Equazioni di Lagrange

[cooper1]

ho il seguente esercizio:
Un punto pesante A, libero di muoversi in un piano verticale, è collegato ad un punto B, di massa uguale, tramite una molla elastica di lunghezza a riposo nulla. Il punto B è vincolato a muoversi su di una retta orizzontale nel piano in cui si muove A. Si svolgano i seguenti punti:

(i) Si scrivano le equazioni del moto.
(ii) Si trovino eventuali punti di equilibrio del sistema, discutendo se siano
stabili.
(iii) Si trovino le soluzioni per le equazioni del moto.[/list:u:43ofwb0a]
Svolgimento:
come coordinate lagrangiane utilizzo le coordinate di A e quelle di B: $A=(x_A, y_A) ^^ B=(x_B,0)$
quindi, dato che tutte le forze in gioco sono conservative ho che la lagrangiana è:
$ \mathcal{L} = T-V=m/2(dot(x_A)^2+dot(y_A)^2+dot(x_B)^2 )-k/2[(x_A -x_B)^2 + (y_A)^2] $
dove T è l'energia cinetica (data dalla somma dell'energia di A e di B) e V quella potenziale.
dalle equazioni di Lagrange $d/dt ((partial \mathcal{L})/(partial dot(q_i)))-(partial \mathcal{L})/(partial q_i)=0$, ottengo le seguenti equazioni del moto:
$ddot(x_A)+k/m (x_A -x_B)=0$
$ddot(x_B)+k/m (x_B -x_A)=0$
$ddot(y_A)+k/m y_A=0$
risolvendo il sistema accoppiato delle prime due ricorrendo alle variabili ausiliarie $alpha = x_A + x_B ^^ beta=x_A- x_B$, ottengo:
$x_A (t) = 1/2(Esin(sqrt((2k)/m)t)+Fcos(sqrt((2k)/m)t)+Ct+D$
$x_B (t) = -1/2(Esin(sqrt((2k)/m)t)+Fcos(sqrt((2k)/m)t)-Ct-D$
ed infine $y_A (t) = A cos(sqrt((k)/m)t)+Bsin(sqrt((k)/m)t)$

i punti di equilibrio so essere i punti che annullano il gradiente del potenziale, rispetto alle coordinate lagrangiane. per cui il vettore gradiente mi esce: $ [ ( k(x_A -2x_B) ),( k(x_B -2x_A) ),( ky_A ) ] $
annullandolo ottengo il punto $(x_A,x_B,y_A)=(0,0,0)$
per studiarne la natura calcolo l'hessiana e studio la natura del punto:


[*:43ofwb0a] se è di minimo allora è stabile[/*:m:43ofwb0a]
[*:43ofwb0a] se è di massimo/sella allora è instabile[/*:m:43ofwb0a][/list:u:43ofwb0a]
Qui ho:
$ H=| ( k , -2k , 0 ),( -2k , k , 0 ),( 0 , 0 , k ) |=-3k^3 < 0 $
essendo quindi una sella il punto di equilibrio $(0,0,0)$ è instabile.
è svolto correttamente? ho tralasciato dei passaggi?
grazie a tutti in anticipo!

[Studente Anonimo]

"cooper":
Un punto pesante A, libero di muoversi in un piano verticale, ...

Temo che tu non abbia considerato la forza peso agente sul punto A.

[cooper1]

ma nooooo! che errore stupido che ho fatto!
grazie per avermelo fatto notare!
al netto di questa decisiva omissione, concettualmente il resto è corretto? mi riferisco in particolare ai punti di equilibrio ed alla loro classificazione ed alla scelta della coordinate lagrangiane.
grazie ancora per la risposta.

[Studente Anonimo]

Premesso che la scelta delle coordinate lagrangiane appare più che ragionevole, mentre il punto B, essendo vincolato a muoversi su una retta orizzontale, è in equilibrio se e solo se la molla è diretta lungo la verticale:

$[x_A=x_B]$

il punto A, essendo libero di muoversi, è in equilibrio se e solo se la molla è a riposo:

$[x_A=x_B] ^^ [y_A=0]$

In definitiva, le configurazioni di equilibrio sono infinite.

"cooper":
... per cui il vettore gradiente mi esce: $[(k(x_A -2x_B)),(k(x_B-2x_A)),(ky_A)]$ ...

Hai senz'altro commesso una svista.

[cooper1]

in effetti la svista c'è stata si! quei coefficienti 2 del gradiente non hanno ragione d'essere. però adesso mi si presenta un altro dubbio: inserendo anche il potenziale gravitazionale di A (V=mgy_A) il gradiente del potenziale rispetto alla coordinata $y_A$ mi risulta di $ky_A+mg$ che quindi restituisce come punto di equilibrio $y_A = -(mg)/k$.
in definitiva avrei quindi i seguenti infiniti punti di equilibrio: $x_A = x_B ^^ y_A=-(mg)/k$. sono corretti o ancora non sto tenendo conto di qualche fattore?
a questo punto dovrei rifare l'hessiano e riclassificarli.

[Studente Anonimo]

Corretto. Infatti, mentre il punto B, essendo vincolato a muoversi su una retta orizzontale, è in equilibrio se e solo se la molla è diretta lungo la verticale:

$[x_A=x_B]$

il punto A, essendo soggetto alla forza peso, è in equilibrio se e solo se la forza elastica è opposta alla forza peso medesima:

$[x_A=x_B] ^^ [y_A=-(mg)/k]$

[cooper1]

perfetto grazie mille per la pazienza e i chiarimenti!