Equazioni e identità vettoriali
$ vec(v_(BA))= vec(omega)xxvec(AB) $Ciao a tutti ragazzi !
Premetto che non so se sia la sezione giusta per questo topic. Se non lo è mi scuso e se mi indicherete la sezione corretta provvederò a spostarlo.
Ancora una volta mi rivolgo a voi per cercare di chiarire un dubbio che mi assilla riguardo alle operazioni tra vettori che, inutile negarlo, mi mandano in confusione quando si tratta di applicare alcune proprietà valide per l'algebra degli scalari, ma, spesso, non valide per i vettori.
Partendo dalla formula fondamentale della cinematica e considerando questa equazione (o identità ?) $vec(v_(BA))= vec(omega)xxvec(AB)$ essendo $vec(omega)$ velocità angolare del corpo rigido, $xx$ prodotto vettoriale ed essendo il moto piano (al momento non mi importano ulteriori termini e considero il punto $A$ centro di rotazione per cui $vec(v_A)=0$, ma non è questo che mi interessa ora).
Veniamo alla domanda. E' lecito moltiplicare ambo i membri della precedente relazione per un vettore per mezzo di un prodotto vettoriale ? Mi spiego. Volendo isolare $vec(omega)$ posso procedere nel seguente modo ?: moltiplico la precedente relazione vettorialmente per il vettore $vec(AB)$ ottenendo: $vec(v_(BA))xxvec(AB)=(vec(omega)xxvec(AB))xxvec(AB)=-vec(AB)xx(vec(omega)xxvec(AB))$ essendo il prodotto vettoriale NON commutativo. Svolgendo il triplo prodotto vettoriale si ha: $vec(v_(BA))xxvec(AB)=-(vec(omega)(vec(AB)*vec(AB))-vec(AB)(vec(AB)*vec(omega)))=-||vec(AB)||^2vec(omega)$ essendo $vec(AB)_|_ vec(omega)$ perché in un moto piano e dunque nullo il loro prodotto scalare. Per cui $vec(omega)=(vec(AB)xxvec(v_(BA)))/||vec(AB)||^2$.
E' corretto il procedimento ? Ho eseguito tutti calcoli leciti ? E' lecito moltiplicare ambo i membri di una relazione per un vettore per mezzo del prodotto vettoriale ? Se si perché lo stesso non vale in alcuni casi tipo il seguente ? (preso da un altro post di questo forum): supponiamo di avere questa equazione (e ho usato il termine equazione di proposito) vettoriale $ (1):vec(x)=vec(y)xxvec(z)$. Ora, se moltiplico, questa volta, ad esempio, scalarmente ambo i membri per $vec(a)$ ottengo: $(2):vec(x)*vec(a)=(vec(y)xxvec(z))*vec(a)$; le soluzioni della $(1)$ risultano essere quelle che soddisfano la relazione $vec(x)-vec(y)xxvec(z)=0$, mentre le soluzioni della $(2)$ risultano quelle soddisfacenti la relazione $(vec(x)-vec(y)xxvec(z))*vec(a)=0$ cioè tutte quelle della $(1)$ ma con in più le soluzione per cui $(vec(x)-vec(y)xxvec(z))_|_vec(a)$ e, dunque, le due cose risultano tutt'altro che equivalenti.
Dov'è l'errore nel mio ragionamento ? Sta nel fatto che nel primo caso del corpo rigido considero una relazione/identità e nel secondo una equazione ? Oppure sta nel fatto che non posso moltiplicare liberamente ambo i membri di una qualsiasi espressione vettoriale per un prodotto scalare o vettoriale ?
Ancora una volta ringrazio quanti sapranno chiarire questi miei dubbi.
Saluti
Premetto che non so se sia la sezione giusta per questo topic. Se non lo è mi scuso e se mi indicherete la sezione corretta provvederò a spostarlo.
Ancora una volta mi rivolgo a voi per cercare di chiarire un dubbio che mi assilla riguardo alle operazioni tra vettori che, inutile negarlo, mi mandano in confusione quando si tratta di applicare alcune proprietà valide per l'algebra degli scalari, ma, spesso, non valide per i vettori.
Partendo dalla formula fondamentale della cinematica e considerando questa equazione (o identità ?) $vec(v_(BA))= vec(omega)xxvec(AB)$ essendo $vec(omega)$ velocità angolare del corpo rigido, $xx$ prodotto vettoriale ed essendo il moto piano (al momento non mi importano ulteriori termini e considero il punto $A$ centro di rotazione per cui $vec(v_A)=0$, ma non è questo che mi interessa ora).
Veniamo alla domanda. E' lecito moltiplicare ambo i membri della precedente relazione per un vettore per mezzo di un prodotto vettoriale ? Mi spiego. Volendo isolare $vec(omega)$ posso procedere nel seguente modo ?: moltiplico la precedente relazione vettorialmente per il vettore $vec(AB)$ ottenendo: $vec(v_(BA))xxvec(AB)=(vec(omega)xxvec(AB))xxvec(AB)=-vec(AB)xx(vec(omega)xxvec(AB))$ essendo il prodotto vettoriale NON commutativo. Svolgendo il triplo prodotto vettoriale si ha: $vec(v_(BA))xxvec(AB)=-(vec(omega)(vec(AB)*vec(AB))-vec(AB)(vec(AB)*vec(omega)))=-||vec(AB)||^2vec(omega)$ essendo $vec(AB)_|_ vec(omega)$ perché in un moto piano e dunque nullo il loro prodotto scalare. Per cui $vec(omega)=(vec(AB)xxvec(v_(BA)))/||vec(AB)||^2$.
E' corretto il procedimento ? Ho eseguito tutti calcoli leciti ? E' lecito moltiplicare ambo i membri di una relazione per un vettore per mezzo del prodotto vettoriale ? Se si perché lo stesso non vale in alcuni casi tipo il seguente ? (preso da un altro post di questo forum): supponiamo di avere questa equazione (e ho usato il termine equazione di proposito) vettoriale $ (1):vec(x)=vec(y)xxvec(z)$. Ora, se moltiplico, questa volta, ad esempio, scalarmente ambo i membri per $vec(a)$ ottengo: $(2):vec(x)*vec(a)=(vec(y)xxvec(z))*vec(a)$; le soluzioni della $(1)$ risultano essere quelle che soddisfano la relazione $vec(x)-vec(y)xxvec(z)=0$, mentre le soluzioni della $(2)$ risultano quelle soddisfacenti la relazione $(vec(x)-vec(y)xxvec(z))*vec(a)=0$ cioè tutte quelle della $(1)$ ma con in più le soluzione per cui $(vec(x)-vec(y)xxvec(z))_|_vec(a)$ e, dunque, le due cose risultano tutt'altro che equivalenti.
Dov'è l'errore nel mio ragionamento ? Sta nel fatto che nel primo caso del corpo rigido considero una relazione/identità e nel secondo una equazione ? Oppure sta nel fatto che non posso moltiplicare liberamente ambo i membri di una qualsiasi espressione vettoriale per un prodotto scalare o vettoriale ?
Ancora una volta ringrazio quanti sapranno chiarire questi miei dubbi.
Saluti
Risposte
Il prodotto vettoriale è un'operazione interna ad $R^3$ ovvero moltiplicare vettorialmente significa ottenere ancora un vettore appartenente ad $R^3$. Il prodotto scalare non è interna per niente ad $R^3$ (lo è ad $R$) manda due vettori in un numero; matematicamente si direbbe è una funzione da $R^n$ a valori in $R$. Puoi considerare anche il campo complesso, ma i rapporti tra le misure degli spazi restano quelle.
"BayMax":
Partendo dalla formula fondamentale della cinematica e considerando questa equazione (o identità ?) $vec(v_(BA))= vec(omega)xxvec(AB)$ essendo $vec(omega)$ velocità angolare del corpo rigido, ....
È una equazione non una identità .
Veniamo alla domanda. E' lecito moltiplicare ambo i membri della precedente relazione per un vettore per mezzo di un prodotto vettoriale ? Mi spiego. Volendo isolare $vec(omega)$ posso procedere nel seguente modo ?: moltiplico la precedente relazione vettorialmente per il vettore $vec(AB)$ ottenendo: $vec(v_(BA))xxvec(AB)=(vec(omega)xxvec(AB))xxvec(AB)=-vec(AB)xx(vec(omega)xxvec(AB))$ essendo il prodotto vettoriale NON commutativo. Svolgendo il triplo prodotto vettoriale si ha: $vec(v_(BA))xxvec(AB)=-(vec(omega)(vec(AB)*vec(AB))-vec(AB)(vec(AB)*vec(omega)))=-||vec(AB)||^2vec(omega)$ essendo $vec(AB)_|_ vec(omega)$ perché in un moto piano e dunque nullo il loro prodotto scalare. Per cui $vec(omega)=(vec(AB)xxvec(v_(BA)))/||vec(AB)||^2$.
E' corretto il procedimento ?
Il procedimento è corretto.
Ho eseguito tutti calcoli leciti ? E' lecito moltiplicare ambo i membri di una relazione per un vettore per mezzo del prodotto vettoriale ? Se si perché lo stesso non vale in alcuni casi tipo il seguente ? (preso da un altro post di questo forum): supponiamo di avere questa equazione (e ho usato il termine equazione di proposito) vettoriale $ (1):vec(x)=vec(y)xxvec(z)$. Ora, se moltiplico, questa volta, ad esempio, scalarmente ambo i membri per $vec(a)$ ottengo: $(2):vec(x)*vec(a)=(vec(y)xxvec(z))*vec(a)$; le soluzioni della $(1)$ risultano essere quelle che soddisfano la relazione $vec(x)-vec(y)xxvec(z)=0$, mentre le soluzioni della $(2)$ risultano quelle soddisfacenti la relazione $(vec(x)-vec(y)xxvec(z))*vec(a)=0$ cioè tutte quelle della $(1)$ ma con in più le soluzione per cui $(vec(x)-vec(y)xxvec(z))_|_vec(a)$ e, dunque, le due cose risultano tutt'altro che equivalenti.
Dov'è l'errore nel mio ragionamento ? Sta nel fatto che nel primo caso del corpo rigido considero una relazione/identità e nel secondo una equazione ? Oppure sta nel fatto che non posso moltiplicare liberamente ambo i membri di una qualsiasi espressione vettoriale per un prodotto scalare o vettoriale ?
Ancora una volta ringrazio quanti sapranno chiarire questi miei dubbi.
Saluti
Devi tenere presente che nel calcolo vettoriale non esiste una operazione chiamata " divisione" . Se, per esempio , hai una equazione del genere (prodotto scalare tra due vettori) :
$veca *vecb = c $
il risultato è uno scalare , per calcolare valore e segno devi moltiplicare i moduli dei due vettori ancora per il coseno dell'angolo compreso. Se fosse una moltiplicazione tra numeri reali , potresti dire, per esempio :
$veca = c/(vecb)$
ma non è cosí, non è una operazione tra numeri reali , non ottieni niente di definito ! Al primo membro ( più sopra) c'è un prodotto scalare tra vettori , al secondo un numero reale , quindi questo secondo passaggio non è lecito, non approda a nulla, l'operazione detta ti porta fuori del campo dei vettori, come ha spiegato Nikikinki.
Quindi , non devi meravigliarti del risultato del secondo punto che scrivi .
Devi sapere, ma te lo dico per sola informazione poiché non credo che tu abbia la possibilità di approfondire alcune problematiche complesse, che certe operazioni tra vettori rientrano in un quadro più generale tra operazioni tra i tensori . I tensori sono , in un certo senso, un "ampliamento" dei vettori , o meglio i vettori a cui noi siamo abituati sono dei particolari tensori . Come i vettori hanno componenti in una certa base, cosí ce l'hanno i tensori, anzi a volte ne hanno molte di più : dipende dal "rango" del tensore oltre che dalla dimensione dello spazio. Ora , neanche tra i tensori esiste una operazione di divisione, mentre invece esistono vari tipi di moltiplicazione: alcune di queste fanno lo stesso scherzo , diminuiscono il rango del tensore risultante dall'operazione.
Supponiamo di avere una espressione di questo genere (vedi sotto) , dove al primo membro ci sono le componenti di un tensore $\mathbb{A}$ moltiplicate per le componenti di una certa quantità $B$ , che non sappiamo se è un tensore o no . Le lettere greche in alto e in basso sono indici che stabiliscono la natura delle componenti , ma non mi dilungo su questo. Supponiamo di sapere per certo, invece , che i prodotti, eseguiti in una certa maniera che non sto a dirti, siano le componenti di un tensore $\mathbb{C}$ , e che questo si verifichi qualunque sia il tensore $\mathbb{A}$ le cui componenti moltiplichiamo per le componenti dell'oggetto matematico $B$ ; in altri termini, per esemplificare, supponiamo che sia :
$A_\beta^\alpha B^\mu = C_\beta^(\alpha\mu) $
e che le quantità a secondo membro siano sicuramente le componenti di un tensore $\mathbb{C}$ : possiamo allora concludere che le quantità $B^\mu$ sono a loro volta le componenti di un tensore $\mathbb{B}$ ? Ebbene si, c'è un teorema di calcolo tensoriale , che si chiama "regola del quoziente" , il quale ci permette di dire che questo è vero : le quantità $B^\mu$ sono le componenti di un tensore $\mathbb{B}$ , se quelle di $\mathbb{C}$ lo sono e se vale quello che ho sottolineato "qualunque siano le $A_\beta^\alpha $ ". Ma le componenti $B^\mu$ non le puoi ottenere direttamente come "quoziente" , cioè non puoi scrivere semplicemente :
$B^\mu = (C_\beta^(\alpha\mu))/(A_\beta^\alpha) $
Forse questo accenno di spiegazione è superfluo e non ti giova. Comunque l'ho messo per farti almeno afferrare l'idea che , non essendo definito il quoziente tra quantità tensoriali , e quindi vettoriali, non devi meravigliarti, ripeto, di quello che hai osservato, che è giusto.
Ciao ragazzi !
Innanzitutto ringrazio entrambi per le risposte ! Tuttavia c'è ancora qualcosa che mi sfugge. Come confermato da shackle i miei calcoli iniziali erano esatti e dunque mi viene da pensare che moltiplicare ambo i membri di un'equazione vettoriale per un prodotto vettoriale sia lecito, cosa non vera, invece, per il prodotto scalare che non è interno a $R^3$. Tuttavia, se applico lo stesso ragionamento seguito in precedenza per la $(1):vec(x)=vec(y)xxvec(z)$ stavolta moltiplicando per un prodotto vettoriale e non scalare, trovo, ancora una volta, soluzioni extra che la $(1)$ non possiede: ancora una volta la $(1)$ è verificata solo se $vec(x)-vec(y)xxvec(z)=0$, ma, moltiplicando vettorialmente la $(1)$ per $vec(a)$ si ha: $(2):vec(x)xxvec(a)=(vec(y)xxvec(z))xxvec(a) rarr (vec(x)-vec(y)xxvec(z))xxvec(a)=0$ che ha le medesime soluzioni della $(1)$ con in più, però, quelle che prevedono $(vec(x)-vec(y)xxvec(z))||vec(a)$.
Com'è possibile ? Sbaglio qualcosa ? Inoltre, avreste qualche testo da consigliarmi che spieghi per bene quest'algebra vettoriale ? (ho già spluciato nella sezione "Leggiti questo", ma avrei bisogno di un consiglio da voi per capire quale libro fa più al caso mio tra quelli elencati, ad esempio Lang, Strang, Sernesi, etc... o anche qualcuno non citato di algebra lineare, sempre che di questo si tratti). Se aveste anche qualche testo da consigliare riguardo i tensori (dato che shackle mi ha incuriosito) ve ne sarei grato. Preferirei qualcosa in italiano, ma non disdegno l'inglese.
Grazie ancora !!
Saluti
Innanzitutto ringrazio entrambi per le risposte ! Tuttavia c'è ancora qualcosa che mi sfugge. Come confermato da shackle i miei calcoli iniziali erano esatti e dunque mi viene da pensare che moltiplicare ambo i membri di un'equazione vettoriale per un prodotto vettoriale sia lecito, cosa non vera, invece, per il prodotto scalare che non è interno a $R^3$. Tuttavia, se applico lo stesso ragionamento seguito in precedenza per la $(1):vec(x)=vec(y)xxvec(z)$ stavolta moltiplicando per un prodotto vettoriale e non scalare, trovo, ancora una volta, soluzioni extra che la $(1)$ non possiede: ancora una volta la $(1)$ è verificata solo se $vec(x)-vec(y)xxvec(z)=0$, ma, moltiplicando vettorialmente la $(1)$ per $vec(a)$ si ha: $(2):vec(x)xxvec(a)=(vec(y)xxvec(z))xxvec(a) rarr (vec(x)-vec(y)xxvec(z))xxvec(a)=0$ che ha le medesime soluzioni della $(1)$ con in più, però, quelle che prevedono $(vec(x)-vec(y)xxvec(z))||vec(a)$.
Com'è possibile ? Sbaglio qualcosa ? Inoltre, avreste qualche testo da consigliarmi che spieghi per bene quest'algebra vettoriale ? (ho già spluciato nella sezione "Leggiti questo", ma avrei bisogno di un consiglio da voi per capire quale libro fa più al caso mio tra quelli elencati, ad esempio Lang, Strang, Sernesi, etc... o anche qualcuno non citato di algebra lineare, sempre che di questo si tratti). Se aveste anche qualche testo da consigliare riguardo i tensori (dato che shackle mi ha incuriosito) ve ne sarei grato. Preferirei qualcosa in italiano, ma non disdegno l'inglese.
Grazie ancora !!
Saluti
Forse non ci siamo capiti, la domanda che devi porti non è tanto se sia lecito in generale quanto se con quella operazione mantieni lo stesso insieme di soluzioni oppure no. E' matematicamente lecito moltiplicare a destra e a sinistra con un prodotto scalare o vettoriale, ma non è assolutamente detto che l'insieme delle soluzioni resti quello iniziale. Le uniche operazioni che assicurano la permanenza nello stesso spazio vettoriale sono la somma e il prodotto per scalare. Se poi questo succede anche in costruzioni particolari del tuo sottospazio delle soluzioni per altre operazioni è dovuto solo a come è fatto quello spazio ma non per le sue proprietà di base.
Abbiamo asserito che sicuramente moltiplicare scalarmente per un vettore, pur essendo una operazione perfettamente lecita (ci mancherebbe che non lo sia) ti porta fuori dal tuo sottospazio. E tu vuoi restarci dentro, altrimenti stai cambiando l'equazione e tu non lo vuoi. Questo è il caso che hai citato in cui oltre alle soluzioni di prima hai anche quelle del sottospazio ortogonale $(x-y\timesz)*a=0$ (ometto i segni di vettori).
E' anche perfettamente lecito moltiplicare vettorialmente per un altro vettore ed abbiamo detto che questo ti fa rimanere in $R^3$ quindi è una cosa molto diversa al prodotto scalare. Ma il permanere in $R^3$ non ti assicura mica di non essere uscito dal tuo sottospazio. Se moltiplichi vettorialmente avrai oltre alle soluzioni di prima, anche quelle del sottospazio generato dai vettori paralleli e questo è il caso $(x-y\timesz)\timesa=0$.
Non stiamo dicendo niente di come è fatto il vettore $\veca$ e non stiamo nemmeno bene definendo il sottospazio iniziale (a priori $y$e$z$ possono anche non essere gli assi) fermo restando che lo spazio delle soluzioni iniziale è quello ortogonale al piano contenente $y$ e $z$.
Ricapitoliamo. Sono tutte operazioni lecite, ma se il tuo fine è rimanere nel sottospazio iniziale (e tu ci vuoi restare perché vuoi isolare $\omega$ senza cambiare l'equazione) il prodotto scalare sicuramente ti fa uscire, il prodotto vettoriale dipende… Dipende da come è fatto lo spazio e da come è fatto il vettore moltiplicante.
Pur ammettendo che $y,z$ siano ortogonali (come $\omega,AB$ ) secondo te non c'è una leggera differenza tra
$x\timesa=(y\timesz)\timesa$ , con $\veca$ generico
ed
$v_(ab)\timesAB=(\omega\timesAB)\timesAB$ ?
Abbiamo asserito che sicuramente moltiplicare scalarmente per un vettore, pur essendo una operazione perfettamente lecita (ci mancherebbe che non lo sia) ti porta fuori dal tuo sottospazio. E tu vuoi restarci dentro, altrimenti stai cambiando l'equazione e tu non lo vuoi. Questo è il caso che hai citato in cui oltre alle soluzioni di prima hai anche quelle del sottospazio ortogonale $(x-y\timesz)*a=0$ (ometto i segni di vettori).
E' anche perfettamente lecito moltiplicare vettorialmente per un altro vettore ed abbiamo detto che questo ti fa rimanere in $R^3$ quindi è una cosa molto diversa al prodotto scalare. Ma il permanere in $R^3$ non ti assicura mica di non essere uscito dal tuo sottospazio. Se moltiplichi vettorialmente avrai oltre alle soluzioni di prima, anche quelle del sottospazio generato dai vettori paralleli e questo è il caso $(x-y\timesz)\timesa=0$.
Non stiamo dicendo niente di come è fatto il vettore $\veca$ e non stiamo nemmeno bene definendo il sottospazio iniziale (a priori $y$e$z$ possono anche non essere gli assi) fermo restando che lo spazio delle soluzioni iniziale è quello ortogonale al piano contenente $y$ e $z$.
Ricapitoliamo. Sono tutte operazioni lecite, ma se il tuo fine è rimanere nel sottospazio iniziale (e tu ci vuoi restare perché vuoi isolare $\omega$ senza cambiare l'equazione) il prodotto scalare sicuramente ti fa uscire, il prodotto vettoriale dipende… Dipende da come è fatto lo spazio e da come è fatto il vettore moltiplicante.
Pur ammettendo che $y,z$ siano ortogonali (come $\omega,AB$ ) secondo te non c'è una leggera differenza tra
$x\timesa=(y\timesz)\timesa$ , con $\veca$ generico
ed
$v_(ab)\timesAB=(\omega\timesAB)\timesAB$ ?
Devi renderti conto che le equazioni vettoriali non possono essere trattate alla stregua di equazioni algebriche di primo grado a cui siamo soliti. Devi accettare l'idea che ci sia anche la soluzione che prevede il vettore $veca$ ortogonale a $ (vecx-vecy\timesvecz) $ . Non c'è sbaglio.
Per quanto riguarda i tensori, sul web c'è tantissimo materiale. Ti cito 4 autori che hanno pubblicato dispense, dei quali per chiarezza preferisco il Tibaldi :
Zaccaria , Tibaldi ,Padovani , Ferkinghoff
Naturalmente esistono anche molti libri . Quello di Lang è introduttivo. Ti cito questo: https://www.amazon.com/Manifolds-Tensor ... 1107042194
(chi cerca...trova
)
Per quanto riguarda i tensori, sul web c'è tantissimo materiale. Ti cito 4 autori che hanno pubblicato dispense, dei quali per chiarezza preferisco il Tibaldi :
Zaccaria , Tibaldi ,Padovani , Ferkinghoff
Naturalmente esistono anche molti libri . Quello di Lang è introduttivo. Ti cito questo: https://www.amazon.com/Manifolds-Tensor ... 1107042194
(chi cerca...trova
)
Grazie ancora ad entrambi !!
Ora è tutto più chiaro ! Il problema dunque non è il fatto che sia lecito o meno, quanto piuttosto che mi sposto da un "insieme" iniziale ad uno finale diverso dal precedente. Grazie ancora ad entrambi anche per la pazienza, lo so, sono un po' di coccio](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Grazie shackle per i consigli !
Saluti
Ora è tutto più chiaro ! Il problema dunque non è il fatto che sia lecito o meno, quanto piuttosto che mi sposto da un "insieme" iniziale ad uno finale diverso dal precedente. Grazie ancora ad entrambi anche per la pazienza, lo so, sono un po' di coccio
"Shackle":
Per quanto riguarda i tensori, sul web c'è tantissimo materiale. Ti cito 4 autori che hanno pubblicato dispense, dei quali per chiarezza preferisco il Tibaldi :
Zaccaria , Tibaldi ,Padovani , Ferkinghoff
Naturalmente esistono anche molti libri . Quello di Lang è introduttivo. Ti cito questo: https://www.amazon.com/Manifolds-Tensor ... 1107042194
(chi cerca...trova )
Grazie shackle per i consigli !
Saluti
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