Equazioni del moto della QCD
Ciao a tutti,
Vorrei chiedervi se per favore potete mostrarmi passaggio per passaggio come ricavare le equazioni del moto classiche per il campo $bar(psi)$ dalla lagrangiana di QCD (o di QED, che credo non cambi nulla)
$ L=bar(psi) (igamma _(mu)D ^(mu)-m)psi $ ,
$ D ^(mu)psi=( partial^(mu) +igA^(mu)) psi$ .
Facendo la variazione rispetto a $bar(psi)$ si trova l'equazione del moto per $psi$ e questa riesco a ricavarla:
$ (igamma_(mu)D ^(mu)-m)psi= 0 $ .
Ho dei problemi quando devo ricavare l'equazione del moto per $bar(psi)$. In particolare ci sono alcuni punti sui quali vorrei dei chiarimenti.
1) Prendiamo ad esempio il termine $-mbar(psi)psi$ nella lagrangiana. Quando faccio la variazione rispetto a $psi$, trattandosi entrambe (la derivata e il campo) di variabili grassmaniane, devo anticommutarle, cioè devo scrivere
$ delta /(delta psi)(-mbar(psi)psi)=+mbar(psi)delta/(deltapsi)psi=+mbar(psi) $ ,
è giusto?
2)Scompongo il termine di derivata covariante:
$ ibar(psi)gamma_(mu)D^(mu)psi=ibar(psi)gamma_(mu)partial^(mu)psi-gbar(psi)gamma_(mu)A^(mu)psi $ .
Integro per parti nell'azione il primo di questi termini, che quindi cambia segno e la derivata ora agisce su $bar(psi)$. Ma se quello che ho fatto al punto 1 è giusto devo poi anticommutare in questo termine e mi torna il segno positivo.
Anticommuto anche nel secondo termine che diventa positivo. Quindi la variazione rispetto a $psi$ di questi due termini mi dovrebbe dare
$ i(partial_(mu)bar(psi))gamma^(mu)+gbar(psi)gamma^(mu)A_(mu)=ibar(psi)gamma_(mu)(partial^(mu)-igA^(mu))=ibar(psi)gamma_(mu)D^(mu) $ ,
dove è sottinteso che ora $partial$ e $D$ agiscono a sinistra. Inoltre la derivata covariante quando agisce su $bar(psi)$ cambia da $+igA$ a $-igA$ perché (se siamo in QCD) $bar(psi)$ è nella rappresentazione $bar(3)$ mentre $psi$ è nella $3$. È corretto?
3)Mettendo tutto insieme mi viene
$ ibar(psi)gamma_(mu)(D^(mu)+m)=0 $ ,
ma dovrebbe venire $-m$ e non $+m$.
Quindi cos' è che sbaglio? Vi sarei molto grato se poteste aiutarmi, grazie.
Vorrei chiedervi se per favore potete mostrarmi passaggio per passaggio come ricavare le equazioni del moto classiche per il campo $bar(psi)$ dalla lagrangiana di QCD (o di QED, che credo non cambi nulla)
$ L=bar(psi) (igamma _(mu)D ^(mu)-m)psi $ ,
$ D ^(mu)psi=( partial^(mu) +igA^(mu)) psi$ .
Facendo la variazione rispetto a $bar(psi)$ si trova l'equazione del moto per $psi$ e questa riesco a ricavarla:
$ (igamma_(mu)D ^(mu)-m)psi= 0 $ .
Ho dei problemi quando devo ricavare l'equazione del moto per $bar(psi)$. In particolare ci sono alcuni punti sui quali vorrei dei chiarimenti.
1) Prendiamo ad esempio il termine $-mbar(psi)psi$ nella lagrangiana. Quando faccio la variazione rispetto a $psi$, trattandosi entrambe (la derivata e il campo) di variabili grassmaniane, devo anticommutarle, cioè devo scrivere
$ delta /(delta psi)(-mbar(psi)psi)=+mbar(psi)delta/(deltapsi)psi=+mbar(psi) $ ,
è giusto?
2)Scompongo il termine di derivata covariante:
$ ibar(psi)gamma_(mu)D^(mu)psi=ibar(psi)gamma_(mu)partial^(mu)psi-gbar(psi)gamma_(mu)A^(mu)psi $ .
Integro per parti nell'azione il primo di questi termini, che quindi cambia segno e la derivata ora agisce su $bar(psi)$. Ma se quello che ho fatto al punto 1 è giusto devo poi anticommutare in questo termine e mi torna il segno positivo.
Anticommuto anche nel secondo termine che diventa positivo. Quindi la variazione rispetto a $psi$ di questi due termini mi dovrebbe dare
$ i(partial_(mu)bar(psi))gamma^(mu)+gbar(psi)gamma^(mu)A_(mu)=ibar(psi)gamma_(mu)(partial^(mu)-igA^(mu))=ibar(psi)gamma_(mu)D^(mu) $ ,
dove è sottinteso che ora $partial$ e $D$ agiscono a sinistra. Inoltre la derivata covariante quando agisce su $bar(psi)$ cambia da $+igA$ a $-igA$ perché (se siamo in QCD) $bar(psi)$ è nella rappresentazione $bar(3)$ mentre $psi$ è nella $3$. È corretto?
3)Mettendo tutto insieme mi viene
$ ibar(psi)gamma_(mu)(D^(mu)+m)=0 $ ,
ma dovrebbe venire $-m$ e non $+m$.
Quindi cos' è che sbaglio? Vi sarei molto grato se poteste aiutarmi, grazie.
Risposte
Per quanto riguarda il secondo termine:
Infatti, se si esplicitano i conti:
Per quanto riguarda il primo termine, nel caso della particella libera:
In definitiva:
Ad ogni modo, almeno in questo ambito, non ho mai visto ricorrere alle variabili di Grassmann.
$[T=-mbar\psi\psi] rarr [(\deltaT)/(\delta\psi)=-mbar\psi]$
Infatti, se si esplicitano i conti:
Passo 1
$T=-mbar\psi\psi=-m\psi^+\gamma^0\psi=$
$=-m((\psi_1^(**),\psi_2^(**),\psi_3^(**),\psi_4^(**)))((\gamma_(11)^0,\gamma_(12)^0,\gamma_(13)^0,\gamma_(14)^0),(\gamma_(21)^0,\gamma_(22)^0,\gamma_(23)^0,\gamma_(24)^0),(\gamma_(31)^0,\gamma_(32)^0,\gamma_(33)^0,\gamma_(34)^0),
(\gamma_(41)^0,\gamma_(42)^0,\gamma_(43)^0,\gamma_(44)^0))((\psi_1),(\psi_2),(\psi_3),(\psi_4))=$
(\gamma_(41)^0,\gamma_(42)^0,\gamma_(43)^0,\gamma_(44)^0))((\psi_1),(\psi_2),(\psi_3),(\psi_4))=$
$=-m((\psi_1^(**),\psi_2^(**),\psi_3^(**),\psi_4^(**)))((\gamma_(11)^0\psi_1+\gamma_(12)^0\psi_2+\gamma_(13)^0\psi_3+\gamma_(14)^0\psi_4),(\gamma_(21)^0\psi_1+\gamma_(22)^0\psi_2+\gamma_(23)^0\psi_3+\gamma_(24)^0\psi_4),(\gamma_(31)^0\psi_1+\gamma_(32)^0\psi_2+\gamma_(33)^0\psi_3+\gamma_(34)^0\psi_4),(\gamma_(41)^0\psi_1+\gamma_(42)^0\psi_2+\gamma_(43)^0\psi_3+\gamma_(44)^0\psi_4))=$
$=-m(\gamma_(11)^0\psi_1^(**)\psi_1+\gamma_(12)^0\psi_1^(**)\psi_2+\gamma_(13)^0\psi_1^(**)\psi_3+\gamma_(14)^0\psi_1^(**)\psi_4+\gamma_(21)^0\psi_2^(**)\psi_1+\gamma_(22)^0\psi_2^(**)\psi_2+\gamma_(23)^0\psi_2^(**)\psi_3+\gamma_(24)^0\psi_2^(**)\psi_4+\gamma_(31)^0\psi_3^(**)\psi_1+\gamma_(32)^0\psi_3^(**)\psi_2+\gamma_(33)^0\psi_3^(**)\psi_3+\gamma_(34)^0\psi_3^(**)\psi_4+\gamma_(41)^0\psi_4^(**)\psi_1+\gamma_(42)^0\psi_4^(**)\psi_2+\gamma_(43)^0\psi_4^(**)\psi_3+\gamma_(44)^0\psi_4^(**)\psi_4)=$
$=-m[(\gamma_(11)^0\psi_1^(**)+\gamma_(21)^0\psi_2^(**)+\gamma_(31)^0\psi_3^(**)+\gamma_(41)^0\psi_4^(**))\psi_1+(\gamma_(12)^0\psi_1^(**)+\gamma_(22)^0\psi_2^(**)+\gamma_(32)^0\psi_3^(**)+\gamma_(42)^0\psi_4^(**))\psi_2+(\gamma_(13)^0\psi_1^(**)+\gamma_(23)^0\psi_2^(**)+\gamma_(33)^0\psi_3^(**)+\gamma_(43)^0\psi_4^(**))\psi_3+(\gamma_(14)^0\psi_1^(**)+\gamma_(24)^0\psi_2^(**)+\gamma_(34)^0\psi_3^(**)+\gamma_(44)^0\psi_4^(**))\psi_4]$
Passo 2
$(\deltaT)/(\delta\psi_1)=-m(\gamma_(11)^0\psi_1^(**)+\gamma_(21)^0\psi_2^(**)+\gamma_(31)^0\psi_3^(**)+\gamma_(41)^0\psi_4^(**))$
$(\deltaT)/(\delta\psi_2)=-m(\gamma_(12)^0\psi_1^(**)+\gamma_(22)^0\psi_2^(**)+\gamma_(32)^0\psi_3^(**)+\gamma_(42)^0\psi_4^(**))$
$(\deltaT)/(\delta\psi_3)=-m(\gamma_(13)^0\psi_1^(**)+\gamma_(23)^0\psi_2^(**)+\gamma_(33)^0\psi_3^(**)+\gamma_(43)^0\psi_4^(**))$
$(\deltaT)/(\delta\psi_4)=-m(\gamma_(14)^0\psi_1^(**)+\gamma_(24)^0\psi_2^(**)+\gamma_(34)^0\psi_3^(**)+\gamma_(44)^0\psi_4^(**))$
Passo 3
$(\deltaT)/(\delta\psi)=(((\deltaT)/(\delta\psi_1),(\deltaT)/(\delta\psi_2),(\deltaT)/(\delta\psi_3),(\deltaT)/(\delta\psi_4)))=$
$=-m((\psi_1^(**),\psi_2^(**),\psi_3^(**),\psi_4^(**)))((\gamma_(11)^0,\gamma_(12)^0,\gamma_(13)^0,\gamma_(14)^0),(\gamma_(21)^0,\gamma_(22)^0,\gamma_(23)^0,\gamma_(24)^0),(\gamma_(31)^0,\gamma_(32)^0,\gamma_(33)^0,\gamma_(34)^0),
(\gamma_(41)^0,\gamma_(42)^0,\gamma_(43)^0,\gamma_(44)^0))=$
(\gamma_(41)^0,\gamma_(42)^0,\gamma_(43)^0,\gamma_(44)^0))=$
$=-m\psi^+\gamma^0=-mbar\psi$
Per quanto riguarda il primo termine, nel caso della particella libera:
Passo 1
$T=ibar\psi\gamma^\mudel_\mu\psi=i\psi^+\gamma^0\gamma^\mudel_\mu\psi=$
$=i\psi^+\gamma^0\gamma^0del_0\psi+i\psi^+\gamma^0\gamma^1del_1\psi+i\psi^+\gamma^0\gamma^2del_2\psi+i\psi^+\gamma^0\gamma^3del_3\psi=$
$=i\psi^+I_ddel_0\psi+i\psi^+\alpha^1del_1\psi+i\psi^+\alpha^2del_2\psi+i\psi^+\alpha^3del_3\psi=$
$=A+B+C+D$
$B=i((\psi_1^(**),\psi_2^(**),\psi_3^(**),\psi_4^(**)))((\alpha_(11)^1,\alpha_(12)^1,\alpha_(13)^1,\alpha_(14)^1),(\alpha_(21)^1,\alpha_(22)^1,\alpha_(23)^1,\alpha_(24)^1),(\alpha_(31)^1,\alpha_(32)^1,\alpha_(33)^1,\alpha_(34)^1),
(\alpha_(41)^1,\alpha_(42)^1,\alpha_(43)^1,\alpha_(44)^1))((del_1\psi_1),(del_1\psi_2),(del_1\psi_3),(del_1\psi_4))=$
(\alpha_(41)^1,\alpha_(42)^1,\alpha_(43)^1,\alpha_(44)^1))((del_1\psi_1),(del_1\psi_2),(del_1\psi_3),(del_1\psi_4))=$
$=i((\psi_1^(**),\psi_2^(**),\psi_3^(**),\psi_4^(**)))((\alpha_(11)^1del_1\psi_1+\alpha_(12)^1del_1\psi_2+\alpha_(13)^1del_1\psi_3+\alpha_(14)^1del_1\psi_4),(\alpha_(21)^1del_1\psi_1+\alpha_(22)^1del_1\psi_2+\alpha_(23)^1del_1\psi_3+\alpha_(24)^1del_1\psi_4),(\alpha_(31)^1del_1\psi_1+\alpha_(32)^1del_1\psi_2+\alpha_(33)^1del_1\psi_3+\alpha_(34)^1del_1\psi_4),(\alpha_(41)^1del_1\psi_1+\alpha_(42)^1del_1\psi_2+\alpha_(43)^1del_1\psi_3+\alpha_(44)^1del_1\psi_4))=$
$=i(\alpha_(11)^1\psi_1^(**)del_1\psi_1+\alpha_(12)^1\psi_1^(**)del_1\psi_2+\alpha_(13)^1\psi_1^(**)del_1\psi_3+\alpha_(14)^1\psi_1^(**)del_1\psi_4+$
$+\alpha_(21)^1\psi_2^(**)del_1\psi_1+\alpha_(22)^1\psi_2^(**)del_1\psi_2+\alpha_(23)^1\psi_2^(**)del_1\psi_3+\alpha_(24)^1\psi_2^(**)del_1\psi_4+$
$+\alpha_(31)^1\psi_3^(**)del_1\psi_1+\alpha_(32)^1\psi_3^(**)del_1\psi_2+\alpha_(33)^1\psi_3^(**)del_1\psi_3+\alpha_(34)^1\psi_3^(**)del_1\psi_4+$
$+\alpha_(41)^1\psi_4^(**)del_1\psi_1+\alpha_(42)^1\psi_4^(**)del_1\psi_2+\alpha_(43)^1\psi_4^(**)del_1\psi_3+\alpha_(44)^1\psi_4^(**)del_1\psi_4)=$
$=i[(\alpha_(11)^1\psi_1^(**)+\alpha_(21)^1\psi_2^(**)+\alpha_(31)^1\psi_3^(**)+\alpha_(41)^1\psi_4^(**))del_1\psi_1+$
$+(\alpha_(12)^1\psi_1^(**)+\alpha_(22)^1\psi_2^(**)+\alpha_(32)^1\psi_3^(**)+\alpha_(42)^1\psi_4^(**))del_1\psi_2+$
$+(\alpha_(13)^1\psi_1^(**)+\alpha_(23)^1\psi_2^(**)+\alpha_(33)^1\psi_3^(**)+\alpha_(43)^1\psi_4^(**))del_1\psi_3+$
$+(\alpha_(14)^1\psi_1^(**)+\alpha_(24)^1\psi_2^(**)+\alpha_(34)^1\psi_3^(**)+\alpha_(44)^1\psi_4^(**))del_1\psi_4]$
Passo 2
$(\deltaB)/(\deltadel_1\psi_1)=i(\alpha_(11)^1\psi_1^(**)+\alpha_(21)^1\psi_2^(**)+\alpha_(31)^1\psi_3^(**)+\alpha_(41)^1\psi_4^(**))$
$(\deltaB)/(\deltadel_1\psi_2)=i(\alpha_(12)^1\psi_1^(**)+\alpha_(22)^1\psi_2^(**)+\alpha_(32)^1\psi_3^(**)+\alpha_(42)^1\psi_4^(**))$
$(\deltaB)/(\deltadel_1\psi_3)=i(\alpha_(13)^1\psi_1^(**)+\alpha_(23)^1\psi_2^(**)+\alpha_(33)^1\psi_3^(**)+\alpha_(43)^1\psi_4^(**))$
$(\deltaB)/(\deltadel_1\psi_4)=i(\alpha_(14)^1\psi_1^(**)+\alpha_(24)^1\psi_2^(**)+\alpha_(34)^1\psi_3^(**)+\alpha_(44)^1\psi_4^(**))$
Passo 3
$(\deltaB)/(\deltadel_1\psi)=(((\deltaB)/(\deltadel_1\psi_1),(\deltaB)/(\deltadel_1\psi_2),(\deltaB)/(\deltadel_1\psi_3),(\deltaB)/(\deltadel_1\psi_4)))=$
$=i((\psi_1^(**),\psi_2^(**),\psi_3^(**),\psi_4^(**)))((\alpha_(11)^1,\alpha_(12)^1,\alpha_(13)^1,\alpha_(14)^1),(\alpha_(21)^1,\alpha_(22)^1,\alpha_(23)^1,\alpha_(24)^1),(\alpha_(31)^1,\alpha_(32)^1,\alpha_(33)^1,\alpha_(34)^1),
(\alpha_(41)^1,\alpha_(42)^1,\alpha_(43)^1,\alpha_(44)^1))=$
(\alpha_(41)^1,\alpha_(42)^1,\alpha_(43)^1,\alpha_(44)^1))=$
$=i\psi^+\alpha^1=i\psi^+\gamma^0\gamma^1=ibar\psi\gamma^1$
Passo 4
$(\deltaT)/(\deltadel_0\psi)=(\deltaA)/(\deltadel_0\psi)=ibar\psi\gamma^0$
$(\deltaT)/(\deltadel_1\psi)=(\deltaB)/(\deltadel_1\psi)=ibar\psi\gamma^1$
$(\deltaT)/(\deltadel_2\psi)=(\deltaC)/(\deltadel_2\psi)=ibar\psi\gamma^2$
$(\deltaT)/(\deltadel_3\psi)=(\deltaD)/(\deltadel_3\psi)=ibar\psi\gamma^3$
Passo 5
$del_0(\deltaT)/(\deltadel_0\psi)+del_1(\deltaT)/(\deltadel_1\psi)+del_2(\deltaT)/(\deltadel_2\psi)+del_3(\deltaT)/(\deltadel_3\psi)=$
$=i(del_0bar\psi\gamma^0+del_1bar\psi\gamma^1+del_2bar\psi\gamma^2+del_3bar\psi\gamma^3)=$
$=i del_\mubar\psi\gamma^\mu$
In definitiva:
$i del_\mubar\psi\gamma^\mu+mbar\psi=0$
Ad ogni modo, almeno in questo ambito, non ho mai visto ricorrere alle variabili di Grassmann.
Grazie molte per la risposta! Non ci speravo più.
I tuoi passaggi sono tutti molto chiari, grazie. Tuttavia mi restano due dubbi.
1) Anzitutto mi sono reso conto che anche usando l'anticommutazione delle variabili di Grassmann l'equazione del moto finale resta la stessa, c'è semplicemente un segno meno davanti a tutto. Anche io non ho mai visto usare l'algebra di Grassmann per questi calcoli, ma mi chiedo come mai se ci insegnano che i campi fermionici sono variabili di Grassmann, poi non si usa l'algebra di Grassmann in questi conti. Ma posso anche mettere da parte questo dubbio.
2) Il dubbio principale riguarda la derivata covariante che agisce su $ bar(psi) $ .
Mi sembra di capire (anche se non sono riuscito a trovarlo in nessun libro, ma l'ho dedotto dai calcoli fatti dal professore) che il risultato finale deve essere
$ bar(psi) (igamma^(mu)D_(mu)-m)=0 $ ,
ma i segni rispetto al risultato che hai dato tu sono gli stessi, perché la derivata covariante agente su $ bar(psi)$ è definita come
$bar(psi)D_(mu)=bar(psi)(-partial_(mu)-igA_(mu))$,
cioè coi segni contrari a quelli della derivata covariante agente su $psi$ . Questo perché, dice il professore, il campo vive nella rappresentazione $bar(3)$ . Ora, io non sono riuscito a trovare in alcun libro né quale sia veramente la definizione di $bar(psi)D_(mu)$ per vedere se per caso non avessi capito male, né il perché quando agisce sulla rappresentazione $bar(3)$ i segni si invertono.
Ti ringrazio ancora molto per la tua risposta. Se magari sapessi sciogliere questi dubbi, soprattutto il secondo, ne sarei molto felice.
I tuoi passaggi sono tutti molto chiari, grazie. Tuttavia mi restano due dubbi.
1) Anzitutto mi sono reso conto che anche usando l'anticommutazione delle variabili di Grassmann l'equazione del moto finale resta la stessa, c'è semplicemente un segno meno davanti a tutto. Anche io non ho mai visto usare l'algebra di Grassmann per questi calcoli, ma mi chiedo come mai se ci insegnano che i campi fermionici sono variabili di Grassmann, poi non si usa l'algebra di Grassmann in questi conti. Ma posso anche mettere da parte questo dubbio.
2) Il dubbio principale riguarda la derivata covariante che agisce su $ bar(psi) $ .
Mi sembra di capire (anche se non sono riuscito a trovarlo in nessun libro, ma l'ho dedotto dai calcoli fatti dal professore) che il risultato finale deve essere
$ bar(psi) (igamma^(mu)D_(mu)-m)=0 $ ,
ma i segni rispetto al risultato che hai dato tu sono gli stessi, perché la derivata covariante agente su $ bar(psi)$ è definita come
$bar(psi)D_(mu)=bar(psi)(-partial_(mu)-igA_(mu))$,
cioè coi segni contrari a quelli della derivata covariante agente su $psi$ . Questo perché, dice il professore, il campo vive nella rappresentazione $bar(3)$ . Ora, io non sono riuscito a trovare in alcun libro né quale sia veramente la definizione di $bar(psi)D_(mu)$ per vedere se per caso non avessi capito male, né il perché quando agisce sulla rappresentazione $bar(3)$ i segni si invertono.
Ti ringrazio ancora molto per la tua risposta. Se magari sapessi sciogliere questi dubbi, soprattutto il secondo, ne sarei molto felice.
ciao,
onestamente nemmeno io ho mai visto utilizzare variabili di Grassmann nella derivazione delle equ. del moto per i campi classici.
aggiungo che tenere conto della natura grassmaniana del campo nel caso classico è fondamentale per potere scrivere la lagrangiana classica da cui deriva l'equ. di campo di fermioni di majorana (il primo risultato che ho trovato googlando è questo: https://www.physicsoverflow.org/40533/m ... lagrangian, ma sicuramente puoi trovare referenze molto più complete)
edit: sorry mi sono reso conto solo ora dell'obbrobrio che ho scritto
onestamente nemmeno io ho mai visto utilizzare variabili di Grassmann nella derivazione delle equ. del moto per i campi classici.
aggiungo che tenere conto della natura grassmaniana del campo nel caso classico è fondamentale per potere scrivere la lagrangiana classica da cui deriva l'equ. di campo di fermioni di majorana (il primo risultato che ho trovato googlando è questo: https://www.physicsoverflow.org/40533/m ... lagrangian, ma sicuramente puoi trovare referenze molto più complete)
edit: sorry mi sono reso conto solo ora dell'obbrobrio che ho scritto
Non ti preoccupare, anzi ti ringrazio per l'interessamento 
Ho trovato il problema del Peskin di cui parlano al link che hai riportato. Sembra anche interessante come esercizio.
Che i campi fermionici siano variabili di Grassmann sembra scontato. D'altronde devono per forza anticommutare, altrimenti non possono rappresentare particelle di spin 1/2. Ma ciononostante non ho mai visto ricavare le equazioni del moto usando l'anticommutazione tra campi e derivate rispetto ai campi. Ma come mi sono accorto in seguito l'equazione del moto risulterebbe la stessa tenendo conto della natura Grassmaniana, dunque chissà... Magari i libri la sottintendono. L'anticommutazione l'ho vista usare esplicitamente solo nel path integral col metodo delle sorgenti, quando devono far agire sulle sorgenti le derivate rispetto alle sorgenti stesse per far calare i campi fermionici.
Ho trovato il problema del Peskin di cui parlano al link che hai riportato. Sembra anche interessante come esercizio.
Che i campi fermionici siano variabili di Grassmann sembra scontato. D'altronde devono per forza anticommutare, altrimenti non possono rappresentare particelle di spin 1/2. Ma ciononostante non ho mai visto ricavare le equazioni del moto usando l'anticommutazione tra campi e derivate rispetto ai campi. Ma come mi sono accorto in seguito l'equazione del moto risulterebbe la stessa tenendo conto della natura Grassmaniana, dunque chissà... Magari i libri la sottintendono. L'anticommutazione l'ho vista usare esplicitamente solo nel path integral col metodo delle sorgenti, quando devono far agire sulle sorgenti le derivate rispetto alle sorgenti stesse per far calare i campi fermionici.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo