Equazioni secolari per l'atomo di Idrogeno
Qualcuno mi sa aiutare ad impostare la risoluzione di questo problema?
Si costruisca l'equazione secolare di ordine 2 per il problema dell'atomo di idrogeno, utilizzando come funzioni di base:
$\phi_1=e^{-\alpha r}$
$\phi_2=re^{-\alpha r}$
Si calcolino i valori di energia nel caso in cui $\alpha=\frac{27}{32}$ e si commenti il valore ottenuto per l'energia dello stato fondamentale.
Dal momento che le equazioni secolari nascono all'interno del metodo variazionale lineare suppongo di dover utilizzare come funzione di prova la somma delle due funzioni base ma non riesco a capire come procedere, visto che sto utilizzando delle funzioni che non sono ortogonali e non possono essere semplificate..
Come posso fare?
Si costruisca l'equazione secolare di ordine 2 per il problema dell'atomo di idrogeno, utilizzando come funzioni di base:
$\phi_1=e^{-\alpha r}$
$\phi_2=re^{-\alpha r}$
Si calcolino i valori di energia nel caso in cui $\alpha=\frac{27}{32}$ e si commenti il valore ottenuto per l'energia dello stato fondamentale.
Dal momento che le equazioni secolari nascono all'interno del metodo variazionale lineare suppongo di dover utilizzare come funzione di prova la somma delle due funzioni base ma non riesco a capire come procedere, visto che sto utilizzando delle funzioni che non sono ortogonali e non possono essere semplificate..
Come posso fare?
Risposte
Nel metodo variazionale consideri la combinazione lineare $\psi = \sum_{i=1}^N c_i \psi_i$ e vuoi valutare $\epsilon = (< \psi |H| \psi>) / (< \psi | \psi >) = (\sum_{i,j=1}^N c_i^(**)c_j H_{ij}) / (\sum_{i,j=1}^N c_i^(**)c_j S_{ij})$, dove $H_{ij} = < \psi_i |H| \psi_j>$ e $S_{ij} = < \psi_i | \psi_j>$.
Variando rispetto ai coefficienti ottieni le $N$ equazioni secolari $\sum_{j=1}^N c_j (H_{ij} - \epsilon S_{ij}) = 0$.
Per calcolare i valori dell'energia devi semplicemente calcolare le radici dell'equazione secolare associata. Mentre nel caso di funzioni di prova ortogonali hai $S_{ij} = \delta_{ij}$ in questo caso devi valutare questi integrali di sovrapposizione, per il resto il procedimento è identico.
Variando rispetto ai coefficienti ottieni le $N$ equazioni secolari $\sum_{j=1}^N c_j (H_{ij} - \epsilon S_{ij}) = 0$.
Per calcolare i valori dell'energia devi semplicemente calcolare le radici dell'equazione secolare associata. Mentre nel caso di funzioni di prova ortogonali hai $S_{ij} = \delta_{ij}$ in questo caso devi valutare questi integrali di sovrapposizione, per il resto il procedimento è identico.
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