Equazioni differenziali e integrali in fisica e per i fisici

[antani2]

Si incontrano sempre, sono dietro l'angolo...a volte sono facili da risolvere.
Ma so che le equazioni differenziali sono un campo di ricerca per gli analisti aperto e che non c'è un metodo generale per risolverle, oltre un certo livello ogni tipo di equazione differenziale espresso in una forma ha il suo metodo di soluzione...

Così spaventato da ciò, mi sono fatto un giro per internet a guardare che tipi di equazioni differenziali esistono.
E ho visto ciò che non avevo mai voluto vedere. Alcune fanno veramente paura già solo come sono scritte:D
Ora vabè, avrò incontrato 50 tipi di equazioni differenziali su un sito,...e sono veramente complicate proprio nella forma. Ma la cosa che mi ha spaventato di più è che se qualcuno (Tchebychev, Jacobi, ecc ecc) si è messp a risolverle, significa che esistono problemi che ti mettono davanti a equazioni differenziali così...

Ora la mia domanda che volevo porvi è questa...In fisica c'è il pericolo di incontrare ogni tipo di queste equazioni differenziali? O se no, quali sono i tipi più comuni che si incontrano in fisica? E dico nella vita eh, nella pratica, non negli esami di fisica generale dove ci sono sempre quelle lineari o a variabili separabili o bernoulliane...
E in generale, quei tipi strani che ho visto, da che problemi sono uscite? NOn penso che i matematici si siano inventati loro stessi di sana pianta quelle equazioni lì e poi le abbiano risolte...
E con le equazioni integrali? vale los tesso discorso?Basta sempre derivare per ricondursi a un equazione differenziale o a volte ciò non è possibile? e in questi casi la situazione è la stessa per le equazioni differenziali?
E soprattutto: in fisica bisogna preoccuparsi di saperle fare o ce ne si può fregare? perchè (fin ora) nessuno me le ha insegnate...

[Donatellasabatini]

Porto la mia esperienza sulle equazioni Navier-Stokes, in un corso specialistico si studia come risolvere con tecniche numeriche.
Queste equazioni sono molto ostiche, oltre a cambiare a seconda dell'interpretazione che dai al fluido, Euleriano o Lagrangiano, ammettono soluzioni analitiche in casi particolari , come moto alla Poiseuille o Couette che sono stati affrontati nel corso triennale. Quando si inizia a trattare moto vario, interazione fluido struttura la soluzione analitica di queste equazioni non si sa neanche se esista, ed occorre affrontare la cosa sperimentalmente. Esistono molte tecniche numerica dalle differenze finite e Fem tipici metodi con supporto di griglia oppure tecniche più recenti dette mesh-less ovvero senza griglia, come l'SPH. Ogni metodo ha i sui pro e contro, ma l'approccio modellistico-sperimentale rimane l'unico modo per "risolverle".

[antani2]

sì no io mi riferisco alla ricerca di soluzione analitica

[Eredir]

Direi che sono poche le equazioni differenziali che si sanno risolvere in fisica, basta ad esempio guardare un tipico problema di meccanica analitica: ci si accorge che ci si trova facilmente di fronte ad un sistema di equazioni differenziali di cui non si riesce a trovare una soluzione analitica, anche se il problema da cui si è partiti non è enormemente complicato.
Nei casi concreti la soluzione viene trovata per via numerica, scrivendo un programmino specializzato al problema oppure usando un software di uso generale come ad esempio Mathematica. Questo non vuol dire che sia inutile conoscere e saper risolvere le equazioni differenziali: ce ne sono alcune note e piuttosto ricorrenti come l'equazione delle onde oppure l'equazione del calore che è bene conoscere, per il resto volendo procedere in maniera analitica o si usa un approccio perturbativo oppure si va a consultare e studiare qualche referenza matematica che tratti il problema che si sta affrontando.