Equazione schrodinger, psi(x),valor medio osservabile
Buongiorno!
VI prego di aiutarmi nel risolvere un po' di dubbi riguardo alle basi della MQ, che tanto mi stanno facendo tribolare in preparazione di un esame di chimica-fisica2.
PREMESSA: Consideriamo l'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo per una particella nella scatola monodimensionale con potenziale nullo :
Essa ha la forma:
$ -h^2/(2m)(d^2Psi(x))/(dx^2)=EPsi(x) $
Dove $ Psi(x) $ è la funzione d'onda "generale" del mio sistema che mi permette di ottenere tutte le informazioni possibili sul sistema stesso
Ora le autofunzioni $ psi(x) $ che ottengo risolvendo l'equazione di schrodinger e che mi descrivono tutti gli autostati possibili associati all'operatore hamiltoniano $ hat(H) $ sono:
$ psi(x)=psi_n(x)=(2/a)^(1/2)*sen(npix)/a $ con $ n=1,2,... $
DOMANDA 1)
Qual è la differenza $ Psi(x) $ (la funzione d'onda incognita che appare nell'equazione differenziale da risolvere) e $ psi_n(x) $ (le funzioni d'onda che sono soluzione della equazione differenziale) ?!?!
Uno dei postulati fondamentali della MQ dice che " conoscere la funzione d'onda $ Psi(x) $ è tutto quello che serve per descrivere in modo completo il mio sistema e le sue osservabili" ....ora nella particella nella scatola questa $ Psi(x) $ a quale espressione corrisponde??!! Fa riferimento al SET completo delle autofunzioni $ psi_n $ che ho ottenuto come soluzione??
DOMANDA 2)
Molte volte trovo sui libri la seguente affermazione" In meccanica quantistica si postula che tutti gli autovalori rappresentino tutti i possibili valori che l'osservabile A può assumere. Di conseguenza i suoi autovettori formano un insieme completo, nel senso che la funzione d'onda di un sistema fisico può essere sviluppata in autostati di qualsiasi variabile dinamica del sistema." cioè:
$ Psi(x)=sum_(n = 1\ldots) c_n psi_n $
Cosa significa ciò?! Che la funzione d'onda $ Psi(x) $ è in grado di descrivere qualunque dei possibili stati che il sistema può assumere?? a seconda dei valori assunti dai coefficienti??
Ma ciò significa che esistono altri stati che non sono quelli descritti dalle mie $ psi_n(x) $ ottenute risolvendo l'equazione di schrodinger?
DOMANDA 3)
Ultima cosa non mi è chiaro il discorso riguardante la MISURAZIONE di una osservabile il VALORE MEDIO predetto..
Il mio libro dice che:
" Se un sistema si trova in uno stato descritto dalla funzione d''onda normalizzata $ psi $, allora il valor medio dell'osservabile corrispondente ad $ hat(S) $ è dato dalla formula:
$ =intpsi^** hat(S)psi $
Ora quella $ psi $ che fa riferimento è la $ psi_n $ che corrisponde a UNO dei possibili autostati in cui si trova il mio sistema (ottenuti risolvendo l'equazione id schrodinger) oppure a questa fantomatica "psi" grande $ Psi(x)=sum_(n = 1\ldots) c_n psi_n $ ??
Io credo faccia riferimento a $ psi_n $ che descrive lo stato $ n-esimo $ nel quale il mio sistema si trova.
Inoltre quando faccio una misurazione mi apre di aver capito che:
1) se voglio misurare un'osservabile $ a $ e il sistema si trova in uno stato $ Psi=psi_n $ che è anche autostato per l'operatore $ hat(A) $ associato all'osservabile $ a $ che vado a misurare , allora il valore che vado a misurare è $ a_n $ (l'autovalore $ a_n $ ,associato alla corrispettiva autofunzione $ psi_n $ second "l'equazione agli autovalori")
Inoltre da quello che ho capito tale valore che misurerò coinciderà con il valore medio atteso e soprattutto se potessi effettuare più vole la misurazione e il sistema si trovasse sempre nello stesso stato $ psi_n $ otterrei sempre lo stesso valore $ a_n $ ....è giusto?
2) se invece il sistema si trova in uno stato $ psi $ che non è uno dei miei autostati per l'operatore associato alla variabile che voglio misurare ,allora se effettuassi più volte la misurazione non per forza otterrei lo stesso risultato e soprattutto non è detto che coinciderebbe con il valore atteso.
Per questo secondo punto non mi è chiaro come faccia il sistema a NON trovarsi in uno degli autostati $ psi_n $ trovati risolvendo l'equazione di schrodinger...
C'entra sempre l'espressione $ Psi(x)=sum_(n = 1\ldots) c_n psi_n $ ??
cioè non è detto che lo stato possibile del mio sistema $ psi $ corrisponda per forza a UNO degli stati descritti dalle mie autofunzioni $ psi_n(x) $ , ottenute risolvendo $ Hpsi=Epsi $ ??!!
Vi prego datemi una mano che se no impazzisco Xd
GRAZIE !!
VI prego di aiutarmi nel risolvere un po' di dubbi riguardo alle basi della MQ, che tanto mi stanno facendo tribolare in preparazione di un esame di chimica-fisica2.
PREMESSA: Consideriamo l'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo per una particella nella scatola monodimensionale con potenziale nullo :
Essa ha la forma:
$ -h^2/(2m)(d^2Psi(x))/(dx^2)=EPsi(x) $
Dove $ Psi(x) $ è la funzione d'onda "generale" del mio sistema che mi permette di ottenere tutte le informazioni possibili sul sistema stesso
Ora le autofunzioni $ psi(x) $ che ottengo risolvendo l'equazione di schrodinger e che mi descrivono tutti gli autostati possibili associati all'operatore hamiltoniano $ hat(H) $ sono:
$ psi(x)=psi_n(x)=(2/a)^(1/2)*sen(npix)/a $ con $ n=1,2,... $
DOMANDA 1)
Qual è la differenza $ Psi(x) $ (la funzione d'onda incognita che appare nell'equazione differenziale da risolvere) e $ psi_n(x) $ (le funzioni d'onda che sono soluzione della equazione differenziale) ?!?!
Uno dei postulati fondamentali della MQ dice che " conoscere la funzione d'onda $ Psi(x) $ è tutto quello che serve per descrivere in modo completo il mio sistema e le sue osservabili" ....ora nella particella nella scatola questa $ Psi(x) $ a quale espressione corrisponde??!! Fa riferimento al SET completo delle autofunzioni $ psi_n $ che ho ottenuto come soluzione??
DOMANDA 2)
Molte volte trovo sui libri la seguente affermazione" In meccanica quantistica si postula che tutti gli autovalori rappresentino tutti i possibili valori che l'osservabile A può assumere. Di conseguenza i suoi autovettori formano un insieme completo, nel senso che la funzione d'onda di un sistema fisico può essere sviluppata in autostati di qualsiasi variabile dinamica del sistema." cioè:
$ Psi(x)=sum_(n = 1\ldots) c_n psi_n $
Cosa significa ciò?! Che la funzione d'onda $ Psi(x) $ è in grado di descrivere qualunque dei possibili stati che il sistema può assumere?? a seconda dei valori assunti dai coefficienti??
Ma ciò significa che esistono altri stati che non sono quelli descritti dalle mie $ psi_n(x) $ ottenute risolvendo l'equazione di schrodinger?
DOMANDA 3)
Ultima cosa non mi è chiaro il discorso riguardante la MISURAZIONE di una osservabile il VALORE MEDIO predetto..
Il mio libro dice che:
" Se un sistema si trova in uno stato descritto dalla funzione d''onda normalizzata $ psi $, allora il valor medio dell'osservabile corrispondente ad $ hat(S) $ è dato dalla formula:
$
Ora quella $ psi $ che fa riferimento è la $ psi_n $ che corrisponde a UNO dei possibili autostati in cui si trova il mio sistema (ottenuti risolvendo l'equazione id schrodinger) oppure a questa fantomatica "psi" grande $ Psi(x)=sum_(n = 1\ldots) c_n psi_n $ ??
Io credo faccia riferimento a $ psi_n $ che descrive lo stato $ n-esimo $ nel quale il mio sistema si trova.
Inoltre quando faccio una misurazione mi apre di aver capito che:
1) se voglio misurare un'osservabile $ a $ e il sistema si trova in uno stato $ Psi=psi_n $ che è anche autostato per l'operatore $ hat(A) $ associato all'osservabile $ a $ che vado a misurare , allora il valore che vado a misurare è $ a_n $ (l'autovalore $ a_n $ ,associato alla corrispettiva autofunzione $ psi_n $ second "l'equazione agli autovalori")
Inoltre da quello che ho capito tale valore che misurerò coinciderà con il valore medio atteso e soprattutto se potessi effettuare più vole la misurazione e il sistema si trovasse sempre nello stesso stato $ psi_n $ otterrei sempre lo stesso valore $ a_n $ ....è giusto?
2) se invece il sistema si trova in uno stato $ psi $ che non è uno dei miei autostati per l'operatore associato alla variabile che voglio misurare ,allora se effettuassi più volte la misurazione non per forza otterrei lo stesso risultato e soprattutto non è detto che coinciderebbe con il valore atteso.
Per questo secondo punto non mi è chiaro come faccia il sistema a NON trovarsi in uno degli autostati $ psi_n $ trovati risolvendo l'equazione di schrodinger...
C'entra sempre l'espressione $ Psi(x)=sum_(n = 1\ldots) c_n psi_n $ ??
cioè non è detto che lo stato possibile del mio sistema $ psi $ corrisponda per forza a UNO degli stati descritti dalle mie autofunzioni $ psi_n(x) $ , ottenute risolvendo $ Hpsi=Epsi $ ??!!
Vi prego datemi una mano che se no impazzisco Xd
GRAZIE !!
Risposte
Ho visto che hai aperto diversi post molto simili sull'argomento, ma penso che difficilmente qualcuno ti risponderà. Non perché nessuno è in grado di rispondere, ma perché le tue domande riguardano i concetti base della Meccanica Quantistica, e non puoi di certo comprenderli mediante la sintesi che ti può fare qualcuno qui sul forum. Il mio consiglio è che tu ti studi[nota]Leggere è solo una parte dello studio, bisogna che ci rifletti un po' sopra, perché non sono concetti intuitivi.[/nota] i postulati della MQ da qualche libro di testo introduttivo; ce ne sono un'infinità, ad esempio:
[*:5nprmsud]N.Zettili: Quantum Mechanics: Concepts and Applications;[/*:m:5nprmsud]
[*:5nprmsud]R. Shankar: Principles of Quantum Mechanics;[/*:m:5nprmsud]
[*:5nprmsud]Paffuti, Konishi: Quantum Mechanics: a New Introduction.[/*:m:5nprmsud][/list:u:5nprmsud]
Ti lascio qualche pag. del primo[nota]Ovviamente Copyright © 2000-2015 by John Wiley & Sons, Inc., or related companies. All rights reserved. Per correttezza allego il link alla pagina della casa editrice. Non voglio in alcun modo sostenere la riproduzione illegale di materiale coperto da copyright.[/nota] riguardo ai postulati: https://www.dropbox.com/s/vfr2n9ji8lq3vhw/Zettili_Post.pdf?dl=0, credo che risponda alla maggior parte delle tue domande. Per approfondimenti puoi consultare gli altri testi in biblioteca. Se poi[nota]Dopo aver riflettuto bene sui postulati.[/nota] avrai delle domande più specifiche, qualcuno magari vorrà risponderti
Ciao
ho dato uno sguardo in questi giorni al file da te postato e l'unica cosa che non mi è molto chiara è quando parla del principio di sovrapposizione :
In pratica dice che lo stato del sistema in genere non è rappresentato da una singola funzione d'onda $ psi $ ma da una sovrapposizione di due o più funzioni d'onde $ psi_i,psi_j... $ ,cioè:
$ |psi> =sumc_i|psi_i> $
Ma non riesco a capire questo concetto...io ho avuto a che fare con il problema dell'oscillatore armonico per descrivere le vibrazioni molecolari...
Ora so che risolvendo l'equazione di schrodinger ottengo una funzione d'onda .o meglio una famiglia di funzioni d'onda (che differiscono per un "Numero quantico" ) del tipo:
$ psi_n(epsi)=H_n(epsi)*e^(-epsi^2/2 $
dove perciò variando $ n $ ottengo una serie di funzioni d'onda (che sono autofunzioni dell'operatore hamiltoniano) $ psi_1,psi_2,psi_3... $
Ora come applico il principio di sovrapposizione a questo problema?? cioè questo principio mi dice che esiste una funzione d'onda piu generale che è una combinazione lineare delle varie $ psi_1,psi_2,psi_3... $ ???
Aiutatemi solo per questo punto,perchè ho cercato dappertutto e non ho trovato nulla...e il tempo per studiare passa giorno dopo giorno. Grazie
In pratica dice che lo stato del sistema in genere non è rappresentato da una singola funzione d'onda $ psi $ ma da una sovrapposizione di due o più funzioni d'onde $ psi_i,psi_j... $ ,cioè:
$ |psi> =sumc_i|psi_i> $
Ma non riesco a capire questo concetto...io ho avuto a che fare con il problema dell'oscillatore armonico per descrivere le vibrazioni molecolari...
Ora so che risolvendo l'equazione di schrodinger ottengo una funzione d'onda .o meglio una famiglia di funzioni d'onda (che differiscono per un "Numero quantico" ) del tipo:
$ psi_n(epsi)=H_n(epsi)*e^(-epsi^2/2 $
dove perciò variando $ n $ ottengo una serie di funzioni d'onda (che sono autofunzioni dell'operatore hamiltoniano) $ psi_1,psi_2,psi_3... $
Ora come applico il principio di sovrapposizione a questo problema?? cioè questo principio mi dice che esiste una funzione d'onda piu generale che è una combinazione lineare delle varie $ psi_1,psi_2,psi_3... $ ???
Aiutatemi solo per questo punto,perchè ho cercato dappertutto e non ho trovato nulla...e il tempo per studiare passa giorno dopo giorno. Grazie
Tu confondi la funzione d'onda che è un elemento di uno spazio di Hilbert, con l'autostato dell'Hamiltoniana. Il fatto fondamentale è che gli autostati di un operatore associato ad un osservabile (ovvero un operatore hermitiano) in uno spazio di Hilbert \(\mathscr{H}\) formano un sistema di generatori ortonormale completo in \(\mathscr{H}\). Gli autostati di un operatore sono le funzioni d'onda associate ad un sistema con un valore definito di quell'operatore (l'autovalore).
Puoi fare un'analogia con gli spazi euclidei: tu hai un vettore (che in MQ chiamiamo vettore di stato o funzione d'onda), fissi una base nello spazio euclideo (gli autostati o autovettori di un operatore in MQ) e quindi puoi scrivere il vettore come combinazione lineare degli elementi della base, con opportuni coefficienti.
Ciò che fai di solito in MQ è quindi:
Puoi fare un'analogia con gli spazi euclidei: tu hai un vettore (che in MQ chiamiamo vettore di stato o funzione d'onda), fissi una base nello spazio euclideo (gli autostati o autovettori di un operatore in MQ) e quindi puoi scrivere il vettore come combinazione lineare degli elementi della base, con opportuni coefficienti.
Ciò che fai di solito in MQ è quindi:
[*:1o56beum] Cercare gli autostati di un operatore in \(\mathscr{H}\), ad esempio dell'operatore hamiltoniano che è l'operatore hermitiano associato all'osservabile energia totale del sistema, risolvendo l'equazione agli autovalori
\[
H\lvert n\rangle=n\lvert n\rangle
\]
\(\{\lvert n\rangle\}\) formano un insieme di generatori ortonormale completo per lo spazio di Hilbert \(\mathscr{H}\);[/*:m:1o56beum]
[*:1o56beum]scrivere la risoluzione dell'identità (grazie alla completezza)
\[
\mathbb{I}=\sum_{n}^\infty\lvert n\rangle\langle n\rvert
\] dove \(\mathbb{I}\) è l'operatore identità;[/*:m:1o56beum]
[*:1o56beum] prendere il vettore di stato \(\lvert\alpha\rangle\in\mathscr{H}\) che descrive il sistema e usare la risoluzione dell'identità per scrivere
\[
\lvert\alpha\rangle=\mathbb{I}\lvert\alpha\rangle=\sum_{n}^\infty\lvert n\rangle\langle n|\alpha\rangle=\gamma_n\lvert n\rangle,\quad \gamma_n=\langle n|\alpha\rangle
\][/*:m:1o56beum][/list:u:1o56beum]
ovvero il vettore di stato è una sovrapposizione di autostati dell'hamiltoniana; nulla ti impedisce di usare gli autostati di un altro operatore, ad esempio il momento, come si fa per il problema di particella libera, oppure hamiltoniana e momento angolare per un problema a simmetria centrale (come l'atomo di idrogeno).
Nota che in tutto ciò non abbiamo usato l'equazione di Schroedinger, che descrive la dinamica del sistema, ovvero come evolvono le funzioni d'onda.
mi sono accorto solo ora della risposta al mio dubbio e ringrazio per l'aiuto.
Quindi di fatto ,in generale , PRIMA si cercano le autofunzioni $ |n> $ risolvendo il problema agli autovalori rispetto a un operatore associato a una certa osservabile, ad esempio l'operatore hamiltoniano $ H $
Poi solo una volta determinati gli autovettori $ |n> $ cerco di formulare un'espressione valida per la mia funzione d'onda $ psi $ sfruttando una opportuna combinazione lineare dei miei autovettori $ |n_i> $ in cui i coefficienti della combinazione li trovo attraverso la "formula" $ c_i= $
Perciò trovo la funzione d'onda $ psi $ come combinazione degli autostati (autovettori) associati all'operatore da me inizialmente scelto.
C'è ancora una cosetta che mi turba:
$ psi $ la chiamo funzione d'onda e per definizione è ciò che mi permette di definire lo stato di un sistema
Ma Gli autovettori (autostati) $ |n_i> $ che ho trovato non sono anch'essi delle sorte di funzioni d'onda?? perchè ciascuno di loro definisce un PARTICOLARE STATO $ \|n_i> $ in cui il sistema assume il particolare valore $ n_i $ dell'osservabile $ N $ . QUindi anche loro sono delle funzioni che mi definiscono un particolare stato del sistema...perchè non chiamare anch'esse funzioni d'onda,proprio come $ psi $ ??
Detto in altri termini la funzione d'onda $ psi=c_\1|n_\1>+c_2|n_2> $ mi pare che definisca uno stato che è combinazione lineare di ALTRI STATI mentre $ |n_i $ uno stato "elementare" (senza ricorrere al concetto di C.L.) ...
Quindi io non riesco a vedere una differenza abnorme tra $ psi $ e l'autostato$ |n_i> $ ....cioè entrambi descrivono degli stati solo che $ psi $ è costruita come combinazione lineare (miscela,ibrido) di stati elementari che formano tra l'altro anche una base per lo spazio...
Se dico quindi che anche le autofunzioni prese singolarmente sono delle funzioni d'onda in quanto proprio come $ psi $ mi definiscono un certo stato del sistema dico una castroneria
Correggetemi pure se ho detto cavolate(come probabile che sia)!! Devo assolutamente capire almeno queste cose base
Grazie
Quindi di fatto ,in generale , PRIMA si cercano le autofunzioni $ |n> $ risolvendo il problema agli autovalori rispetto a un operatore associato a una certa osservabile, ad esempio l'operatore hamiltoniano $ H $
Poi solo una volta determinati gli autovettori $ |n> $ cerco di formulare un'espressione valida per la mia funzione d'onda $ psi $ sfruttando una opportuna combinazione lineare dei miei autovettori $ |n_i> $ in cui i coefficienti della combinazione li trovo attraverso la "formula" $ c_i=
Perciò trovo la funzione d'onda $ psi $ come combinazione degli autostati (autovettori) associati all'operatore da me inizialmente scelto.
C'è ancora una cosetta che mi turba:
$ psi $ la chiamo funzione d'onda e per definizione è ciò che mi permette di definire lo stato di un sistema
Ma Gli autovettori (autostati) $ |n_i> $ che ho trovato non sono anch'essi delle sorte di funzioni d'onda?? perchè ciascuno di loro definisce un PARTICOLARE STATO $ \|n_i> $ in cui il sistema assume il particolare valore $ n_i $ dell'osservabile $ N $ . QUindi anche loro sono delle funzioni che mi definiscono un particolare stato del sistema...perchè non chiamare anch'esse funzioni d'onda,proprio come $ psi $ ??
Detto in altri termini la funzione d'onda $ psi=c_\1|n_\1>+c_2|n_2> $ mi pare che definisca uno stato che è combinazione lineare di ALTRI STATI mentre $ |n_i $ uno stato "elementare" (senza ricorrere al concetto di C.L.) ...
Quindi io non riesco a vedere una differenza abnorme tra $ psi $ e l'autostato$ |n_i> $ ....cioè entrambi descrivono degli stati solo che $ psi $ è costruita come combinazione lineare (miscela,ibrido) di stati elementari che formano tra l'altro anche una base per lo spazio...
Se dico quindi che anche le autofunzioni prese singolarmente sono delle funzioni d'onda in quanto proprio come $ psi $ mi definiscono un certo stato del sistema dico una castroneria
Correggetemi pure se ho detto cavolate(come probabile che sia)!! Devo assolutamente capire almeno queste cose base
Grazie
Premessa: hai idea di cosa è uno spazio di Hilbert?
Il sistema quantistico (e.g.: un elettrone di conduzione in un metallo) è descritto da un vettore di stato, ovvero da un elemento in uno spazio di Hilbert; ovviamente questo vettore di stato preesiste a ogni manipolazione algebrica che tu puoi fare: se noi cerchiamo gli autostati di un operatore è per nostra comodità, per poter studiare il sistema, non perché il vettore di stato debba per forza essere scritto come combinazione lineare di autostati di un operatore.
Per essere precisi la funzione d'onda nello spazio della posizione associata ad un vettore di stato \(\lvert\alpha\rangle\) è la rappresentazione dello stato (un elemento astratto dello spazio di Hilbert associato al sistema) nella base della posizione, ovvero se
\[
X\lvert x'= x'\lvert x'\rangle
\]
è l'equazione agli autovalori dell'operatore posizione, definiamo la funzione d'onda associata a \(\lvert\alpha\rangle\) come
\[
\psi_\alpha(x'):= \langle x'|\alpha\rangle
\]
Ovviamente gli autostati di un operatore sono anch'essi vettori di stato nello spazio di Hilbert e come tali anche questi possono essere rappresentati nella base della posizione, in questo caso si chiamano autofunzioni dell'operatore; quindi se \(A\) è un operatore hermitiano
\[
A\lvert a'\rangle=a'\lvert a'\rangle
\]
allora \(\{\lvert a'\rangle\}\) formano una base per lo spazio di Hilbert e
\[
u_{a'}(x'):=\langle x'|a'\rangle
\]
è l'autofunzione associata all'autovalore \(a'\).
In un corso elementare di MQ probabilmente tutte queste distizioni non si fanno, anche perché si tende a seguire l'approccio storico e nella prima formulazione della MQ si parlava di funzioni d'onda \(\Psi(\vec{x},t)\) in analogia con l'Elettrodinamica Classica e nulla si sapeva di spazi di Hilbert, vettori di stato e operatori in MQ (penso che questa formulazione moderna sia dovuta a Von Neumann, ma non ci metterei la mano sul fuoco
). Quindi non mi stupisce che tu abbia una gran confusione in testa, dopotutto anche i primi fisici che hanno formulato la teoria erano parecchio confusi tanto che la nascita della MQ viene messa spesso in corrispondenza con la crisi della Fisica Classica. Ciò che mi stupisce è che molti docenti continuino a considerare la formulazione ondulatoria della MQ come un valido approccio didattico, ma questa è una mia opinione... 
Chiuso lo sfogo. Se desideri approfondire questi argomenti ti rinnovo il consiglio di affidarti a un buon libro
Ciao
Il sistema quantistico (e.g.: un elettrone di conduzione in un metallo) è descritto da un vettore di stato, ovvero da un elemento in uno spazio di Hilbert; ovviamente questo vettore di stato preesiste a ogni manipolazione algebrica che tu puoi fare: se noi cerchiamo gli autostati di un operatore è per nostra comodità, per poter studiare il sistema, non perché il vettore di stato debba per forza essere scritto come combinazione lineare di autostati di un operatore.
Per essere precisi la funzione d'onda nello spazio della posizione associata ad un vettore di stato \(\lvert\alpha\rangle\) è la rappresentazione dello stato (un elemento astratto dello spazio di Hilbert associato al sistema) nella base della posizione, ovvero se
\[
X\lvert x'= x'\lvert x'\rangle
\]
è l'equazione agli autovalori dell'operatore posizione, definiamo la funzione d'onda associata a \(\lvert\alpha\rangle\) come
\[
\psi_\alpha(x'):= \langle x'|\alpha\rangle
\]
Ovviamente gli autostati di un operatore sono anch'essi vettori di stato nello spazio di Hilbert e come tali anche questi possono essere rappresentati nella base della posizione, in questo caso si chiamano autofunzioni dell'operatore; quindi se \(A\) è un operatore hermitiano
\[
A\lvert a'\rangle=a'\lvert a'\rangle
\]
allora \(\{\lvert a'\rangle\}\) formano una base per lo spazio di Hilbert e
\[
u_{a'}(x'):=\langle x'|a'\rangle
\]
è l'autofunzione associata all'autovalore \(a'\).
In un corso elementare di MQ probabilmente tutte queste distizioni non si fanno, anche perché si tende a seguire l'approccio storico e nella prima formulazione della MQ si parlava di funzioni d'onda \(\Psi(\vec{x},t)\) in analogia con l'Elettrodinamica Classica e nulla si sapeva di spazi di Hilbert, vettori di stato e operatori in MQ (penso che questa formulazione moderna sia dovuta a Von Neumann, ma non ci metterei la mano sul fuoco
). Quindi non mi stupisce che tu abbia una gran confusione in testa, dopotutto anche i primi fisici che hanno formulato la teoria erano parecchio confusi tanto che la nascita della MQ viene messa spesso in corrispondenza con la crisi della Fisica Classica. Ciò che mi stupisce è che molti docenti continuino a considerare la formulazione ondulatoria della MQ come un valido approccio didattico, ma questa è una mia opinione... Chiuso lo sfogo. Se desideri approfondire questi argomenti ti rinnovo il consiglio di affidarti a un buon libro
Ciao
grazie per la risposta
TI spiego la mia situazione disperata
Il fatto è che io di meccanica quantistica ho fatto giusto un corso base legato a chimica-fisica...in cui abbiamo fatto all'inizio la teoria dei gruppi applicabile alla m.q poi i vari postulati e infine abbiamo visto la risoluzione (a volte parziale ) di problemi come la particella in una scatola monodimensionale,bi e tri....poi abbiamo fatto l'oscillatore armonico,il rotatore rigido e l'atomo di idrogeno. Fatto ciò abbiamo visto alcuni metodi approssimati di risoluzione dell'equazione di schrodinger per problemi piu complessi (e non risolvibili analiticamente)
Solo che facendo un qualcosa di molto base non avevo afferrato molte cose e cosi ho cercato qualcosa su interne , trovando lezioni di fisica quantistica con concetti molto complessi che non avevo affrontato a lezione ...e alla fine mi sono incasinato ancora di piu le idee
A sentire te e anche leggendo il zettili mi pare che i problemi di m.Q vengano risolti in modo completamente diverso rispetto al mio libro di chimica-fisica
Ad esempio il mio libro non parla della sovrapposizione degli stati e inoltre tutte le risoluzioni che fa per i problemi citati in precedenza non le fa cercando di risolvere "il problema agli autovalori" e dunque vedendo il problema come quello di una sorta di diagonalizzazione dell'operatore considerato...ma parte dall'espressione algebrica dell'equazione di schrodinger stazionaria e attraverso passaggi matematici piu o meno complessi (come l'uso dei polinomi di hermite per l'oscillatore armonico) giunge a trovare un'espressione parametrizzata (in funzione del numero quantico n,ad esempio) delle autofunzioni e degli autovalori del problema.
Però non ho mai visto operazioni con le matrici ,diagonalizzazioni o cose affini per la risoluzione dei problemi...ad esempio in alcuni esercizi base del zettili ricava gli autovettori e autovalori a partire da una matrice rappresentativa di un opeatore diagonalizzandola (mentre noi l'operatore non l'abbiamo mai rappresentato in forma matriciale ma sempre in forma di "espressione algebrica")
Volevo fare una domando in merito a un ESERCIZIO BASE che ho visto in uno dei primi capitoli del zettili
Sia il mio sistema nello stato:
$ |psi_0> =(sqrt2|psi_1>+sqrt3|psi_2>+psi_3+psi_4)*1/sqrt7 $
e siano $ |psi_n> $ gli autovettori associati all'hamiltoniano del mio sistema tali che: $ H|psi_n> =n^2epsi_0|psi_n> $
La domanda che mi turba un po è:
1)Se si dovesse fare una misurazione dell'energia $ E $ di tale sistema quali valori si otterranno e con quale probabilità inoltre qual è il valor medio ??
Ecco volevo avere qualche commento riguardo di ciò...
TI dico quello che ho capito io e vediamo se ho capito giusto :
In pratica il mio sistema si trova nello stato $ |psi_0> $ che è una sovrapposizione di altri stati che in particolare sono autostati dell'operatore hamiltoniano....Dunque quando faccio una misurazione vige il principio del collasso della funzione d'onda che mi dice che la mia funzione d'onda che è combinazione di altri stati collassa su uno di questi stati $ |psi_i> $ secondo una certa probabilità data da $ c_i^2 $ dove $ c_i $ è il coefficiente della combinazione lineare associato all'autostato $ |psi_i> $ .
QUINDI se il mio sistema è descritto da una funzione d'onda $ |psi_0> $ che è sovrapposizione di 4 autovettori che sono per di più degli autostati per l'operatore hamiltoniano $ H $ , quando effettuo una misurazione dell'energia $ E $ del sistema gli unici valori che posso trovare sono 4 ??
Il ragionamento che ho fatto è questo: dal momento che la funzione d'onda può collassare su 4 diversi autovettori $ |psi_i> $e dato che sono tutti anche autostati per $ H $ avrò sempre 4 possibili valori reali dell'energia coincidenti ciascuno con l'autovalore $ e_i $ associato all'autostato $ psi_i $ su cui la funzione d'onda è collassata ...è corretto??
2)inoltre ho visto che calcola anche un energia media facendo la somma dei 4 valori di energia possibile ciascuno moltiplicato per la probabilità (data dal prodotto scalare tra la funzione d'onda e l'autostato $ psi_i $ ) che la funzione d'onda ha di collassare su tale autostato...tale energia che chiama media sarebbe il valor medio o valo atteso giusto?
E quindi non deduco da tale esempio che il valor medio di una quantità non per forza coincide con uno dei possibili valori che effettivamente si misureranno in seguito alla funzione d''onda...cioè puo essere un valore che non è un autovalore per l'operatore hamiltoniano e che dunque non misurerei mai realmente in seguito a un esperimento....(un po' come la media dei voti scolastici..il risultato che mi viene non è detto che sia uno dei possibili voti effettivi che ho preso)
3)infine non c'è speranza che il quando faccio la mia misurazione dell'energia il sistema resti nello stato iniziale $ psi_o $ , con $ |psi_0> =(sqrt2|psi_1>+sqrt3|psi_2>+psi_3+psi_4)*1/sqrt7 $ e che dunque mi fornisca come valore di energia $ e_0 $ coincidente con l'autovalore di $ psi_o $ ?? questo non è possibile mai? o solo in questo caso in quanto suppongo(non ne sono sicuro) che $ psi_0 $ non sia un autovettore per l'operatore $ H $
è corretta tale mia interpretazione e piu in generale il ragionamento fatto in questo esempio? o ho completamente sbagliato tutto??
Se avete pazienza di leggere tutto...Grazie
TI spiego la mia situazione disperata
Il fatto è che io di meccanica quantistica ho fatto giusto un corso base legato a chimica-fisica...in cui abbiamo fatto all'inizio la teoria dei gruppi applicabile alla m.q poi i vari postulati e infine abbiamo visto la risoluzione (a volte parziale ) di problemi come la particella in una scatola monodimensionale,bi e tri....poi abbiamo fatto l'oscillatore armonico,il rotatore rigido e l'atomo di idrogeno. Fatto ciò abbiamo visto alcuni metodi approssimati di risoluzione dell'equazione di schrodinger per problemi piu complessi (e non risolvibili analiticamente)
Solo che facendo un qualcosa di molto base non avevo afferrato molte cose e cosi ho cercato qualcosa su interne , trovando lezioni di fisica quantistica con concetti molto complessi che non avevo affrontato a lezione ...e alla fine mi sono incasinato ancora di piu le idee
A sentire te e anche leggendo il zettili mi pare che i problemi di m.Q vengano risolti in modo completamente diverso rispetto al mio libro di chimica-fisica
Ad esempio il mio libro non parla della sovrapposizione degli stati e inoltre tutte le risoluzioni che fa per i problemi citati in precedenza non le fa cercando di risolvere "il problema agli autovalori" e dunque vedendo il problema come quello di una sorta di diagonalizzazione dell'operatore considerato...ma parte dall'espressione algebrica dell'equazione di schrodinger stazionaria e attraverso passaggi matematici piu o meno complessi (come l'uso dei polinomi di hermite per l'oscillatore armonico) giunge a trovare un'espressione parametrizzata (in funzione del numero quantico n,ad esempio) delle autofunzioni e degli autovalori del problema.
Però non ho mai visto operazioni con le matrici ,diagonalizzazioni o cose affini per la risoluzione dei problemi...ad esempio in alcuni esercizi base del zettili ricava gli autovettori e autovalori a partire da una matrice rappresentativa di un opeatore diagonalizzandola (mentre noi l'operatore non l'abbiamo mai rappresentato in forma matriciale ma sempre in forma di "espressione algebrica")
Volevo fare una domando in merito a un ESERCIZIO BASE che ho visto in uno dei primi capitoli del zettili
Sia il mio sistema nello stato:
$ |psi_0> =(sqrt2|psi_1>+sqrt3|psi_2>+psi_3+psi_4)*1/sqrt7 $
e siano $ |psi_n> $ gli autovettori associati all'hamiltoniano del mio sistema tali che: $ H|psi_n> =n^2epsi_0|psi_n> $
La domanda che mi turba un po è:
1)Se si dovesse fare una misurazione dell'energia $ E $ di tale sistema quali valori si otterranno e con quale probabilità inoltre qual è il valor medio ??
Ecco volevo avere qualche commento riguardo di ciò
... TI dico quello che ho capito io e vediamo se ho capito giusto :
In pratica il mio sistema si trova nello stato $ |psi_0> $ che è una sovrapposizione di altri stati che in particolare sono autostati dell'operatore hamiltoniano....Dunque quando faccio una misurazione vige il principio del collasso della funzione d'onda che mi dice che la mia funzione d'onda che è combinazione di altri stati collassa su uno di questi stati $ |psi_i> $ secondo una certa probabilità data da $ c_i^2 $ dove $ c_i $ è il coefficiente della combinazione lineare associato all'autostato $ |psi_i> $ .
QUINDI se il mio sistema è descritto da una funzione d'onda $ |psi_0> $ che è sovrapposizione di 4 autovettori che sono per di più degli autostati per l'operatore hamiltoniano $ H $ , quando effettuo una misurazione dell'energia $ E $ del sistema gli unici valori che posso trovare sono 4 ??
Il ragionamento che ho fatto è questo: dal momento che la funzione d'onda può collassare su 4 diversi autovettori $ |psi_i> $e dato che sono tutti anche autostati per $ H $ avrò sempre 4 possibili valori reali dell'energia coincidenti ciascuno con l'autovalore $ e_i $ associato all'autostato $ psi_i $ su cui la funzione d'onda è collassata ...è corretto??
2)inoltre ho visto che calcola anche un energia media facendo la somma dei 4 valori di energia possibile ciascuno moltiplicato per la probabilità (data dal prodotto scalare tra la funzione d'onda e l'autostato $ psi_i $ ) che la funzione d'onda ha di collassare su tale autostato...tale energia che chiama media sarebbe il valor medio o valo atteso giusto?
E quindi non deduco da tale esempio che il valor medio di una quantità non per forza coincide con uno dei possibili valori che effettivamente si misureranno in seguito alla funzione d''onda...cioè puo essere un valore che non è un autovalore per l'operatore hamiltoniano e che dunque non misurerei mai realmente in seguito a un esperimento....(un po' come la media dei voti scolastici..il risultato che mi viene non è detto che sia uno dei possibili voti effettivi che ho preso)
3)infine non c'è speranza che il quando faccio la mia misurazione dell'energia il sistema resti nello stato iniziale $ psi_o $ , con $ |psi_0> =(sqrt2|psi_1>+sqrt3|psi_2>+psi_3+psi_4)*1/sqrt7 $ e che dunque mi fornisca come valore di energia $ e_0 $ coincidente con l'autovalore di $ psi_o $ ?? questo non è possibile mai? o solo in questo caso in quanto suppongo(non ne sono sicuro) che $ psi_0 $ non sia un autovettore per l'operatore $ H $
è corretta tale mia interpretazione e piu in generale il ragionamento fatto in questo esempio? o ho completamente sbagliato tutto??
Se avete pazienza di leggere tutto...Grazie
$psi_0$ non è uno stato stazionario. Probabilmente sei stato indotto in errore dalla seguente scrittura:
$Hpsi_n=n^2epsi_0psi_n$
che, data la tua inesperienza, hai voluto interpretare anche per $n=0$. Basti pensare che uno stato stazionario di energia $E$ non può essere espresso come sovrapposizione di stati stazionari di energie diverse da $E$:
$psi_0=a_1psi_1+a_2psi_2+a_3psi_3+a_4psi_4$
Fisicamente non avrebbe alcun senso. Inoltre, sostituendo $n=0$, si sarebbe ottenuto:
$Hpsi_0=0$
altra scrittura che avrebbe dovuto allarmarti.
P.S.
Se posso darti un consiglio, cercherei di seguire un buon manuale di chimica fisica. Ne ricordo uno piuttosto voluminoso e ben fatto. Tra l'altro, nella peggiore delle ipotesi, credo che tu debba limitarti alla spettroscopia atomica e molecolare, ai calori specifici dei gas e dei solidi e alla termodinamica statistica per comprendere meglio gli equilibri chimici. Eviterei di concentrarmi troppo sull'aspetto matematico della teoria. Questo non toglie che dovresti avere almeno le basi per risolvere l'esercizio da te proposto. Insomma, concentrati sull'aspetto fisico della teoria, per te la cosa più importante.
$Hpsi_n=n^2epsi_0psi_n$
che, data la tua inesperienza, hai voluto interpretare anche per $n=0$. Basti pensare che uno stato stazionario di energia $E$ non può essere espresso come sovrapposizione di stati stazionari di energie diverse da $E$:
$psi_0=a_1psi_1+a_2psi_2+a_3psi_3+a_4psi_4$
Fisicamente non avrebbe alcun senso. Inoltre, sostituendo $n=0$, si sarebbe ottenuto:
$Hpsi_0=0$
altra scrittura che avrebbe dovuto allarmarti.
P.S.
Se posso darti un consiglio, cercherei di seguire un buon manuale di chimica fisica. Ne ricordo uno piuttosto voluminoso e ben fatto. Tra l'altro, nella peggiore delle ipotesi, credo che tu debba limitarti alla spettroscopia atomica e molecolare, ai calori specifici dei gas e dei solidi e alla termodinamica statistica per comprendere meglio gli equilibri chimici. Eviterei di concentrarmi troppo sull'aspetto matematico della teoria. Questo non toglie che dovresti avere almeno le basi per risolvere l'esercizio da te proposto. Insomma, concentrati sull'aspetto fisico della teoria, per te la cosa più importante.
"xshadow":
Sia il mio sistema nello stato:
$ |psi_0> =(sqrt2|psi_1>+sqrt3|psi_2>+psi_3+psi_4)*1/sqrt7 $
e siano $ |psi_n> $ gli autovettori associati all'hamiltoniano del mio sistema tali che: $ H|psi_n> =n^2epsi_0|psi_n> $
In realtà il tuo sistema è nello stato
\[
\lvert\psi_0\rangle=\frac{1}{\sqrt{7}}\cdot\left(\sqrt{2}\lvert\phi_1\rangle+\sqrt{3}\lvert\phi_2\rangle+\lvert\phi_3\rangle+\lvert\phi_4\rangle\right)
\]
e l'equazione agli autovalori dell'hamiltoniana è
\[
H\lvert\phi_n\rangle=n^2\mathcal{E}_0\lvert\phi_n\rangle
\]
\(\phi\) e \(\psi\) sono lettere diverse...
"friction":
[quote="xshadow"]
Sia il mio sistema nello stato:
$ |psi_0> =(sqrt2|psi_1>+sqrt3|psi_2>+psi_3+psi_4)*1/sqrt7 $
e siano $ |psi_n> $ gli autovettori associati all'hamiltoniano del mio sistema tali che: $ H|psi_n> =n^2epsi_0|psi_n> $
In realtà il tuo sistema è nello stato
\[
\lvert\psi_0\rangle=\frac{1}{\sqrt{7}}\cdot\left(\sqrt{2}\lvert\phi_1\rangle+\sqrt{3}\lvert\phi_2\rangle+\lvert\phi_3\rangle+\lvert\phi_4\rangle\right)
\]
e l'equazione agli autovalori dell'hamiltoniana è
\[
H\lvert\phi_n\rangle=n^2\mathcal{E}_0\lvert\phi_n\rangle
\]
\(\phi\) e \(\psi\) sono lettere diverse...
[/quote]grazie
"gordnbrn":
$psi_0$ non è uno stato stazionario. Probabilmente sei stato indotto in errore dalla seguente scrittura:
$Hpsi_n=n^2epsi_0psi_n$
che, data la tua inesperienza, hai voluto interpretare anche per $n=0$. Basti pensare che uno stato stazionario di energia $E$ non può essere espresso come sovrapposizione di stati stazionari di energie diverse da $E$:
$psi_0=a_1psi_1+a_2psi_2+a_3psi_3+a_4psi_4$
Fisicamente non avrebbe alcun senso. Inoltre, sostituendo $n=0$, si sarebbe ottenuto:
$Hpsi_0=0$
altra scrittura che avrebbe dovuto allarmarti.
P.S.
Se posso darti un consiglio, cercherei di seguire un buon manuale di chimica fisica. Ne ricordo uno piuttosto voluminoso e ben fatto. Tra l'altro, nella peggiore delle ipotesi, credo che tu debba limitarti alla spettroscopia atomica e molecolare, ai calori specifici dei gas e dei solidi e alla termodinamica statistica per comprendere meglio gli equilibri chimici. Eviterei di concentrarmi troppo sull'aspetto matematico della teoria. Questo non toglie che dovresti avere almeno le basi per risolvere l'esercizio da te proposto. Insomma, concentrati sull'aspetto fisico della teoria, per te la cosa più importante.
Si certo...solo che guardando su internet su testi di fisica ho trovato una teoria,un approccio completamente diversa della m.q rispetto a quello ,limitato al mio problema, che viene trattato dal libro di chimica-fisica e perciò volevo capirci un po' di piu,avere una infarinatura generale.
Piu che altro guardando il zettili di fisica quantistica mi sono sorti ancora piu dubbi di quanti non ne avevo basandomi solo sul mio libro(mc quarrie)...sul zettili c'è quasi sempre la tendenza di esprimete la funzione d'onda come c.l degli autostati dell'operatore hermitiano considerato...e poi se si fa una misura avviene il collasso della funzione d'onda che viene proiettata su una degli autostati secondo una certa probabilità.
Ecco ho cercato di applicare questi concetti in chimica-fisica ad esempio per gli orbitali molecolari ...
In genere l'orbitale molecolare viene scritto come combinazione lineare di funzioni d'onda note,che sono gli orbitali atomici sfruttando cosi l'"approssimazione orbitalica"...
Ad esempio l'orbitale molecolare di legame $ sigma $ definito dalla funzione d'onda $ psi_(H_2) $ per la molecola di idrogeno $ H_2 $ ,che si forma dalla sovrapposizione degli orbitali atomici "s" dei singoli atomi isolati è scritto come:
$ psi_(H_2)=c_1psi_(H_a) + c_2psi_(H_b) $
dove $ psi_(H_a),psi_(H_b )$ sono le funzioni d'onda che descrivono gli orbitali s dei due atomi di idrogeno isolati.
Ora come mai in questo tipo di problema non avviene il collasso della funzione d'onda $ psi_(H_2 $ in uno dei suo vettori base quando si effettua una misurazione?...
CIoè se effettua una misurazione ho sempre a che fare con un sistema descritto dall'orbitale molecolare e non da una delle due funzioni d'onda costituenti...non avviene percio il collasso della funzione d'onda..ma non ho ben capito perchè in questo caso non avviene..
"xshadow":
In genere l'orbitale molecolare viene scritto come combinazione lineare di funzioni d'onda note,che sono gli orbitali atomici sfruttando cosi l'"approssimazione orbitalica"...
La combinazione lineare che si utilizza nell'ambito di questa teoria non deriva dal principio di sovrapposizione alla base della meccanica quantistica. Si tratta di un procedimento matematico tramite il quale determinare una buona approssimazione dell'orbitale molecolare incognito. Bene, questa buona approssimazione viene cercata come combinazione lineare di orbitali atomici con opportuni coefficienti, ma non ha alcun senso interpretarla in base al principio di sovrapposizione.
ah ecco ....infatti mi pareva strano.
Quindi il principio di sovrapposizione e il collasso della funzione d'onda non hanno senso per gli orbitali molecolari scritti con LCAO...
grazie!
Quindi il principio di sovrapposizione e il collasso della funzione d'onda non hanno senso per gli orbitali molecolari scritti con LCAO...
grazie!
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