Equazioni Cardinali della Dinamica (o Meccanica): dubbio
Ciao ragazzi e buon inizio di festività natalizie! 
Il mio libro riporta le equazioni in questa forma:
Ora, poiché a me questa forma risulta "brutta da leggere" (cioè mi crea rallentamenti in fase di calcolo e di memorizzazione) mi piacerebbe scriverla con la "sommatoria delle forze" e la "sommatoria dei momenti" al primo membro; però poiché ho un prodotto vettoriale (che non gode di alcune proprietà, come quella commutativa) non vorrei sbagliarmi col segno quando lo porto all'altro membro... quindi, la formula corretta è:
col "meno" o col "più"? Cioè in pratica, $- \vec v_Ω ∧ q_(text{tot})$ è uguale a $- (\vec v_Ω ∧ q_(text{tot}))$ o a $- (\vec v_Ω )∧ q_(text{tot})$ ?
Il mio libro riporta le equazioni in questa forma:
$dot \vec q_(text{tot})= \vec R^(ext)$
$dot \vec K_Ω = -\vec v_Ω ∧ q_(text{tot}) + \vec M_Ω^(ext)$
Ora, poiché a me questa forma risulta "brutta da leggere" (cioè mi crea rallentamenti in fase di calcolo e di memorizzazione) mi piacerebbe scriverla con la "sommatoria delle forze" e la "sommatoria dei momenti" al primo membro; però poiché ho un prodotto vettoriale (che non gode di alcune proprietà, come quella commutativa) non vorrei sbagliarmi col segno quando lo porto all'altro membro... quindi, la formula corretta è:
[quote]$\sum \vec f^ (ext)= dot \vec q_(text{tot})$
1) $\sum \vec M_Ω^(ext) = dot \vec K_Ω - \vec v_Ω ∧ q_(text{tot})$[/quote]
2) $\sum \vec M_Ω^(ext) = dot \vec K_Ω + \vec v_Ω ∧ q_(text{tot})$
col "meno" o col "più"? Cioè in pratica, $- \vec v_Ω ∧ q_(text{tot})$ è uguale a $- (\vec v_Ω ∧ q_(text{tot}))$ o a $- (\vec v_Ω )∧ q_(text{tot})$ ?
Risposte
Quando cambi membro a un monomio in una uguaglianza, l'algebra t idice che devi semplicemente cambiare il segno. Quindi va bene la 2) del riporto tra virgolette.
Se poi commuti i fattori di un prodotto vettoriale, il segno cambia ancora, ma questo dipende dal fatto che il prodotto vettore non è commutativo.
LA tua ultima domanda : " Cioè in pratica…." è perciò errata : nessuna delle due formule che proponi va bene .
Se poi commuti i fattori di un prodotto vettoriale, il segno cambia ancora, ma questo dipende dal fatto che il prodotto vettore non è commutativo.
LA tua ultima domanda : " Cioè in pratica…." è perciò errata : nessuna delle due formule che proponi va bene .
Quindi, questa:
è quella corretta?
PS. e se avessi un prodotto vettoriale con due vettori di segno negativo come si comporterebbero nel passaggio all'altro membro?
Ad esempio: $- \vec v_1 ∧ - \vec v_2 = \vec v_3$
2) $\sum \vec M_Ω^(ext) = dot \vec K_Ω + \vec v_Ω ∧ q_(text{tot})$
è quella corretta?
PS. e se avessi un prodotto vettoriale con due vettori di segno negativo come si comporterebbero nel passaggio all'altro membro?
Ad esempio: $- \vec v_1 ∧ - \vec v_2 = \vec v_3$
Prova , e fammi vedere se hai capito ! 
$- \vec v_1 ∧ - \vec v_2 = \vec v_3$
---->
$ 0 = \vec v_3 + \vec v_1 ∧ + \vec v_2$ ?
Anche nel prodotto vettoriale : "meno per meno = più " .
Se fai un disegnino, mettendo su un piano $vecv_1$ e $vecv_2$ , e ne fai il prodotto vettoriale, trovi un vettore perpendicolare al piano, che chiami ad esempio : $vecW_3$ .
Adesso, disegna sullo stesso piano i due vettori opposti $-vecv_1$ e $-vecv_2$ , e fanne il prodotto vettoriale: ottieni il tuo $vecv_3 $ . Che è lo stesso di $vecW_3$ .
Quindi : $vecv_3 = vecW_3 = vecv_1xxvecv_2$ .
Ma perché ti vuoi complicare la vita così ?
"navigatore":
Anche nel prodotto vettoriale : "meno per meno = più " .
Quindi : $vecv_3 = vecv_1xxvecv_2$ .
si ok, però io voglio capire in generale quando porto un prodotto vettoriale da una parte o dall'altra come si cambia il segno.. cioè tu hai moltiplicato "meno per meno" ottenendo "piu" su entrambi i vettori.. però non hai portato il prodotto vettoriale dall'altra parte.. io invece vorrei capire proprio il passaggio da una parte all'altra col prodotto vettoriale come funziona..
potresti farmi uno schemino con tutti i vari casi "segno" che posso incontrare utilizzando vettori semplici?
tipo
$+vecA ∧ + vecB = vecC$ ----> $ .................= 0$
$-vecA ∧ + vecB = vecC$ ----> $ .................= 0$
$+vecA ∧ - vecB = vecC$ ----> $ .................= 0$
$-vecA ∧ - vecB = vecC$ ----> $ .................= 0$ ecc ecc
(ovviamente portando il prodotto vettoriale dall'altra parte e non C.. quello lo faccio semplicemente cambiando il segno al vettore)
Grazie in anticipo
Ma perché ti vuoi complicare la vita così ?
perchè mi trovo spesso con questo problema e voglio capire come funziona
"mikelozzo":
potresti farmi uno schemino con tutti i vari casi "segno" che posso incontrare utilizzando vettori semplici?
tipo
$+vecA ∧ + vecB = vecC$ ----> $ .................= 0$
$-vecA ∧ + vecB = vecC$ ----> $ .................= 0$
$+vecA ∧ - vecB = vecC$ ----> $ .................= 0$
$-vecA ∧ - vecB = vecC$ ----> $ .................= 0$ ecc ecc
(ovviamente portando il prodotto vettoriale dall'altra parte e non C.. quello lo faccio semplicemente cambiando il segno al vettore)
Grazie in anticipo
Schemini non te ne faccio. Ti ripeto quello che ti ho detto : se in una equazione porti un monomio da un membro all'altro , devi solo cambiarne il segno . Basta, hai finito. Prendiamo per esempio il primo del tuo elenco :
$+vecA ∧ + vecB = vecC$ ----> $ .................= 0$
portando il prodotto vettoriale al secondo membro, diventa : $ 0 = vecC - (+vecA ∧ + vecB) $
e così per gli altri casi. Non c'è niente di difficile in questo.
Ok grazie!
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