Esempio di campo conservativo e forma differenziale
Salve a tutti, sto seguendo un corso di fisica matematica (base) nel quale spesso vengono citati oggetti di cui io non ho un'interpretazione nella fisica, premetto che sono molto scarso in fisica, ho seguito (senza ancora aver dato l'esame tra l'altro) solo un corso di fisica generale di base, e durante questo corso non avevamo ancora visto in analisi nemmeno gli integrali di Riemann (ovviamente sapevo gia' cosa fossero dalle superiori, ma non in modo rigoroso).
Ho la definizione di campo vettoriale e forma differenziale dall'analisi, so cosa significa che il campo e' conservativo e la forma e' esatta, so che sono concetti "equivalenti" (nel senso che da uno campo (conservativo) ottengo sempre un'unica forma (esatta) e viceversa), so cosa significa integrare una forma (e analogamente un campo) su una curva, so che se integro una forma esatta (o un campo conservativo) allora il risultato non dipende dalla curva e conosco il lemma di Poincare' ossia che un campo conservativo (forma esatta) e' irrotazionale (chiusa).
Ovviamente non sono stato rigoroso, mancano tutte le ipotesi riguardo quello che ho appena scritto.
Comunque, qualcuno potrebbe per piacere farmi (o linkarmi) un esempio di sistema meccanico/dinamico indicandomi quale e' il campo, se e' conservativo, come interpreto la forma associata e quale e' il significato di integrare su una curva.
Mi stavo dimenticando: potreste indicarmi quale sarebbe il flusso nell'esempio? Sento spesso parlare anche di flusso nel corso che sto seguendo, anche se questo in realta' non l'ho ancora studiato in analisi.
Grazie mille a tutti!
Ho la definizione di campo vettoriale e forma differenziale dall'analisi, so cosa significa che il campo e' conservativo e la forma e' esatta, so che sono concetti "equivalenti" (nel senso che da uno campo (conservativo) ottengo sempre un'unica forma (esatta) e viceversa), so cosa significa integrare una forma (e analogamente un campo) su una curva, so che se integro una forma esatta (o un campo conservativo) allora il risultato non dipende dalla curva e conosco il lemma di Poincare' ossia che un campo conservativo (forma esatta) e' irrotazionale (chiusa).
Ovviamente non sono stato rigoroso, mancano tutte le ipotesi riguardo quello che ho appena scritto.
Comunque, qualcuno potrebbe per piacere farmi (o linkarmi) un esempio di sistema meccanico/dinamico indicandomi quale e' il campo, se e' conservativo, come interpreto la forma associata e quale e' il significato di integrare su una curva.
Mi stavo dimenticando: potreste indicarmi quale sarebbe il flusso nell'esempio? Sento spesso parlare anche di flusso nel corso che sto seguendo, anche se questo in realta' non l'ho ancora studiato in analisi.
Grazie mille a tutti!
Risposte
Il primo esempio che mi viene in mente è il campo elettrico (o anche quello gravitazionale). Sono entrambi campi conservativi.
Il concetto di integrale di linea si riferisce al calcolo del lavoro. Il lavoro è definito come l'integrale di linea di una forza:
$L = int_(s_1)^(s_2) F ds$
Il legame tra campo e di forze e forza è immediato: nel caso del campo elettrico la forza è data dal campo moltiplicato per la carica su cui agisce e, analogamente, la forza di gravità è data dal campo gravitazionale moltiplicato per la massa su cui agisce.
Per coglierne il significato fisico consideriamo l'esempio del campo gravitazionale e immaginiamo di voler spostare un corpo di massa m, da un punto A ad un punto B. Il fatto che l'integrale citato sia indifferente alla scelta della curva ci dice che il lavoro, ovvero l'energia che devo spendere per rendere possibile tale movimento, è indifferente dal cammino che scelgo per portare il corpo da A a B. Grande risultato!
Un esempio di forza non conservativa, per la quale quanto detto fin'ora non vale, è, ad esempio, l'attrito. L'integrale di linea dell'a forza di attrito dipende fortemente dalla curva scelta infatti un percorso più lungo richiederà un lavoro maggiore!
Il concetto di integrale di linea si riferisce al calcolo del lavoro. Il lavoro è definito come l'integrale di linea di una forza:
$L = int_(s_1)^(s_2) F ds$
Il legame tra campo e di forze e forza è immediato: nel caso del campo elettrico la forza è data dal campo moltiplicato per la carica su cui agisce e, analogamente, la forza di gravità è data dal campo gravitazionale moltiplicato per la massa su cui agisce.
Per coglierne il significato fisico consideriamo l'esempio del campo gravitazionale e immaginiamo di voler spostare un corpo di massa m, da un punto A ad un punto B. Il fatto che l'integrale citato sia indifferente alla scelta della curva ci dice che il lavoro, ovvero l'energia che devo spendere per rendere possibile tale movimento, è indifferente dal cammino che scelgo per portare il corpo da A a B. Grande risultato!
Un esempio di forza non conservativa, per la quale quanto detto fin'ora non vale, è, ad esempio, l'attrito. L'integrale di linea dell'a forza di attrito dipende fortemente dalla curva scelta infatti un percorso più lungo richiederà un lavoro maggiore!
Un campo di forze e' descritto da:
$vecF=(2xy+z^2+3, x^2-z,-y+2xz)$.
(1) Verificare se il campo e' conservativo
(2) In caso affermativo, calcolarne la funzione potenziale V
(3) Calcolare il lavoro fatto per percorrere un triangolo chiuso, sommando i lavori fatti sui seguenti tratti:
Da $P_1=(5,3,0)$ al punto $P_2=(1,1,1)$
Da $P_2=(1,1,1)$ al punto $P_3=(-4,3,-2)$
Da $P_3=(-4,3,-2)$ al punto $P_1$.
Questo e' un tipico esercizietto, se ti vuoi divertire.
$vecF=(2xy+z^2+3, x^2-z,-y+2xz)$.
(1) Verificare se il campo e' conservativo
(2) In caso affermativo, calcolarne la funzione potenziale V
(3) Calcolare il lavoro fatto per percorrere un triangolo chiuso, sommando i lavori fatti sui seguenti tratti:
Da $P_1=(5,3,0)$ al punto $P_2=(1,1,1)$
Da $P_2=(1,1,1)$ al punto $P_3=(-4,3,-2)$
Da $P_3=(-4,3,-2)$ al punto $P_1$.
Questo e' un tipico esercizietto, se ti vuoi divertire.
Inizio rispondendo su come ho affrontato l'esercizio di dottorkappa:
1- Il campo e' irrotazionale, questa solitamente sarebbe una condizione solo necessaria affinche' il campo sia conservativo, pero' (in assenza di ipotesi nel testo dell'esercizio) suppongo che il campo sia definito su tutto $RR^3$ (che e' semplicemente connesso), e quindi concludo che la condizione sul rotore e' anche sufficiente, dunque il campo e' conservativo.
2- $V(x, y, z) = z^2x + 3x + yx^2 - zy$ e' un potenziale, infatti $\nabla V = \vec{F}$
3- Essendo il triangolo una curva chiusa e sapendo che il campo e' conservativo so gia' che il lavoro sara' nullo.
Domanda: se avessi voluto calcolare in effetti il lavoro su questa curva (spezzata), avrei dovuto trovare delle parametrizzazioni dei 3 segmenti, integrare su quelli e poi sommare tutto? Questo e' quello che farei con una curva qualsiasi, non e' che ci sono semplificazioni a integrare su segmenti? Ovviamente non vengono conti difficili facendo come dico io, pero' non e' molto breve come procedura...
Tornando ai miei problemi di interpretazione di tutto questo in fisica e alla risposta di dRic: per chiarirmi tutta la faccenda ho considerato l'esempio del campo gravitazionale (conservativo visto che non considero l'attrito).
Leggendo su Wikipedia mi sembra di capire che il campo gravitazionale non e' un campo di forza, la sua unita' di misura infatti e' $m/s^2$, se volessi definire un campo vettoriale che sia effettivamente di forza dovrei definirlo su $RR^4$, infatti la forza dipende anche dalla massa dell'oggetto, non solo dalla posizione. Dico bene o sto dicendo fesserie?
Ciononostante il potenziale gravitazionale e' definito sul campo gravitazionale (non di forza, e dunque da $RR^3$), questo potenziale moltiplicato per la massa di un oggetto mi da l'energia potenziale gravitazionale di quell'oggetto in quel punto.
Il lavoro lungo una curva su un campo lo posso immaginare "l'energia che consumo/guadagno" per spostarmi su quella curva da un punto ad un altro, questa pero' nel nostro caso dipende anche dalla massa, quindi o considero come prima un campo vettoriale definito su $RR^4$ o moltiplico il lavoro che ottengo per la massa del punto.
Quello che non mi e' chiaro e' come interpreto la forma differenziale associata al campo e il flusso, a cosa corrisponderebbero in questo esempio?
Vi ringrazio, e vi chiedo di dirmi se quanto detto ha un qualche senso.
1- Il campo e' irrotazionale, questa solitamente sarebbe una condizione solo necessaria affinche' il campo sia conservativo, pero' (in assenza di ipotesi nel testo dell'esercizio) suppongo che il campo sia definito su tutto $RR^3$ (che e' semplicemente connesso), e quindi concludo che la condizione sul rotore e' anche sufficiente, dunque il campo e' conservativo.
2- $V(x, y, z) = z^2x + 3x + yx^2 - zy$ e' un potenziale, infatti $\nabla V = \vec{F}$
3- Essendo il triangolo una curva chiusa e sapendo che il campo e' conservativo so gia' che il lavoro sara' nullo.
Domanda: se avessi voluto calcolare in effetti il lavoro su questa curva (spezzata), avrei dovuto trovare delle parametrizzazioni dei 3 segmenti, integrare su quelli e poi sommare tutto? Questo e' quello che farei con una curva qualsiasi, non e' che ci sono semplificazioni a integrare su segmenti? Ovviamente non vengono conti difficili facendo come dico io, pero' non e' molto breve come procedura...
Tornando ai miei problemi di interpretazione di tutto questo in fisica e alla risposta di dRic: per chiarirmi tutta la faccenda ho considerato l'esempio del campo gravitazionale (conservativo visto che non considero l'attrito).
Leggendo su Wikipedia mi sembra di capire che il campo gravitazionale non e' un campo di forza, la sua unita' di misura infatti e' $m/s^2$, se volessi definire un campo vettoriale che sia effettivamente di forza dovrei definirlo su $RR^4$, infatti la forza dipende anche dalla massa dell'oggetto, non solo dalla posizione. Dico bene o sto dicendo fesserie?
Ciononostante il potenziale gravitazionale e' definito sul campo gravitazionale (non di forza, e dunque da $RR^3$), questo potenziale moltiplicato per la massa di un oggetto mi da l'energia potenziale gravitazionale di quell'oggetto in quel punto.
Il lavoro lungo una curva su un campo lo posso immaginare "l'energia che consumo/guadagno" per spostarmi su quella curva da un punto ad un altro, questa pero' nel nostro caso dipende anche dalla massa, quindi o considero come prima un campo vettoriale definito su $RR^4$ o moltiplico il lavoro che ottengo per la massa del punto.
Quello che non mi e' chiaro e' come interpreto la forma differenziale associata al campo e il flusso, a cosa corrisponderebbero in questo esempio?
Vi ringrazio, e vi chiedo di dirmi se quanto detto ha un qualche senso.
Non mi è ben chiaro il discorso che hai fatto sulle unità di misura.
Considera la forza di gravità:
$\vec F = G \frac {Mm} {r^2} \vec u_r $
Adesso vogliamo studiare il "comportamento" della forza di gravità rispetto alla massa $M$ e vedere come varia nello spazio. Per fare ciò valutiamo il comportamento di tale forza ponendo $m$ piccolo uguale a $1Kg$ (m piccolo in questo caso è chiamata massa di prova).
ottieni quindi la formula
$ \vec F = G \frac {M * 1Kg} {r^2}\vec u_r = G \frac {M} {r^2}\vec u_r = \vec P$
Ho chiamato $\vec P$, per comodità, il campo gravitazionale. Per quanto riguarda le unità di misura credo sia indifferente perché hai moltiplicato per una massa unitaria e quindi non so quale sia la definizione corretta. In ogni caso se consideri $\vec P$ avente le dimensioni di una accelerazione (trascuri la massa di $1Kg$), allora quando vai a calcolare la forza attrattiva farai:
$\vec F = \vec P*m$
Se invece hai considerato $\vec P$ avete le stesse unità di una forza allora fari:
$\vec F = \vec P * \frac m {1Kg}$
In ogni caso credo che, convenzionalmente, si consideri avente le dimensioni di una accelerazione (io faccio così). Comunque è una questione di praticità, non penso ci sia qualche significato particolare dietro.
Il flusso io l'ho trattato sempre come un concetto abbastanza matematico, senza preoccuparmi troppo di una interpretazione fisica. Nella mia mente ho un'immagine vaga di cosa potrebbe essere "concretamente" il flusso, ma mi sono trovato bene a considerare solo l'aspetto matematico.
Scusa se non sono stato di grande aiuto.
Considera la forza di gravità:
$\vec F = G \frac {Mm} {r^2} \vec u_r $
Adesso vogliamo studiare il "comportamento" della forza di gravità rispetto alla massa $M$ e vedere come varia nello spazio. Per fare ciò valutiamo il comportamento di tale forza ponendo $m$ piccolo uguale a $1Kg$ (m piccolo in questo caso è chiamata massa di prova).
ottieni quindi la formula
$ \vec F = G \frac {M * 1Kg} {r^2}\vec u_r = G \frac {M} {r^2}\vec u_r = \vec P$
Ho chiamato $\vec P$, per comodità, il campo gravitazionale. Per quanto riguarda le unità di misura credo sia indifferente perché hai moltiplicato per una massa unitaria e quindi non so quale sia la definizione corretta. In ogni caso se consideri $\vec P$ avente le dimensioni di una accelerazione (trascuri la massa di $1Kg$), allora quando vai a calcolare la forza attrattiva farai:
$\vec F = \vec P*m$
Se invece hai considerato $\vec P$ avete le stesse unità di una forza allora fari:
$\vec F = \vec P * \frac m {1Kg}$
In ogni caso credo che, convenzionalmente, si consideri avente le dimensioni di una accelerazione (io faccio così). Comunque è una questione di praticità, non penso ci sia qualche significato particolare dietro.
Il flusso io l'ho trattato sempre come un concetto abbastanza matematico, senza preoccuparmi troppo di una interpretazione fisica. Nella mia mente ho un'immagine vaga di cosa potrebbe essere "concretamente" il flusso, ma mi sono trovato bene a considerare solo l'aspetto matematico.
Scusa se non sono stato di grande aiuto.
"zariski":
Inizio rispondendo su come ho affrontato l'esercizio di dottorkappa:
1- Il campo e' irrotazionale, questa solitamente sarebbe una condizione solo necessaria affinche' il campo sia conservativo, pero' (in assenza di ipotesi nel testo dell'esercizio) suppongo che il campo sia definito su tutto $RR^3$ (che e' semplicemente connesso), e quindi concludo che la condizione sul rotore e' anche sufficiente, dunque il campo e' conservativo.
2- $V(x, y, z) = z^2x + 3x + yx^2 - zy$ e' un potenziale, infatti $\nabla V = \vec{F}$
3- Essendo il triangolo una curva chiusa e sapendo che il campo e' conservativo so gia' che il lavoro sara' nullo.
Risposta interamente corretta.
"zariski":
Domanda: se avessi voluto calcolare in effetti il lavoro su questa curva (spezzata), avrei dovuto trovare delle parametrizzazioni dei 3 segmenti, integrare su quelli e poi sommare tutto? Questo e' quello che farei con una curva qualsiasi, non e' che ci sono semplificazioni a integrare su segmenti? Ovviamente non vengono conti difficili facendo come dico io, pero' non e' molto breve come procedura...
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La risposta a questa domanda e', fortunatamente per te, no. Siccome sai che il percorso non conta, non occorre far altro, per calcolare il lavoro, $L=V(P_2)-V(P_1)$
Per il primo lato del triangolo, per esempio, $V(P_2)=V(1,1,1)=4$ e $V(P_1)=V(5,3,0)=90$
$L=DeltaV=-86Joule$.
Era esattamente dove volevo arrivare con la domanda.
@dRic sei stato di grande aiuto invece, comunque ho capito bene quello che intendi, ora mi e' piu' chiaro. Il fatto e' che non ho mai studiato davvero queste cose e ho fatto tabula rasa di quel poco che mi ricordavo, quindi ho cercato di andare un po' a ragionamento. L'unico dubbio era appunto che il campo di forze mi sembrava definito piu' come un campo di accelerazione, invece dalla tua risposta ho capito che visto che tanto la massa $m$ (nella tua notazione) e' costante non ho problemi a considerarlo cosi'. Insomma il mio era "solo" un problema formale, questo tra l'altro mi fa capire che a meno che la massa non sia costante non ha senso considerare il campo vettoriale su $RR^4$.
@professorkappa: ah giusto, hai ragione, ci dovevo arrivare subito
, grazie mille dell'esempio.
Per quanto riguarda flusso e forma differenziale: se qualcuno ha qualche esempio illuminante si faccia avanti, dopo provo a ragionarci meglio anche io, se mi viene in mente qualcosa lo scrivo per chiedervi se ha senso.
Ultima domanda: se considero le curve (o superfici nel caso del nostro esempio) di livello del potenziale ottengo quei punti dello spazio dove il punto puo' muoversi senza effettuare lavoro, giusto? Per esempio una navicella spaziale se si muove mantenendosi a distanza costante da un pianeta (con tutte le opportune ipotesi, per esempio che non ci sono altri pianeti) allora il suo lavoro che compie e' nullo?
@professorkappa: ah giusto, hai ragione, ci dovevo arrivare subito
, grazie mille dell'esempio.Per quanto riguarda flusso e forma differenziale: se qualcuno ha qualche esempio illuminante si faccia avanti, dopo provo a ragionarci meglio anche io, se mi viene in mente qualcosa lo scrivo per chiedervi se ha senso.
Ultima domanda: se considero le curve (o superfici nel caso del nostro esempio) di livello del potenziale ottengo quei punti dello spazio dove il punto puo' muoversi senza effettuare lavoro, giusto? Per esempio una navicella spaziale se si muove mantenendosi a distanza costante da un pianeta (con tutte le opportune ipotesi, per esempio che non ci sono altri pianeti) allora il suo lavoro che compie e' nullo?
"zariski":
Ultima domanda: se considero le curve (o superfici nel caso del nostro esempio) di livello del potenziale ottengo quei punti dello spazio dove il punto puo' muoversi senza effettuare lavoro, giusto?
Certo, si chiamano superfici equipotenziali (ove appunto il potenziale è costante). Nel caso di un campo centrale (ovvero a simmetria sferica) sono appunto le superfici di sfere concentriche di raggio $r$. https://it.wikipedia.org/wiki/Superficie_equipotenziale
@zariski Cosa studi?
p.s. tutta la questione sul campo di forze e accelerazioni sono tutte fesserie
p.s. tutta la questione sul campo di forze e accelerazioni sono tutte fesserie
$GM/r^2$ che io sappia ha le dimensioni di una accelerazione...
Ma che importa? campo di "forze" è un modo di dire...mica vuol dire che deve essere effettivamente una forza...e sarebbe meglio parlare di generico "campo vettoriale"....il campo elettrico e magnetico quindi non ci sono problemi a chiamarli "campi di forze", così come il campo gravitazionale.
Il campo gravitazionale non ha nessun attrito, non mettete questo benedetto attrito dappertutto
campo gravitazionale (conservativo visto che non considero l'attrito)
Il campo gravitazionale non ha nessun attrito, non mettete questo benedetto attrito dappertutto
Puoi specificare con chi stai parlando, perché mi sfugge visto che io di attrito non ho mai parlato. Comunque non c'è bisogno di scaldarsi, stavo cercando di spiegare all'autore del post che, anche se si chiamano campi di forza, non è detto che ne condividano la grandezza dimensionale proprio come stai dicendo tu. E non mi sembra di aver detto chissà che fesserie. Comunque il concetto è quello.
"Vulplasir":
@zariski Cosa studi?
Matematica, ma come dicevo sono un cane in fisica, francamente ho sempre cercato di non averne a che fare ma ora mi tocca dare degli esami...
Gente, onestamente non ho mai studiato il campo gravitazionale (e fisica fatta in modo decente), volevo solo farmi un'idea di quale fosse l'interpretazione di questi oggetti della matematica che conosco. Il corso che sto seguendo (che ho iniziato da poco) trattera' fra un po' della gravitazione e li' la vedro' in dettaglio (spero). Volevo solo farmi un'idea e ho letto un po' di pagine di Wikipedia, quindi scusatemi per le fesserie.
Comunque, nonostante rileggendo quello che ho scritto prima lo trovi abbastanza impreciso e confuso, oggi pomeriggio ho rivisto i concetti e mi appare tutto piu' chiaro.
"Vulplasir":
p.s. tutta la questione sul campo di forze e accelerazioni sono tutte fesserie
Mi ha mandato in confusione la pagine di Wikipedia sul campo gravitazionale: https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitazionale
Li' viene definito prima un campo di accelerazione che chiama campo di forza e denota con $\vec{g}$, ma in effetti come dice @dRic:
"dRic":
$ GM/r^2 $ che io sappia ha le dimensioni di una accelerazione...
Poi definisce $\vec{F}=m\vec{g}$, e questo effettivamente e' un campo di forza, tutto qua. Nonostante la confusione iniziale sulle terminologie adesso mi e' chiaro.
"Vulplasir":
Il campo gravitazionale non ha nessun attrito, non mettete questo benedetto attrito dappertutto
Si si, scusatemi ancora se non sono preciso, queste cose non le ho mai studiate e sto andando molto "a naso", per immaginarmi un campo non conservativo stavo pensando sempre ad un campo gravitazionale dove pero' e' presente l'attrito (come se nello spazio ci fosse l'aria per intenderci). Mi rendo conto che non e' molto preciso come discorso.
i ha mandato in confusione la pagine di Wikipedia sul campo gravitazionale: https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitazionale
Li' viene definito prima un campo di accelerazione che chiama campo di forza e denota con g→, ma in effetti come dice @dRic:
dRic ha scritto:
GMr2 che io sappia ha le dimensioni di una accelerazione...
Poi definisce F→=mg→, e questo effettivamente e' un campo di forza, tutto qua. Nonostante la confusione iniziale sulle terminologie adesso mi e' chiaro
NO, è quello che sto cercando di dirti...Wikipedia dice bene, il campo gravitazionale è un "campo di forze", perché "campo di forze" è un termine generico che può non avere niente a che fare con le forze vere e proprie. Il campo gravitazionale è $vecg$ e NON $mvecg$.
Concordo con Vulplasir, forse mi sono espresso male ed è stata fraintesa la mia risposta. Quello che volevo dire, in soldoni, è che si ti dà fastidio che $\vec g$ sia, dimensionalmente, una accelerazione e non una forza, puoi moltiplicarlo per 1Kg (tanto è una costante) e ottieni un nuovo campo che è in Newton. Tutto qua. Se fai così ovviamente quando calcoli la forza esercitata su un corpo non devi moltiplicare per la massa (se no avresti un Kg di troppo), ma solo per il valore numerico della massa (adimensionale). Se vi sembra una cosa tanto strana scusate.
E' un artificio matematico inutile, ma che secondo me è carino.
E' un artificio matematico inutile, ma che secondo me è carino.
"Vulplasir":
NO, è quello che sto cercando di dirti...Wikipedia dice bene, il campo gravitazionale è un "campo di forze", perché "campo di forze" è un termine generico che può non avere niente a che fare con le forze vere e proprie. Il campo gravitazionale è $vecg$ e NON $mvecg$.
Ok, adesso ho capito, va bene che tanto ci si intende poi ma la nomenclatura non e' proprio delle piu' felici secondo me...
"dRic":
E' un artificio matematico inutile, ma che secondo me è carino.
A me piace, ultimamente vedo fare/dire molte cose in fisica che non mi sembrano matematicamente precise (nonostante il significato sia chiaro e intuitivamente abbiano senso), mi sembra giusto mettere almeno una volta "i puntini sulle i".
Comunque grazie a tutti, e' probabile che mi faro' ancora sentire in questa sezione, quindi a presto!
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