Equilibrio e la posizione di una terza carica
Buongiorno
Come sapere in che posizione di equilibrio si trova una carica per esempio in un problema come il seguente che ho svolto:
"Due sfere metalliche aventi cariche 4 microCoulomb e -12 microCoulomb sono distanti 6 centimetri. Trova la posizione di equilibrio di una terza sfera carica positivamente"
Svolgimento:
1)F q1q3= Fq2q3 (ho fatto meccanicamente questo passaggio mi spieghereste per favore perché le due forze si uguagliano? Credo perché all'equilibrio esse si annullano. Vi ringrazio
2)Applico la legge di Coulomb considerando le distanza (r +x) e r(0,06m).ma il problema è che anche questo passaggio mi sembra fatto a caso, solo per abitudine ma vorrei capire... perché non ho ben chiaro il motivo per cui la carica dovrebbe stare "esternamente al segmento congiungente". Se non ci fosse scritto nella soluzione io non avrei potuto saperlo...scusatemi se me lo spieghereste gentilmente il motivo per cui q3 sta all'esterno vi sarei molto grata. Perché non sta sotto o sopra o in obliquo, ma invece sta proprio esternamente?
Grazie mille
Come sapere in che posizione di equilibrio si trova una carica per esempio in un problema come il seguente che ho svolto:
"Due sfere metalliche aventi cariche 4 microCoulomb e -12 microCoulomb sono distanti 6 centimetri. Trova la posizione di equilibrio di una terza sfera carica positivamente"
Svolgimento:
1)F q1q3= Fq2q3 (ho fatto meccanicamente questo passaggio mi spieghereste per favore perché le due forze si uguagliano? Credo perché all'equilibrio esse si annullano. Vi ringrazio
2)Applico la legge di Coulomb considerando le distanza (r +x) e r(0,06m).ma il problema è che anche questo passaggio mi sembra fatto a caso, solo per abitudine ma vorrei capire... perché non ho ben chiaro il motivo per cui la carica dovrebbe stare "esternamente al segmento congiungente". Se non ci fosse scritto nella soluzione io non avrei potuto saperlo...scusatemi se me lo spieghereste gentilmente il motivo per cui q3 sta all'esterno vi sarei molto grata. Perché non sta sotto o sopra o in obliquo, ma invece sta proprio esternamente?
Grazie mille
Risposte
La terza sfera è soggetta a forza di repulsione da parte della sfera positiva e da forza di attrazione da parte della sfera negativa. La condizione di equilibrio è che queste due forze siano uguali e contrarie, ovvero che la somma vettoriale di queste forze sia zero. Due vettori per dare somma zero devono necessariamente essere allineati sulla stessa retta, avere modulo uguale e verso contrario. Se la terza sfera si trovasse in posizione non allineata col segmento congiungente le due sfere, la somma vettoriale delle forze non potrebbe mai essere nulla perché le forze non agirebbero lungo la stessa retta. E il punto nel quale si situa la terza sfera deve per forza essere esterno al segmento congiungente le due sfere, perché se fosse interno la somma vettoriale delle due forze non potrebbe mai essere nulla perché le due forze avrebbero verso concorde.
Grazie mille! Ma non riesco a trovarmi con il risultato perché l'equazione enorme di secondo grado che mi viene dal procediemnto che sopra avevo scritto mi dà un valore negativo sotto radice di indice pari come dovrei invece fare? Non devo considerare il meno, il segno di q2?grazie
La formula della forza di Coulomb è:
$${\bf{F}} = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}}$$
dove il versore indicato è diretto nel verso uscente dalla carica verso l'esterno.
Nel caso in esame, posta la carica negativa Q nell'origine e la carica positiva q (minore della precedente in valore assoluto) all'ascissa d=6cm, prima di tutto osserviamo che il punto di equilibrio deve stare alla destra del punto d. Infatti se le due forze si devono equilibrare, siccome la carica negativa è più grande in valore assoluto, il punto di equilibrio deve stare più vicino alla carica positiva.
Dunque il punto di equilibrio deve stare a una ascissa x>d.
Ciò detto impostiamo l'equazione:
$$\eqalign{
& d = 6cm \cr
& Q < 0 \cr
& q > 0 \cr
& \left| Q \right| > \left| q \right| \cr
& F = \frac{{ - \left| Q \right|}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{x^2}}} + \frac{{ + \left| q \right|}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{{\left( {x - d} \right)}^2}}} = 0 \cr
& {x^2}\left| q \right| = {\left( {x - d} \right)^2}\left| Q \right| \cr
& {x^2}\left( {\left| Q \right| - \left| q \right|} \right) - 2xd\left| Q \right| + {d^2}\left| Q \right| = 0 \cr
& {x^2} - 2xd\frac{{\left| Q \right|}}
{{\left| Q \right| - \left| q \right|}} + {d^2}\frac{{\left| Q \right|}}
{{\left| Q \right| - \left| q \right|}} = 0 \cr} $$
Per comodità definiamo il parametro
$$k = \frac{{\left| Q \right|}}
{{\left| Q \right| - \left| q \right|}}$$
Si ha allora:
$$\eqalign{
& {x^2} - 2xkd + k{d^2} = 0 \cr
& x = kd \pm \sqrt {{k^2}{d^2} - k{d^2}} = d\left( {k \pm \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} } \right) \cr} $$
Ma per la condizione iniziale dobbiamo scartare una delle due soluzioni, per cui resta soltanto:
$$\eqalign{
& x > d \cr
& x = d\left( {k + \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} } \right) \cr} $$
$${\bf{F}} = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}}$$
dove il versore indicato è diretto nel verso uscente dalla carica verso l'esterno.
Nel caso in esame, posta la carica negativa Q nell'origine e la carica positiva q (minore della precedente in valore assoluto) all'ascissa d=6cm, prima di tutto osserviamo che il punto di equilibrio deve stare alla destra del punto d. Infatti se le due forze si devono equilibrare, siccome la carica negativa è più grande in valore assoluto, il punto di equilibrio deve stare più vicino alla carica positiva.
Dunque il punto di equilibrio deve stare a una ascissa x>d.
Ciò detto impostiamo l'equazione:
$$\eqalign{
& d = 6cm \cr
& Q < 0 \cr
& q > 0 \cr
& \left| Q \right| > \left| q \right| \cr
& F = \frac{{ - \left| Q \right|}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{x^2}}} + \frac{{ + \left| q \right|}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{{\left( {x - d} \right)}^2}}} = 0 \cr
& {x^2}\left| q \right| = {\left( {x - d} \right)^2}\left| Q \right| \cr
& {x^2}\left( {\left| Q \right| - \left| q \right|} \right) - 2xd\left| Q \right| + {d^2}\left| Q \right| = 0 \cr
& {x^2} - 2xd\frac{{\left| Q \right|}}
{{\left| Q \right| - \left| q \right|}} + {d^2}\frac{{\left| Q \right|}}
{{\left| Q \right| - \left| q \right|}} = 0 \cr} $$
Per comodità definiamo il parametro
$$k = \frac{{\left| Q \right|}}
{{\left| Q \right| - \left| q \right|}}$$
Si ha allora:
$$\eqalign{
& {x^2} - 2xkd + k{d^2} = 0 \cr
& x = kd \pm \sqrt {{k^2}{d^2} - k{d^2}} = d\left( {k \pm \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} } \right) \cr} $$
Ma per la condizione iniziale dobbiamo scartare una delle due soluzioni, per cui resta soltanto:
$$\eqalign{
& x > d \cr
& x = d\left( {k + \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} } \right) \cr} $$
Perché si fa al denominatore (x-d)al quadrato io sbagliavo perché mettevo x+d? Si mette la differenza? Poi altro dubbio vi sarei molto grata se mi aiutaste: come si disegnano aueste forze, non ho mai capito perché l'insegnate li fa fuori dalla carica. Mi direste il criterio per favore grazie mille davvero e scusate
"scuola1234":
Perché si fa al denominatore (x-d)al quadrato io sbagliavo perché mettevo x+d? Si mette la differenza?
Si deve mettere la distanza della terza carica dalla seconda. Se la terza carica sta, ad esempio all'ascissa x=9cm, la distanza dal punto d è di 3 cm, no? Infatti 3=9-6.
"scuola1234":
Poi altro dubbio vi sarei molto grata se mi aiutaste: come si disegnano aueste forze, non ho mai capito perché l'insegnate li fa fuori dalla carica. Mi direste il criterio per favore grazie mille davvero e scusate
Ma che strane domande fai. La forza si disegna come una freccia che parte dal punto dove è applicata la forza e si dirige nel verso della forza stessa. E di solito la lunghezza della freccia è proporzionale all'intensità della forza. Ma questo modo di disegnare le forze è solo una convenzione, che però è utile quando si vogliono sommare due o più forze.
Scusu davvero ho sbagliato a porre la domanda: non capivo che differenza c'è tra disegnare le Forze e i campi E. Scusi la domanda banale grazie
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