Equazione differenziale, semplice semplice..non per me però!

[Ame1992]

Un oggetto di massa m è sparato con velocità iniziale V cos45°, ed è soggetto ad una forza di attrivo viscoso F=-BV, calcolare la legge oraria del corpo. L'equazione del moto mi diventa:
$ rarr $ $ mddot{y}=-BV-mg $ $ rarr $ $ ddot{y}=-(B/m)V-g $

come si risolve? potreste darmi tutti i passaggi? Io riesco a risolverla senza quella "g" antipatica...
Grazie!!

[Sk_Anonymous]

Intanto, ho l'impressione che si stia lavorando su un piano:

$[vecF=mveca] rarr \{(mddotx=-Bdotx),(mddoty=-Bdoty-mg):} rarr \{(ddotx+B/mdotx=0),(ddoty+B/mdoty=-g):}$

In ogni modo, un integrale particolare della seconda ODE non omogenea risulta essere $[y=-(mg)/Bt]$

[Ame1992]

Scusa, non ho capito...

[Sk_Anonymous]

Sai risolvere le equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti? Quando si tratta di un'equazione non omogenea, all'integrale generale dell'omogenea associata devi sommare un integrale particolare della non omogenea.

[Ame1992]

ehm, no. Sennò non penso che avrei posto il problema..

[Sk_Anonymous]

"Ame1992":
Io riesco a risolverla senza quella "g" antipatica...

Ho capito... Ma qualcosa devi saperne, altrimenti non si spiega la frase che ho riportato. In ogni modo:

$\{(x(t)=c_1e^(-B/mt)+c_2),(y(t)=c_3e^(-B/mt)+c_4-(mg)/Bt):}$

Le costanti arbitrarie vanno determinate imponendo le condizioni iniziali:

$\{(dotx(0)=sqrt2/2V),(x(0)=0):} ^^ \{(doty(0)=sqrt2/2V),(y(0)=0):} rarr$

$rarr \{(-B/mc_1=sqrt2/2V),(c_1+c_2=0):} ^^ \{(-B/mc_3-(mg)/B=sqrt2/2V),(c_3+c_4=0):} rarr$

$rarr \{(c_1=-sqrt2/2(mV)/B),(c_2=sqrt2/2(mV)/B):} ^^ \{(c_3=-sqrt2/2(mV)/B-(m^2g)/B^2),(c_4=sqrt2/2(mV)/B+(m^2g)/B^2):}$

Probabilmente, il tuo problema è determinare un integrale particolare dell'equazione non omogenea.

[Ame1992]

Quindi diciamo che lungo x è un equazione differenziale omogeneo che più o meno so risolvere...
Lungo y invece devo prendere la soluzione dell'omogenea e aggiungerci la soluzione particolare di quella "g" maledetta ok?

Quello che non capisco è.. come arrivi a questo?!?

$\{(x(t)=c_1e^(-B/mt)+c_2),(y(t)=c_3e^(-B/mt)+c_4-(mg)/Bt):}$

Scusami, mi manca solo questo passaggio per capire. Ti ringrazio infinitamente!

[Sk_Anonymous]

Ammesso e non concesso che tu sappia risolvere l'omogenea associata, ancora non l'ho capito , in questo caso devi cercare un integrale particolare della non omogenea del tipo $[y(t)=At]$, essendo $[A]$ una costante da determinarsi sostituendo nell'equazione differenziale. Così facendo, dovresti ottenere $[A=-(mg)/B]$. Siccome l'integrale generale dell'omogenea associata risulta essere $[y(t)=c_3e^(-B/mt)+c_4]$, l'integrale generale della non omogenea si ottiene sommando all'integrale generale dell'omogenea associata l'integrale particolare determinato in precedenza, $[y(t)=c_3e^(-B/mt)+c_4-(mg)/Bt]$ per l'appunto.

[Ame1992]

Scusa se ti rispondo ora, è due giorni che provo a fare l'omogenea ma non mi torna così..
ho capito il concetto di dover risolvere prima l'omogenea e poi aggiungere al suo integrale, l'integrale della particolare che trovo tramite sostituzione.
Potresti farmi capire come si trova la soluzione dell'omogenea?!? Grazie

[Sk_Anonymous]

Si cerca una soluzione dell'omogenea del tipo $[e^(lambdat)]$. Sostituendo:

$[lambda^2+B/mlambda=0] rarr [lambda(lambda+B/m)=0] rarr [lambda_1=-B/m] vv [lambda_2=0]$

Infine, si prende una combinazione lineare:

$[y(t)=c_3e^(lambda_1t)+c_4e^(lambda_2t)] rarr [y(t)=c_3e^(-B/mt)+c_4]$

[Ame1992]

E per quale motivo si cerca una soluzione della non omogenea del tipo $ y=At $ con K da trovare per sostituzione e non un altro tipo? Posso sceglierla qualunque?

[Sk_Anonymous]

No, non puoi sceglierla a caso. Si tratta del metodo di risoluzione "per simpatia". Cerca nel forum o in rete. Per esempio: http://www.dm.unibo.it/~ferrari/attidid ... uadiff.pdf. Altrimenti, aspetta Analisi 2.

[Ame1992]

Grazie!!