Equilibrio statico in un fluido: esercizio su periodo di oscillazione di un cilindro in un fluido
Buonasera a tutti. Il problema che sto per sollevare riguarda un particolare esercizio, sicuramente non standard, inerente la statica dei fluidi. Ecco il testo:
Un cilindro di raggio 0.0464 metri, altezza 1.15 metri e densità 594 Kg/m^3 , è immerso verticalmente in acqua e si trova in equilibrio. Se si da al cilindro un colpettino in direzione verticale , qual è il periodo con cui oscilla su e giù ?
Le mie perplessità sono alla base: difficile centrare il problema. Periodi di oscillazioni sono soliti nel moto armonico, moto elastico, nella propagazione di onde e nei pendoli. Per cui non riesco a capire come devo fare e quali passaggi operare per risolvere questo esercizio. Quello che ho dedotto è che , essendo in uno stato di equilibrio, la forza peso e la contraria spinta di Archimede si uguagliano. Ecco che il cilindro è in equilibrio. Ma questo "colpettino" che va a spezzare questo stato di equilibrio statico non so come tradurlo in spiegazione fisica.
Dai dati, inoltre,posso ricavarmi la massa del cilindro , ma , sinceramente, ho un'idea confusa di cosa potrei farmene. Sono molto curioso di ricevere delucidazioni e spiegazioni da chi è in grado di darmi una risposta. Grazie
Un cilindro di raggio 0.0464 metri, altezza 1.15 metri e densità 594 Kg/m^3 , è immerso verticalmente in acqua e si trova in equilibrio. Se si da al cilindro un colpettino in direzione verticale , qual è il periodo con cui oscilla su e giù ?
Le mie perplessità sono alla base: difficile centrare il problema. Periodi di oscillazioni sono soliti nel moto armonico, moto elastico, nella propagazione di onde e nei pendoli. Per cui non riesco a capire come devo fare e quali passaggi operare per risolvere questo esercizio. Quello che ho dedotto è che , essendo in uno stato di equilibrio, la forza peso e la contraria spinta di Archimede si uguagliano. Ecco che il cilindro è in equilibrio. Ma questo "colpettino" che va a spezzare questo stato di equilibrio statico non so come tradurlo in spiegazione fisica.
Dai dati, inoltre,posso ricavarmi la massa del cilindro , ma , sinceramente, ho un'idea confusa di cosa potrei farmene. Sono molto curioso di ricevere delucidazioni e spiegazioni da chi è in grado di darmi una risposta. Grazie
Risposte
Devi provare ad impostare qualche equazione e poi vedrai che magicamente ti ritrovi in una situazione simile al sistema massa-molla.
Intanto dobbiamo supporre che la vasca d'acqua sia molto grande, altrimenti il pelo dell'acqua si abbassa e si alza con le oscillazioni e questo complicherebbe un po' le cose.
Quindi il pelo dell'acqua è fisso.
Se $x=0$ è la posizione di equilibrio del cilindro, con x che cresce verso l'alto, la spinta di Archimede è $F= -x S\rho' = -x\ \pi r^2 \rho'$.
D'altronde la massa del cilindro è $m = \rho h \pi r^2$.
E infine abbiamo che $F=ma = mx''$
Quindi scriviamo $-x\ \pi r^2 \rho' = (\rho h \pi r^2)x''$ ovvero $(\rho h )x''+x \rho'=0$.
E' la solita eq. differenziale che ha come soluzione delle sinusoidi.
Chiaramente è una situazione molto ideale (come tutti gli esercizi), perchè l'acqua è un fluido molto viscoso, ma anche perchè sotto la base del cilindro una certa massa d'acqua si muove più o meno velocemente e con turbolenza.
Intanto dobbiamo supporre che la vasca d'acqua sia molto grande, altrimenti il pelo dell'acqua si abbassa e si alza con le oscillazioni e questo complicherebbe un po' le cose.
Quindi il pelo dell'acqua è fisso.
Se $x=0$ è la posizione di equilibrio del cilindro, con x che cresce verso l'alto, la spinta di Archimede è $F= -x S\rho' = -x\ \pi r^2 \rho'$.
D'altronde la massa del cilindro è $m = \rho h \pi r^2$.
E infine abbiamo che $F=ma = mx''$
Quindi scriviamo $-x\ \pi r^2 \rho' = (\rho h \pi r^2)x''$ ovvero $(\rho h )x''+x \rho'=0$.
E' la solita eq. differenziale che ha come soluzione delle sinusoidi.
Chiaramente è una situazione molto ideale (come tutti gli esercizi), perchè l'acqua è un fluido molto viscoso, ma anche perchè sotto la base del cilindro una certa massa d'acqua si muove più o meno velocemente e con turbolenza.
"Quinzio":
Devi provare ad impostare qualche equazione e poi vedrai che magicamente ti ritrovi in una situazione simile al sistema massa-molla.
Intanto dobbiamo supporre che la vasca d'acqua sia molto grande, altrimenti il pelo dell'acqua si abbassa e si alza con le oscillazioni e questo complicherebbe un po' le cose.
Quindi il pelo dell'acqua è fisso.
Se $x=0$ è la posizione di equilibrio del cilindro, con x che cresce verso l'alto, la spinta di Archimede è $F= -x S\rho' = -x\ \pi r^2 \rho'$.
D'altronde la massa del cilindro è $m = \rho h \pi r^2$.
E infine abbiamo che $F=ma = mx''$
Quindi scriviamo $-x\ \pi r^2 \rho' = (\rho h \pi r^2)x''$ ovvero $(\rho h )x''+x \rho'=0$.
E' la solita eq. differenziale che ha come soluzione delle sinusoidi.
Chiaramente è una situazione molto ideale (come tutti gli esercizi), perchè l'acqua è un fluido molto viscoso, ma anche perchè sotto la base del cilindro una certa massa d'acqua si muove più o meno velocemente e con turbolenza.
Ma x" , x , ed S, nell'esercizio, cosa sono ?
S sarebbe la sezione del cilindro, x la sua posizione verticale, x'' la derivata seconda, l'accelerazione.
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