Equazioni differenziali moto armonico
Ciao a tutti, in un problema di meccanica razionale, ho ottenuto le seguenti equazioni differenziali $ x'' = - 1/2m x' - K/m x $ e $ y'' = 1/m y' - K/m y$. Mi potreste aiutare a risolverle e capire di che sistema fisico si tratta? Grazie
Risposte
non è facile risponderti, dato che poni la questione in maniera un po' fumosa. Dici infatti di aver ottenuto due equazioni differenziali a partire da un problema di meccanica, chiedendo poi di quale sistema fisico si tratti. Visto che in genere in fisica si imposta prima il modello fisico, cui si associa poi il modello matematico, potresti spiegare come mai chiedi di ripercorrere il percorso inverso? E' una domanda più da quiz che da meccanica razionale.
Ciò non toglie che si identificano elementi viscosi ed elastici. Rimane la necessità di chiarimento.
Ciò non toglie che si identificano elementi viscosi ed elastici. Rimane la necessità di chiarimento.
le due equazioni differenziali le ho ottenute da una lagrangiana che già il problema mi dava
Puoi scrivere la Lagrangiana?
Se le forze sono conservative -forse
è più semplice capire il sistema dalla Lagrangiana che dalle equazioni dinamiche.
A me sembra di aver capito
che essa fosse:
$L=1/2m(\dotx^2+\doty^2)+K/2(x^2+y^2)$
In questo caso il sistema è semplicemente di un punto
materiale di massa $m$ vincolato a muoversi su un piano (parametri lagrangiani: $x$,$y$);
e legato con una molla lineare di costante elastica $K$ all'origine.
Se la Lagrangiana è quella, le equazioni dinamiche sono differenti da come
hai scritto.
Hah! ci vuole un pio' di attenzione, e calma e pazienza, per ottenerle
senza errori: lo dico per esperienza.
Se le forze sono conservative -forse
è più semplice capire il sistema dalla Lagrangiana che dalle equazioni dinamiche.
A me sembra di aver capito
che essa fosse:
$L=1/2m(\dotx^2+\doty^2)+K/2(x^2+y^2)$
In questo caso il sistema è semplicemente di un punto
materiale di massa $m$ vincolato a muoversi su un piano (parametri lagrangiani: $x$,$y$);
e legato con una molla lineare di costante elastica $K$ all'origine.
Se la Lagrangiana è quella, le equazioni dinamiche sono differenti da come
hai scritto.
Hah! ci vuole un pio' di attenzione, e calma e pazienza, per ottenerle
senza errori: lo dico per esperienza.
La lagrangiana è questa: $ mx'y' - 1/2(x'y - xy') - Kxy $, penso che siano giuste le equazioni di Eulero Lagrange
scusa ma c' è stato un errore quando ho scritto la prima equazione differenziale ieri, la m va al denominatore insieme al 2 e non sopra ovvero $ x'' = -1/(2m)x' - K/m x $
Le equazioni dinamiche, per forze conservative:
$E_1="d"/("d"t)\del/(\delx')L-\del/(\delx)L= my''-y'+Ky=0$;
$E_1="d"/("d"t)\del/(\dely')L-\del/(\delx)L= mx''+x'+Kx=0$;
Circa la natura del sistema, non saprei dire per ora; ci ho pensato un po'...
La qualità della soluzione delle equazioni differenziali dipende da
$(1-4mK)$, se maggiore, minore o uguale a zero.
$E_1="d"/("d"t)\del/(\delx')L-\del/(\delx)L= my''-y'+Ky=0$;
$E_1="d"/("d"t)\del/(\dely')L-\del/(\delx)L= mx''+x'+Kx=0$;
Circa la natura del sistema, non saprei dire per ora; ci ho pensato un po'...
La qualità della soluzione delle equazioni differenziali dipende da
$(1-4mK)$, se maggiore, minore o uguale a zero.
"studente pa":
scusa ma c' è stato un errore quando ho scritto la prima equazione differenziale ieri, la m va al denominatore insieme al 2 e non sopra ovvero $ x'' = -1/(2m)x' - K/m x $
beh...mi sembra il tipico sistema con massa, molla e smorzatore viscoso
grazie per l'aiuto
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