Errore nel calcolo del momento di inerzia

[LucaDeVita]

Salve a tutti, oggi ho un quesito riguardo a un esercizio di fisica che consisteva nel calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse $x$ di una lamina omogenea 2d a forma di triangolo rettangolo come quello in figura, con cateti $a$ e $b$ ($a$ sull'asse $x$).



Ecco il ragionamento del libro:
\begin{gather*}
\sigma =\frac{dm}{dS}=\frac{M}{S}\\[7pt]
\implies dm=\sigma dS \wedge \sigma=\frac{2M}{ab}
\end{gather*}
Ricordando la formula dell'area del triangolo. Ora l'altezza del triangolo, rispetto all'ascissa, è:
\begin{equation*}
y=-\frac{b}{a}x+b
\end{equation*}

Che implica \[x=\frac{a(b-y)}{b}\]

Il libro poi nota che $dS=xdy$
Mettendo tutto assieme si ottiene:
\begin{multline*}
I_x=\int_Mh^2dm\\
=\int y^2\sigma dS\\[6pt]
=\frac{2M}{ab}\int_0^b y^2\frac{a}{b}(b-y)dy\\[6pt]
=\frac{2M}{b^2}\int_0^b (by^2-y^3)dy\\
=Mb^2\over 6
\end{multline*}

Ora io ero arrivato sia a notare le dipendenze di $\sigma$ sia a definire la funzione $y$, ma senza poi invertirla. Ho invece approssimato $dS$ come segue:
\[ dS=ydx \]
e quindi:
\begin{multline*}
I_x=\int_Mh^2dm\\
=\int y^2\sigma dS\\[6pt]
=\frac{2M}{ab}\int_0^a y^2ydx\\[6pt]
=\frac{2M}{ab}\int_0^a y^3dx\\[6pt]
=\frac{2M}{ab}\int_0^a \bigg(-\frac{b}{a}x+b\bigg)^3dx\\[6pt]
=\frac{Mb^2}{2}
\end{multline*}

Non riesco sinceramente a capire dove concettualmente sbaglio... Magari è solo un errore di calcolo dell'integrale, ma anche avendolo fatto due volte non ho notato errori...
Grazie a chi mi aiuterà.

[Shackle]

"LucaDeVita":Salve a tutti, oggi ho un quesito riguardo a un esercizio di fisica che consisteva nel calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse $x$ di una lamina omogenea 2d a forma di triangolo rettangolo come quello in figura, con cateti $a$ e $b$ ($a$ sull'asse $x$).

\begin{equation*}
y=-\frac{b}{a}x+b
\end{equation*}

Che implica \[x=\frac{a(b-y)}{b}\]

Ma sei sicuro ? Guardando la figura mi pare che quando x=0 si ha y=a , mentre dalla formula trovi y = b . Oppure hai sbagliato a mettere le lettere sulla figura ? Controlla.

Inoltre, se assumi $dS = ydx$, devi tenere presente che il rettangolo elementare, di base $dx$ e altezza $y$ , ha un momento di inerzia proprio rispetto al suo asse baricentrico parallelo a $x$ , e ci devi sommare il termine di trasporto, rappresentato dal prodotto dell’area per il quadrato della distanza del baricentro del rettangolino dall’asse $x$. Quindi m.i. rispetto all’asse $x$ non è dato da $\int_M h^2dm$.

Ti conviene rivedere tutto da capo.