Equazioni di Lagrange
Ciao a tutti 
Scrivo perchè avrei bisogno di una mano a capire come risolvere questo esercizio(in allegato).
Io ho calcolato la lagrangiana in questo modo:
\(\displaystyle\mathcal L=T-V \)
Essendo l'asta senza vincoli fissi, uso il teorema di Konig e quindi:
\(\displaystyle r_G=s;\tfrac{L}{2}sin \theta ; -\tfrac{L}{2} cos \theta \)
da cui ricavo
\(\displaystyle v_G^2=\dot s^2+\tfrac{L^2}{2} \dot\theta^2 \)
\(\displaystyle T=\tfrac{1}{2}M \dot s^2 +\tfrac{1}{6}ML^2\dot\theta^2 \)
\(\displaystyle V \) invece sarà: \(\displaystyle V=\tfrac{1}{2}ks^2 -Mg\tfrac{L}{2} cos\theta -F L sin \theta \)
Trovata \(\displaystyle\mathcal L \) devo scrivere le equazioni di Lagrange:
\(\displaystyle \tfrac{d}{dx}\tfrac{\partial\mathcal L}{\partial\dot s}-\tfrac{\partial\mathcal L}{\partial s}=Q_k \)
\(\displaystyle \tfrac{d}{dx}\tfrac{\partial\mathcal L}{\partial\dot \theta}-\tfrac{\partial\mathcal L}{\partial \theta}=Q_k \)
Il mio problema consiste nel calcolare \(\displaystyle Q_k \) dato che ci sono sia forze conservative, che dissipative. Potreste aiutarmi per favore?
Scrivo perchè avrei bisogno di una mano a capire come risolvere questo esercizio(in allegato).
Io ho calcolato la lagrangiana in questo modo:
\(\displaystyle\mathcal L=T-V \)
Essendo l'asta senza vincoli fissi, uso il teorema di Konig e quindi:
\(\displaystyle r_G=s;\tfrac{L}{2}sin \theta ; -\tfrac{L}{2} cos \theta \)
da cui ricavo
\(\displaystyle v_G^2=\dot s^2+\tfrac{L^2}{2} \dot\theta^2 \)
\(\displaystyle T=\tfrac{1}{2}M \dot s^2 +\tfrac{1}{6}ML^2\dot\theta^2 \)
\(\displaystyle V \) invece sarà: \(\displaystyle V=\tfrac{1}{2}ks^2 -Mg\tfrac{L}{2} cos\theta -F L sin \theta \)
Trovata \(\displaystyle\mathcal L \) devo scrivere le equazioni di Lagrange:
\(\displaystyle \tfrac{d}{dx}\tfrac{\partial\mathcal L}{\partial\dot s}-\tfrac{\partial\mathcal L}{\partial s}=Q_k \)
\(\displaystyle \tfrac{d}{dx}\tfrac{\partial\mathcal L}{\partial\dot \theta}-\tfrac{\partial\mathcal L}{\partial \theta}=Q_k \)
Il mio problema consiste nel calcolare \(\displaystyle Q_k \) dato che ci sono sia forze conservative, che dissipative. Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
"valendjn":
Il mio problema consiste nel calcolare \( \displaystyle Q_k \) dato che ci sono sia forze conservative, che dissipative. Potreste aiutarmi per favore?
Tutte le forze che hai sono conservative. Hai tre contributi: quello della forza gravitazionale, quello della molla e quello della forza costante sul punto $B$.
L'unico dubbio ti potrebbe venire per quanto riguarda la forza su $B$, ma essendo costante, trovi immediatamente che $\bbF\inC^1(RR)$ e quindi $rot(\bbF)=\bb0$, da cui la relativa conservatività. Il termine nel potenziale relativo a quest'ultima sarà dato da:
$-\bbF*\bb(x)_B=-FLsin\theta$,
$Q_k^(nc)=0$.
La forza elastica, non è una forza dissipativa? D:
Ho seri problemi, se così non è >.<
Ho seri problemi, se così non è >.<
Dissipativa o no, è comunque una forza conservativa.
Facendo i calcoli, mi risultano le due equazioni così:
\(\displaystyle M \ddot s=0 \)
\(\displaystyle \tfrac{1}{3} ML^2\ddot\theta =0 \)
E' corretto? Grazie mille
\(\displaystyle M \ddot s=0 \)
\(\displaystyle \tfrac{1}{3} ML^2\ddot\theta =0 \)
E' corretto? Grazie mille
Grazie per la risposta sulla forza elastica
In ogni caso, se sul sistema agisse un'altra forza e questa fosse dissipativa, come dovrei comportarmi?
In ogni caso, se sul sistema agisse un'altra forza e questa fosse dissipativa, come dovrei comportarmi?
Per i conti mi dispiace ma ora non ho il tempo di controllare tutta la Lagrangiana e derivare le equazioni del moto.
In ogni caso se avessi avuto un'altra forza, avresti dovuto valutare se è conservativa o meno. Se è conservativa avrà il suo potenziale, altrimenti la inglobi in $Q_k^(nc)$.
In ogni caso se avessi avuto un'altra forza, avresti dovuto valutare se è conservativa o meno. Se è conservativa avrà il suo potenziale, altrimenti la inglobi in $Q_k^(nc)$.
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