Equazioni di Maxwell
Qualcuno saprebbe spiegarmi semplicemente il significato matematico e fisico di queste due equazioni?
Si tratta delle equazioni di Maxwell applicate alle onde elettromagnetiche. In particolare vorrei sapere il significato di quell'operatore "quadrato".
Grazie
Risposte
Il quadrato è un operatore differenziale, chiamato operatore D'Alembertiano, ed è definito come:
$square=vecA grad^2 vecA - k(del vec A)/(del t)$
$square=vecA grad^2 vecA - k(del vec A)/(del t)$
Ok questo l'avevo letto però in riferimento ai campi elettrici e magnetici che significato fisico assume?
Si tratta di un sistema di equazioni alle derivate parziale, che munito di opportune condizioni al contorno è soddisfatto dai due vettori $(Bx(x,y,z,t), By(x,y,z,t),Bz(x,y,z,t))$ e $Ex(x,y,z,t), Ey(x,y,z,t),Ez(x,y,z,t))$ che rappresentano un campo elettromagnetico variabile nel tempo e nello spazio, che costituisce appunto l'onda elettromganetico, e ovviamente che soddisfano tutte le condizioni imposte dalle equazioni di maxwell.
Il significato fisico è un po più difficile, nel senso che intuitivamente le stesse equazioni sono quelle delle onde nel fluidi e nei solidi, ma in realtà i mediatori del campo elettromagnetico sono i fotoni, che hanno natura quantisitica, quindi ciascuna onda elettroagnerica è un pacchetto di fotoni con una ben determinata quantità di moto, che come si evince dalla relazione di de Broglie è legata alla lunghezza dell'onda elettromagnetica.
Il significato fisico è un po più difficile, nel senso che intuitivamente le stesse equazioni sono quelle delle onde nel fluidi e nei solidi, ma in realtà i mediatori del campo elettromagnetico sono i fotoni, che hanno natura quantisitica, quindi ciascuna onda elettroagnerica è un pacchetto di fotoni con una ben determinata quantità di moto, che come si evince dalla relazione di de Broglie è legata alla lunghezza dell'onda elettromagnetica.
Ok ma perchè uguale a zero?
Perchè l'operatore d'alambertiano contiene tutti e due i termini dell'equazione originale, sia quello a destra che quello a sinistra del segno di ugualianza, quindi sostituendo viene lo zero.
$grad^2 vecA =k(del vec A)/(del t)$
Questa è l'equazione di un'onda, il dalambertiano è:
$squarevecA=grad^2 vecA - k(del vec A)/(del t)$
quindi sostituendo
$squarevecA=0$
$grad^2 vecA =k(del vec A)/(del t)$
Questa è l'equazione di un'onda, il dalambertiano è:
$squarevecA=grad^2 vecA - k(del vec A)/(del t)$
quindi sostituendo
$squarevecA=0$
Ah...penso di aver capito, ma A indica generalmente un campo vettoriale come ad es il campo magnetico o quello elettrico?
Sì, $vecA$ è un generico campo vettoriale, di solito i fisici inoltre fanno l'ipotesi del tutto generale che nel dominio considerato nel problema (spesso tutto $R^3$ )goda di tutte le regolarità necessarie perchè le sue derivate, del grado necessario, esistano, quindi in questo caso le componenti di $vecA$ appartengono sicuramente alla classe $C^2$.
Ok grazie. Un'ultima curiosità...questa parte dell'analisi che si applica ad es proprio nelle equazioni di Maxwell (come l'operatore differenziale di divergenza o l'operatore rotore) si fa ad Analisi I o ad Analisi II?
Grazie ancora.
Grazie ancora.
Si chiama analisi vettoriale, si introduce in analisi 2 e la sua generalizzazione nel caso più generale si ha nell'analisi tensoriale.
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