Equilibri e stabilità
Nel piano verticale $Oxy$ con $y$ verticale discendente sia dato il sistema meccanico formato da un'asta pesante rigida $CD$ di lunghezza $2l$, con l'estremo $C$ incornierato in $O$, una molla di costante di richiamo $k>0$, con un estremo in $D$ e l'altro estremo in $A$ termini con un punto maretiale di massa $m$ vincolato a muoversi senza attrito sull'asse $x$. Il sistema è vincolato a muoversi sul piano verticale.
a) Nell'ipotesi che l'asta $CD$ sia non omogenea e la densità in un suo punto $Q$ generico sia data da:
$ro(Q) = (3*m*|CQ|)/l^2$ , determinare le posizioni di equilibrio, discutendone la stabilità.
Ho risolto questo problema ma non mi tronano alcune cose....
Osservazioni:
1) Poichè l'astra è non omogenea il baricentro non sarà a metà di essa ma nel punto a densità maggiore....che mi viene $4/3*l$
2) Il sistema ha due gradi di libertà che ho scelto essere l'angolo $teta$ che l'esta forma con l'asse $y$ scelto in senso antiorario; ed $S$ segmento $OP$
3)Ho trovato i punti di equilibrio annullando la derivata prima del potenziale totale fatta rispetto alla due variabili $teta$ ed $S$.
4)Ora come faccio, in generale, a vedere se i punti di equilibrio trovati sono anche stabili per il sistema?
Ho fatto cosi:
Ho trovato la derivata seconda del potenziale totale sia pura che mista. Quindi 4 derivate! Poi le ho messe nella matrice Hessiana e ne ho trovato il determinate. Poi sono andato a sostituire al determinante, una per volta le suluzioni trovate per l'equilibrio. Vedendo il valore che assumeva il determinate ho visto se l'equilibrio era stabili o instabile...quindi
$det H_(Teta_1, S_1) > 0$ si tratta di un equilibrio instabile. Se il det $H$ in punto di equilibrio è minore di $0$ è stabile.
Secondo voi è giusto? Altrimenti come si procede?
Grazie anticipate.
a) Nell'ipotesi che l'asta $CD$ sia non omogenea e la densità in un suo punto $Q$ generico sia data da:
$ro(Q) = (3*m*|CQ|)/l^2$ , determinare le posizioni di equilibrio, discutendone la stabilità.
Ho risolto questo problema ma non mi tronano alcune cose....
Osservazioni:
1) Poichè l'astra è non omogenea il baricentro non sarà a metà di essa ma nel punto a densità maggiore....che mi viene $4/3*l$
2) Il sistema ha due gradi di libertà che ho scelto essere l'angolo $teta$ che l'esta forma con l'asse $y$ scelto in senso antiorario; ed $S$ segmento $OP$
3)Ho trovato i punti di equilibrio annullando la derivata prima del potenziale totale fatta rispetto alla due variabili $teta$ ed $S$.
4)Ora come faccio, in generale, a vedere se i punti di equilibrio trovati sono anche stabili per il sistema?
Ho fatto cosi:
Ho trovato la derivata seconda del potenziale totale sia pura che mista. Quindi 4 derivate! Poi le ho messe nella matrice Hessiana e ne ho trovato il determinate. Poi sono andato a sostituire al determinante, una per volta le suluzioni trovate per l'equilibrio. Vedendo il valore che assumeva il determinate ho visto se l'equilibrio era stabili o instabile...quindi
$det H_(Teta_1, S_1) > 0$ si tratta di un equilibrio instabile. Se il det $H$ in punto di equilibrio è minore di $0$ è stabile.
Secondo voi è giusto? Altrimenti come si procede?
Grazie anticipate.
Risposte
Ciao!
Credo sia tutto giusto tranne l'ultima parte: se il sistema ha due gradi di libertà, un punto di equilibrio è stabile se il determinante di H calcolato nel punto è maggiore di 0. Diverso è il caso di un sistema ad un solo grado di libertà: lì bisogna porre minore di 0 la derivata seconda del potenziale rispetto alla coordinata che hai scelto.
Credo sia tutto giusto tranne l'ultima parte: se il sistema ha due gradi di libertà, un punto di equilibrio è stabile se il determinante di H calcolato nel punto è maggiore di 0. Diverso è il caso di un sistema ad un solo grado di libertà: lì bisogna porre minore di 0 la derivata seconda del potenziale rispetto alla coordinata che hai scelto.
Grazie per la risposta.
Quindi se ho capito bene:
1) con due gradi di libertà:
det H nel punto di equilibrio > 0 è stabile
det H nel punto di equilibrio < 0 è instabile
2) con un grado di libertà:
calcolo sempre la derivata seconda del poteziale totale nei punti di equilibrio....vedo se è > 0 è un equilibrio instabile se minore di 0 è stabile.....
Quindi se ho capito bene:
1) con due gradi di libertà:
det H nel punto di equilibrio > 0 è stabile
det H nel punto di equilibrio < 0 è instabile
2) con un grado di libertà:
calcolo sempre la derivata seconda del poteziale totale nei punti di equilibrio....vedo se è > 0 è un equilibrio instabile se minore di 0 è stabile.....
esatto...
ancora una cosa: le derivate seconde miste applicate nel punto dovrebbero essere uguali (se non sbaglio per il teorema di Scwartz): per intenderci, $(d^2U)/(dxdy)$ = $(d^2U)/(dydx)$
ancora una cosa: le derivate seconde miste applicate nel punto dovrebbero essere uguali (se non sbaglio per il teorema di Scwartz): per intenderci, $(d^2U)/(dxdy)$ = $(d^2U)/(dydx)$
Giustittimo!! ma sono uguali anche in valore assuluto?
Nel senso che possono venire anche una negativa e una positiva, pur conservando lo stesso valore...
$+1$ e $-1$ per esempio.
Ti ringrazio per la delucidazione....alla prossima
Nel senso che possono venire anche una negativa e una positiva, pur conservando lo stesso valore...
$+1$ e $-1$ per esempio.
Ti ringrazio per la delucidazione....alla prossima
sì... infatti io calcolo soltanto una derivata mista e poi la inserisco nella matrice Hessiana nei posti (1,2) e (2,1).
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