EQUAZIONE ELLISSOIDE D'INERZIA
Ciao a tutti 
Ho un problema con un esercizio riguardo ai momenti d'inerzia, spero possiate essermi di aiuto...
E' dato un triangolo rettangolo di massa totale M, poggiato su un sistema di assi cartesiani XY (con origine O nel vertice dell'angolo retto), la cui altezza è pari a L e la base a 2L. Il triangolo viene diviso da un segmento uscente da O e che incontra l'ipotenusa in un punto Q, in modo da formare due triangoli isosceli, uno quindi con base L poggiata sull'asse Y e uno con base 2L poggiata sull'asse X. Il primo ha densità rho, il secondo ha densità 2rho (scusate se non uso i simboli, ma sono nuova).
Viene richiesto di calcolare l'equazione dell'ellissoide d'inerzia in Q. Q si trova ad un'altezza pari a L/2 dall'asse X.
Al momento sono riuscita solo a trovare la posizione del centro di massa della figura, ma non so veramente come andare avanti.
Come posso procedere per risolvere?
Grazie mille!!)
Ho un problema con un esercizio riguardo ai momenti d'inerzia, spero possiate essermi di aiuto...
E' dato un triangolo rettangolo di massa totale M, poggiato su un sistema di assi cartesiani XY (con origine O nel vertice dell'angolo retto), la cui altezza è pari a L e la base a 2L. Il triangolo viene diviso da un segmento uscente da O e che incontra l'ipotenusa in un punto Q, in modo da formare due triangoli isosceli, uno quindi con base L poggiata sull'asse Y e uno con base 2L poggiata sull'asse X. Il primo ha densità rho, il secondo ha densità 2rho (scusate se non uso i simboli, ma sono nuova).
Viene richiesto di calcolare l'equazione dell'ellissoide d'inerzia in Q. Q si trova ad un'altezza pari a L/2 dall'asse X.
Al momento sono riuscita solo a trovare la posizione del centro di massa della figura, ma non so veramente come andare avanti.
Come posso procedere per risolvere?
Grazie mille!!
)
Risposte
Non riesco a capire come sia disposto questo triangolo, posta una immagine
Dovresti scrivere un tuo tentativo di soluzione, seconde le regole. Comunque...
Cominciamo con ordine, altrimenti non ci capiamo. E capisce pure Vulplasir.
Il sistema è piano. L'angolo retto è in $O$. Chiamo $A$ il vertice sull'asse $Y$ , di coordinate $A(0,L)$ , chiamo $B$ il vertice sull'asse $X$ , di coordinate $B(2L,0)$ . Il punto $Q$ ha coordinate $Q(L,L/2)$ . I due triangoli isosceli hanno il lato $OQ$ in comune; il triangolo isoscele $OQA$ , ha area $A_1 = 1/2L^2$ , e massa $M_1 = \rho/2L^2$ ; il triangolo isoscele $OQB $ ha area uguale $A_2 = 1/2*2L*L/2 = 1/2L^2$ , ma ha massa doppia perchè la densita è doppia , cioè $M_2 = \rhoL^2$ .
Hai detto che hai trovato le coordinate del CM : le ho trovate anch'io , spero siano giuste :
$X_G = 7/9L $ ; $Y_G = 5/(18)L$ .
Naturalmente $G$ si trova sulla congiungente i due centri di massa ( e di figura) $C_1$ del triangolo $OQA$ e $C_2$ del triangolo $OQB$.
Adesso però devi dire qualcosa tu, altrimenti il problema te lo risolvo io, e non vale!
Io rifletterei su questi risultati della geometria delle masse :
1) il sistema è piano, quindi qualunque retta perpendicolare al piano è asse principale di inerzia per il punto in cui interseca il piano. Cioè , l'asse perpendicolare al piano nel punto $Q$ è un asse principale di inerzia. Te ne servono altri due , nel piano $XY$ , passanti per $Q$ .
2) c'è un bel teorema che dice : condizione necessaria e sufficiente perchè una retta sia asse principale di inerzia per tutti i suoi punti è che la retta passi per il baricentro. Quindi la retta che passa per $G$ e $Q$ è un asse principale per $Q$ , nel piano di figura . Il terzo asse è ovvio .
3) L'ellissoide di inerzia interseca il piano in una ellisse di inerzia . Io traccerei per $Q$ due assi $x$ e $y$ , paralleli a quelli dati $X$ e $Y$ , e mi calcolerei i momenti di inerzia $I_x$ e $I_y$ della distribuzione di massa data, prima dei due triangoli isosceli come figure e poi come masse, tenendo conto della differente densità superficiale. Noti che siano tali momenti di inerzia di massa, l'equazione dell'ellisse di inerzia detta è :
$I_x*x^2 + I_y*y^2 - 2 I_(xy) *xy = 1 $
questa ellisse non è riferita agli assi principali per Q , poiché compare il momento centrifugo $I_(xy)$ , ma d'altronde il problema non dice che occorre determinare l'equazione riferita agli assi principali . Occorre quindi ancora determinare il momento centrifugo. Mi ricordo che c'è una relazione tra l'angolo $\alpha$ che un asse $x$ forma con un asse principale, che è la seguente :
$tg(2\alpha) = - (2I_(xy) )/ (I_x - I_y) $
ma non ne sono molto sicuro, per cui dovresti controllare, oppure chiediamo a Vulplasir di controllare. Questa relazione , essendo noto l'angolo $\alpha$ come detto prima, consente di determinare il valore del momento centrifugo che occorre .
Una volta scritta equazione dell'ellisse di inerzia , per scrivere l'equazione dell'ellissoide basta aggiungere al primo membro il termine : $ I_zz^2 $ , in cui il momento d'inerzia $I_z$ è uguale alla somma $I_x+I_y$ . Quindi l'ellissoide ha equazione :
$I_x*x^2 + I_y*y^2 + I_z*z^2 - 2 I_(xy) *xy = 1 $
Ma chiedo comunque a Vulplasir, o altri, di verificare il tutto.
se hai difficolta coi momenti di inerzia dei triangoli, rispetto ad assi passanti per un vertice, guardaquesta dispensa
Cominciamo con ordine, altrimenti non ci capiamo. E capisce pure Vulplasir.
Il sistema è piano. L'angolo retto è in $O$. Chiamo $A$ il vertice sull'asse $Y$ , di coordinate $A(0,L)$ , chiamo $B$ il vertice sull'asse $X$ , di coordinate $B(2L,0)$ . Il punto $Q$ ha coordinate $Q(L,L/2)$ . I due triangoli isosceli hanno il lato $OQ$ in comune; il triangolo isoscele $OQA$ , ha area $A_1 = 1/2L^2$ , e massa $M_1 = \rho/2L^2$ ; il triangolo isoscele $OQB $ ha area uguale $A_2 = 1/2*2L*L/2 = 1/2L^2$ , ma ha massa doppia perchè la densita è doppia , cioè $M_2 = \rhoL^2$ .
Hai detto che hai trovato le coordinate del CM : le ho trovate anch'io , spero siano giuste :
$X_G = 7/9L $ ; $Y_G = 5/(18)L$ .
Naturalmente $G$ si trova sulla congiungente i due centri di massa ( e di figura) $C_1$ del triangolo $OQA$ e $C_2$ del triangolo $OQB$.
Adesso però devi dire qualcosa tu, altrimenti il problema te lo risolvo io, e non vale!
Io rifletterei su questi risultati della geometria delle masse :
1) il sistema è piano, quindi qualunque retta perpendicolare al piano è asse principale di inerzia per il punto in cui interseca il piano. Cioè , l'asse perpendicolare al piano nel punto $Q$ è un asse principale di inerzia. Te ne servono altri due , nel piano $XY$ , passanti per $Q$ .
2) c'è un bel teorema che dice : condizione necessaria e sufficiente perchè una retta sia asse principale di inerzia per tutti i suoi punti è che la retta passi per il baricentro. Quindi la retta che passa per $G$ e $Q$ è un asse principale per $Q$ , nel piano di figura . Il terzo asse è ovvio .
3) L'ellissoide di inerzia interseca il piano in una ellisse di inerzia . Io traccerei per $Q$ due assi $x$ e $y$ , paralleli a quelli dati $X$ e $Y$ , e mi calcolerei i momenti di inerzia $I_x$ e $I_y$ della distribuzione di massa data, prima dei due triangoli isosceli come figure e poi come masse, tenendo conto della differente densità superficiale. Noti che siano tali momenti di inerzia di massa, l'equazione dell'ellisse di inerzia detta è :
$I_x*x^2 + I_y*y^2 - 2 I_(xy) *xy = 1 $
questa ellisse non è riferita agli assi principali per Q , poiché compare il momento centrifugo $I_(xy)$ , ma d'altronde il problema non dice che occorre determinare l'equazione riferita agli assi principali . Occorre quindi ancora determinare il momento centrifugo. Mi ricordo che c'è una relazione tra l'angolo $\alpha$ che un asse $x$ forma con un asse principale, che è la seguente :
$tg(2\alpha) = - (2I_(xy) )/ (I_x - I_y) $
ma non ne sono molto sicuro, per cui dovresti controllare, oppure chiediamo a Vulplasir di controllare. Questa relazione , essendo noto l'angolo $\alpha$ come detto prima, consente di determinare il valore del momento centrifugo che occorre .
Una volta scritta equazione dell'ellisse di inerzia , per scrivere l'equazione dell'ellissoide basta aggiungere al primo membro il termine : $ I_zz^2 $ , in cui il momento d'inerzia $I_z$ è uguale alla somma $I_x+I_y$ . Quindi l'ellissoide ha equazione :
$I_x*x^2 + I_y*y^2 + I_z*z^2 - 2 I_(xy) *xy = 1 $
Ma chiedo comunque a Vulplasir, o altri, di verificare il tutto.
se hai difficolta coi momenti di inerzia dei triangoli, rispetto ad assi passanti per un vertice, guardaquesta dispensa
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