Equazioni Di Lagrange
Scusate mi sorge un dubbio, l'equazione di Lagrange generale cioè
$L(q,dot q, t)=T(q,dot q, t)-V(q,dot q)$
Dove $q$ e $dot q$ sono rispettivamente le coordinate di Lagrange e le velocità lagrangiane, assume questa forma solo in caso che la sollecitazione attiva sia conservativa di potenziale $V$ con presenza di vincoli olonomi bilaterali perfetti, altrimenti avrebbe una forma più complessa?
Grazie
$L(q,dot q, t)=T(q,dot q, t)-V(q,dot q)$
Dove $q$ e $dot q$ sono rispettivamente le coordinate di Lagrange e le velocità lagrangiane, assume questa forma solo in caso che la sollecitazione attiva sia conservativa di potenziale $V$ con presenza di vincoli olonomi bilaterali perfetti, altrimenti avrebbe una forma più complessa?
Grazie
Risposte
al primo membro basta aggiunge il lavoro virtuale delle forze non conservative.
"squalllionheart":
L'equazione di Lagrange generale cioè $L(q,dot q, t)=T(q,dot q, t)-V(q,dot q)$...
Quella che hai scritto è la Lagrangiana, non l'equazione di Lagrange. Ho voluto precisarlo perchè, in un'altra discussione che hai aperto, mi è sembrato che tu confondessi la funzione di Lagrange con le equazioni di Lagrange.
Speculor corregimi
Allora:
$L(q,dot q,t)=T(q,dot q,t)-V(q,t)$ (sempre in ambito di sollecitazione attiva conservativa)
è la lagrangiana.
$d/dt (partial L)/(partial dot q_k)-(partial L)/(partial q_k)=0$
Sono le equazioni di Lagrange.
Allora la FUNZIONE DI LAGRANGE QUAL è?
Allora:
$L(q,dot q,t)=T(q,dot q,t)-V(q,t)$ (sempre in ambito di sollecitazione attiva conservativa)
è la lagrangiana.
$d/dt (partial L)/(partial dot q_k)-(partial L)/(partial q_k)=0$
Sono le equazioni di Lagrange.
Allora la FUNZIONE DI LAGRANGE QUAL è?
Lagrangiana e funzione di Lagrange sono la stessa cosa.
Allora:
$L(q,dot q,t)=T(q,dot q,t)-V(q,t)$ (sempre in ambito di sollecitazione attiva conservativa)
è la lagrangiana=funzione di lagrange
grazie.
$L(q,dot q,t)=T(q,dot q,t)-V(q,t)$ (sempre in ambito di sollecitazione attiva conservativa)
è la lagrangiana=funzione di lagrange
grazie.
Quella formula delle equazioni di Lagrange vale solamente per il caso conservativo altrimenti hai che:
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}_{k}} = f_k\)
dove con \(\displaystyle f_k \) intendo le forze generalizzate o lagrangiane \(\displaystyle f_k = \sum_{\nu = 1}^{N}F_{\nu}\frac{\partial{\mathbf{r}_{\nu}}}{\partial{q_k}}\) dove \(\displaystyle F_{\nu} \) e \(\displaystyle \mathbf{r}_{\nu} \) sono rispettivamente la risultante delle forze attive* nel punto \(\displaystyle P_{\nu} \) e la funzione coordinata dello stesso punto.
Nel caso in cui \(\displaystyle f_{k} = - \frac{\partial{V}}{\partial{q_k}} \) si ha che:
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}_{k}} = -\frac{\partial{V}}{\partial{q}_{k}}\)
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}_{k}} +\frac{\partial{V}}{\partial{q}_{k}} = 0 \)
Tenendo quindi conto che \(\displaystyle \frac{\partial{V}}{\partial{\dot{q}}_{k}} = 0 \) si ricava:
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L-V}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L-V}}{\partial{q}_{k}} = 0 \)
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}_{k}} = 0 \)
* Ovviamente il tutto richiede che i vincoli siano perfetti.
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}_{k}} = f_k\)
dove con \(\displaystyle f_k \) intendo le forze generalizzate o lagrangiane \(\displaystyle f_k = \sum_{\nu = 1}^{N}F_{\nu}\frac{\partial{\mathbf{r}_{\nu}}}{\partial{q_k}}\) dove \(\displaystyle F_{\nu} \) e \(\displaystyle \mathbf{r}_{\nu} \) sono rispettivamente la risultante delle forze attive* nel punto \(\displaystyle P_{\nu} \) e la funzione coordinata dello stesso punto.
Nel caso in cui \(\displaystyle f_{k} = - \frac{\partial{V}}{\partial{q_k}} \) si ha che:
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}_{k}} = -\frac{\partial{V}}{\partial{q}_{k}}\)
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}_{k}} +\frac{\partial{V}}{\partial{q}_{k}} = 0 \)
Tenendo quindi conto che \(\displaystyle \frac{\partial{V}}{\partial{\dot{q}}_{k}} = 0 \) si ricava:
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L-V}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L-V}}{\partial{q}_{k}} = 0 \)
\(\displaystyle \frac{d}{\left.{d}{t}\right.}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}_{k}}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}_{k}} = 0 \)
* Ovviamente il tutto richiede che i vincoli siano perfetti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo