quando il carrellino si trova a distanza H dal punto Q viene lanciato dal
carrellino stesso un sasso ad un angolo α rispetto al piano orizzontale che colpisce il bersaglio
proprio nel punto più alto della sua traiettoria. Trascurando le dimensioni del carrellino
rispetto ad H e considerando trascurabile l’attrito con l’aria, calcolare:
(a) le componenti $v_(0x)$ e $v_(0y)$ della velocità iniziale del sasso rispetto al suolo (velocità
assoluta);
(b) l’angolo di lancio α;
(c) il modulo delle velocità iniziale v’ del sasso rispetto al carrello (velocità relativa);
(d) l’equazione della traiettoria descritta dal sasso rispetto ad un osservatore solidale al
suolo.
SOLUZIONE
allora ho iniziato con il scrivere le componenti delle velocità del sasso rispetto al suolo:
$\{(v_(0x)=v_0 cos \alpha + V),(v_(0y)=v_0 sin \alpha-g*t):}$
quindi valgono:
$\{(x=(v_0 cos \alpha + V)*t (1)),(y=v_0 sin \alpha * t - 1/2*g*t^2 (2)):}$
poichè $v_0y=0$ nel punto di massima altezza allora posso scrivere :
$v_0 sin \alpha = g*t$ (3)
dalla (2) dunque si ottiene: (ricordo che y=H perchè siamo nel punto di massima altezza che per ipotesi è H!)
$H=g*t^2-1/2*g*t^2=1/2*g*t^2 rArr t=sqrt((2*H)/g)=1 s$
dalla (1) invece:
$H=v_0 cos \alpha*t + V*t rArr v_0 cos \alpha = H/t - V = 3 m/s$
e dato che ho trovato t= 1 s allora dalla (3) si ha:
$v_0 sin \alpha=g*t=9.8 m/s$
dunque dal primo sistema che ho scritto sulle velocità si ha:
$v_(0x)=3+2=5 m/s$
cioè la velocità del sasso rispetto al suolo è la velocità del sasso rispetto al carrello (3 m/s) + la velocità del carrello. e mi sembra corretto.
mentre:
$v_(0y)=9.8 m/s$
velocità del sasso rispetto al suolo. Il carrello è fermo lungo y.
l'angolo si trova: $tg \alpha= 9.8/3 rArr \alpha=73 \circ$
la velocità del sasso rispetto al carrello è uguale alla velocità del sasso rispetto al suolo meno la velocità del carrello...
cioè
$v'_x =v_0 cos \alpha = 3 m/s$
$v'_y=v_0 sin \alpha = 9.8 m/s$
quindi $v'=sqrt(3^2+9.8^2)=10,2 m/s $
per la traiettoria basta ricavare il tempo da x nella (1) e sostiturilo nella (2) ricavando così y(x)..
se ho sbagliato qualcosa correggetemi, perchè non sono troppo sicuro. anche se ho fatto qualche check giostrando le formule ( che vabbè sono sempre le stesse) e i conti mi sembrano tornare..
Non ho controllato i conti con la calcolatrice; comunque il procedimento direi che è corretto.
Comunque se ti interessa, puoi dare uno sguardo qua
https://www.matematicamente.it/esercizi_svolti/fisica/
Ne ho messi almeno un paio carini sulla cinematica.
Ciao.
https://www.matematicamente.it/esercizi_svolti/fisica/
Ne ho messi almeno un paio carini sulla cinematica.
Ciao.
grazie mille per le risposte. gli esercizi svolti li ho già guardati 
ciao!sul problema precedentemente svolto da marioz87...io nn mi ritrovo con alcuni conti!
perchè all'inizio considera l'equazione v0x=v0cos(alfa)+V ?? da dove la ricava??
a me viene così(sen e cos nn li ho neanche scritti..xkè è uguale..tanto nn conosco alfa!):
5=v0x(t)+1/2(a0x)t(quadro)
0=v0x(t)+a0xt
5=v0y(t)-1/2(g)(tquadro)
0=v0y-gt
e da queste a me risulta giustamente v0y=9.81, t=1s, e v0x=10 m/s come a0x.
Quindi a me viene 10..a lui se nn sbaglio viene 5 perchè???..la sua prima equazione da doce l'ha presa??
POi:
Per svolgere
(d) l’equazione della traiettoria descritta dal sasso rispetto ad un osservatore solidale al
suolo.
Quali sono esattamente le equaizoni che devo considerare??qualcuno me lo può svolgere questo ultimo punto??grazie mille
perchè all'inizio considera l'equazione v0x=v0cos(alfa)+V ?? da dove la ricava??
a me viene così(sen e cos nn li ho neanche scritti..xkè è uguale..tanto nn conosco alfa!):
5=v0x(t)+1/2(a0x)t(quadro)
0=v0x(t)+a0xt
5=v0y(t)-1/2(g)(tquadro)
0=v0y-gt
e da queste a me risulta giustamente v0y=9.81, t=1s, e v0x=10 m/s come a0x.
Quindi a me viene 10..a lui se nn sbaglio viene 5 perchè???..la sua prima equazione da doce l'ha presa??
POi:
Per svolgere
(d) l’equazione della traiettoria descritta dal sasso rispetto ad un osservatore solidale al
suolo.
Quali sono esattamente le equaizoni che devo considerare??qualcuno me lo può svolgere questo ultimo punto??grazie mille
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