Equazioni di Lagrange e coordinate normali
Salve a tutti, devo sostenere a breve l'esame di Meccanica Razionale per Ingegneria, e ho dei terribili dubbi che mi attanagliano!
Partiamo dalle equazioni di Lagrange. Queste possono essere linearizzate nell'intorno di una posizione di quilibrio, affinchè si possano trovare alcune informazioni in maniera semplice rispetto alla forma di partenza. Linearizzando (con procedimento oscuro ed esoterico) si ottiene:
Ar''-Br=0
dove A è la matrice dell'energia cinetica, B l'hessiano dell'energia potenziale, r=q_l - q_0 la differenza tra le variabili lagrangiane linearizzate ed il valore delle variabili lagrangiane nella configurazione di quilibrio. Da qui tramite un opportuno cambiamento di variabili si possono diagonalizzare A e B ed ottenere le equazioni disaccoppiate nelle variabili p, che sono le coordinate normali:
p''+lp=0
l sono gli autovalori che escono dalla soluzione di det(B-lA)=0. Qui iniziano i dolori. Sul libro trovo scritto che per trovare le soluzioni delle equazioni linearizzate, devo trovare gli autovalori l, poi i corrispondenti autovettori, poi ortonormalizzarli rispetto al prodotto scalare definito da A, trovare la matrice del cambiamento di base composta dalle colonne degli autovettori ortonormalizzati ed infine trovare le r tramite la r=Pp dove P è appunto la matrice di cambiamento di base. Di questo procedimento non mi è chiaro nulla, ma in particolare non capisco cosa sia e che senso abbia la ortonormalizzazzione rispetto ad A, non capisco poi perchè alcune volte negli esercizi viene fatta, alcune volte no! Il libro dice sempre che se le soluzioni del problema linearizzato sono scritte mediante le loro condizioni iniziali, la ortonormalizzazione non serve. Cosa significhi questo lo chiedo a voi!
Ringrazio chiunque abbia voglia di aiutarmi e mi scuso se le formule non sono scritte in maniera corretta (imparerò il più in fretta possibile).
Partiamo dalle equazioni di Lagrange. Queste possono essere linearizzate nell'intorno di una posizione di quilibrio, affinchè si possano trovare alcune informazioni in maniera semplice rispetto alla forma di partenza. Linearizzando (con procedimento oscuro ed esoterico) si ottiene:
Ar''-Br=0
dove A è la matrice dell'energia cinetica, B l'hessiano dell'energia potenziale, r=q_l - q_0 la differenza tra le variabili lagrangiane linearizzate ed il valore delle variabili lagrangiane nella configurazione di quilibrio. Da qui tramite un opportuno cambiamento di variabili si possono diagonalizzare A e B ed ottenere le equazioni disaccoppiate nelle variabili p, che sono le coordinate normali:
p''+lp=0
l sono gli autovalori che escono dalla soluzione di det(B-lA)=0. Qui iniziano i dolori. Sul libro trovo scritto che per trovare le soluzioni delle equazioni linearizzate, devo trovare gli autovalori l, poi i corrispondenti autovettori, poi ortonormalizzarli rispetto al prodotto scalare definito da A, trovare la matrice del cambiamento di base composta dalle colonne degli autovettori ortonormalizzati ed infine trovare le r tramite la r=Pp dove P è appunto la matrice di cambiamento di base. Di questo procedimento non mi è chiaro nulla, ma in particolare non capisco cosa sia e che senso abbia la ortonormalizzazzione rispetto ad A, non capisco poi perchè alcune volte negli esercizi viene fatta, alcune volte no! Il libro dice sempre che se le soluzioni del problema linearizzato sono scritte mediante le loro condizioni iniziali, la ortonormalizzazione non serve. Cosa significhi questo lo chiedo a voi!
Ringrazio chiunque abbia voglia di aiutarmi e mi scuso se le formule non sono scritte in maniera corretta (imparerò il più in fretta possibile).
Risposte
Ragazzi qualsiasi aiutino mi sarebbe utilissimo, anche magari tramite il reindirizzamento a qualche testo e\o dispensa... sapreste almeno dirmi quacosa sull'ortonormalizzazione?
Grazie!
Grazie!
Scusa ma vado di fretta... comunque
\(i)\) se hai un insieme di vettori ortogonali significa che il prodotto scalare tra tutte le coppie di vettori del tuo insieme è sempre nullo
\(ii)\) normalizzare un vettore significa "dividerlo" per la sua norma ottenendo quindi un vettore unitario
possiamo dire quindi che avere un insieme di vettori ortonormalizzati, significa avere un insieme di vettori di norma unitaria ortogonali tra loro.
\(i)\) se hai un insieme di vettori ortogonali significa che il prodotto scalare tra tutte le coppie di vettori del tuo insieme è sempre nullo
\(ii)\) normalizzare un vettore significa "dividerlo" per la sua norma ottenendo quindi un vettore unitario
possiamo dire quindi che avere un insieme di vettori ortonormalizzati, significa avere un insieme di vettori di norma unitaria ortogonali tra loro.
Intanto ti ringrazio per la risposta!
Purtroppo sono già a conoscenza di quello che mi dici, il fatto è che A è una matrice (quella delle derivate dell'energia cinetica), e lì dice di ortonormalizzare rispetto al prodotto scalare definito da A...!? Non ho la più pallida idea di che cosa significhi. Tra l'altro ci tengo a precisare, che io ho dato Geometria e Algebra Lineare, la quale non comprende assolutamente questo tipo di argomenti. Se chiedo info al proff di meccanica , risponde che lui insegna meccanica e non geometria, i miei compagni di corso ne sanno quanto me, ho cercato risposte su tre libri ( "Strumia", "Benvenuti Bordoni Maschio" e "Lo Schiavo"), quindi chiedo qui dopo un'estenuante quanto infruttuosa ricerca!!
Spero che ci sia qualche anima pia disposta ad aiutarmi!
Purtroppo sono già a conoscenza di quello che mi dici, il fatto è che A è una matrice (quella delle derivate dell'energia cinetica), e lì dice di ortonormalizzare rispetto al prodotto scalare definito da A...!? Non ho la più pallida idea di che cosa significhi. Tra l'altro ci tengo a precisare, che io ho dato Geometria e Algebra Lineare, la quale non comprende assolutamente questo tipo di argomenti. Se chiedo info al proff di meccanica , risponde che lui insegna meccanica e non geometria, i miei compagni di corso ne sanno quanto me, ho cercato risposte su tre libri ( "Strumia", "Benvenuti Bordoni Maschio" e "Lo Schiavo"), quindi chiedo qui dopo un'estenuante quanto infruttuosa ricerca!!
Spero che ci sia qualche anima pia disposta ad aiutarmi!
Ti stai riferendo alla riduzione del binomio di Lagrange?
Se ho capito bene, prova a dare un'occhiata a queste pagine (da pag. 28)
http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispens ... lonomi.pdf
Se ho capito bene, prova a dare un'occhiata a queste pagine (da pag. 28)
http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispens ... lonomi.pdf
Grazie della risposta, ma non è proprio quello. In pratica una volta linearizzate le equazioni di lagrange, il libro trova le coordinate normali (le p del mio primo post), le cui soluzioni forniranno le equazioni delle piccole oscillazioni del corpo attorno alla posizione di equilibrio stabile. Per trovare queste coordinate normali bisogna applicare un cambiamento di variabili definito dalla matrice P (del mio primo post). Questa matrice dovrebbe essere composta dagli autovettori trovati dalla condizione det(B-lA)=0 , ortonormalizzati però rispetto al prodotto ortogonale definito dalla matrice A. La matrice P è tale che r=Pp , quinidi una volta trovate le equazioni delle p posso tornare alle r, soluzioni delle equazioni di lagrange linearizzate.
Ciò che non mi è chiaro è come trovare questa benedetta matrice P, perchè bisogna, come ho detto, ortonormalizzare gli autovettori trovati con gli autovalori soluzioni della det(B-lA)=0 , cosa che io non so fare.
Se non sono chiaro vi prego di dirmelo che cercherò di spiegarmi in maniera diversa.
Ciò che non mi è chiaro è come trovare questa benedetta matrice P, perchè bisogna, come ho detto, ortonormalizzare gli autovettori trovati con gli autovalori soluzioni della det(B-lA)=0 , cosa che io non so fare.
Se non sono chiaro vi prego di dirmelo che cercherò di spiegarmi in maniera diversa.
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