Equazione differenziale oscillatore armonico smorzato
salve a tutti. sono uno studente di ingegneria nell'ateneo di trento.
a pagina 58 del seguente link (dispensa sulla fisica del punto materiale)
http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispense1/punti.pdf
il nostro professore affronta la questione dell'oscillatore armonico.
volevo chiedervi, in virtù di cosa, la soluzione generale dell'equazione differenziale lineare di secondo ordine consiste in c1cos(Ωt) + c2sin(Ωt)?
poichè a pagina 16 del seguente link (dispensa sulla fisica dei corpi rigidi)
http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispens ... rigida.pdf
viene usata per dimostrare la corretezza del teorema di poisson.
il teorema di poisson viene infatti dimostrato nell'ambito dei moti relativi (a pagina 33 del primo link), basando il ragionamento su questioni totalmente differenti (che mi verrebbe da definire, da ignorante, come questioni di algebra vettoriale) ...
la domanda allora è: la soluzione generale della lineare del secondo ordine, viene ottenuta in virtù del teorema di poisson mediante il ragionamento a pagina 16 del secondo link? oppure vi è tutta un'altra teoria dietro e il ragionamento in questione ne è solo un'ulteriore conferma?
grazie per l'attenzione.
a pagina 58 del seguente link (dispensa sulla fisica del punto materiale)
http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispense1/punti.pdf
il nostro professore affronta la questione dell'oscillatore armonico.
volevo chiedervi, in virtù di cosa, la soluzione generale dell'equazione differenziale lineare di secondo ordine consiste in c1cos(Ωt) + c2sin(Ωt)?
poichè a pagina 16 del seguente link (dispensa sulla fisica dei corpi rigidi)
http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispens ... rigida.pdf
viene usata per dimostrare la corretezza del teorema di poisson.
il teorema di poisson viene infatti dimostrato nell'ambito dei moti relativi (a pagina 33 del primo link), basando il ragionamento su questioni totalmente differenti (che mi verrebbe da definire, da ignorante, come questioni di algebra vettoriale) ...
la domanda allora è: la soluzione generale della lineare del secondo ordine, viene ottenuta in virtù del teorema di poisson mediante il ragionamento a pagina 16 del secondo link? oppure vi è tutta un'altra teoria dietro e il ragionamento in questione ne è solo un'ulteriore conferma?
grazie per l'attenzione.
Risposte
Senza complicarti troppo la vita, ti invito a ragionare da ingegnere, non da matematico:
secondo te, quale funzione ha la derivata seconda uguale alla funzione stessa cambiata di segno? Semplice, seno o coseno!
Infatti, la derivata seconda di $sinx$ è $-sinx$, mentre quella di $cosx$ è $-cosx$.
L'equazione differenziale dell'oscillatore armonico è:
$(d^2 x)/(dt^2) = -omega^2 x$
Quindi, la derivata seconda è proporzionale alla funzione stessa cambiata di segno; ne consegue che, nel caso più generale possibile, la funzione è una combinazione lineare di seno e coseno:
$x(t) = a sinomegat + b cosomegat$, che con qualche passaggetto si può anche scrivere $x(t) = A sin (omega t + phi)$
Le costanti $a$ e $b$, oppure $omega$ e $phi$, si trovano conoscendo le condizioni iniziali.
secondo te, quale funzione ha la derivata seconda uguale alla funzione stessa cambiata di segno? Semplice, seno o coseno!
Infatti, la derivata seconda di $sinx$ è $-sinx$, mentre quella di $cosx$ è $-cosx$.
L'equazione differenziale dell'oscillatore armonico è:
$(d^2 x)/(dt^2) = -omega^2 x$
Quindi, la derivata seconda è proporzionale alla funzione stessa cambiata di segno; ne consegue che, nel caso più generale possibile, la funzione è una combinazione lineare di seno e coseno:
$x(t) = a sinomegat + b cosomegat$, che con qualche passaggetto si può anche scrivere $x(t) = A sin (omega t + phi)$
Le costanti $a$ e $b$, oppure $omega$ e $phi$, si trovano conoscendo le condizioni iniziali.
hai una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti omogenea:
$x''(t)+\omega^2 x(t)=0$ (1.1).
Associ ad essa l'equazione caratteristica che è: $\lambda^2+ \omega^2=0$, le cui radici caratteristiche sono
$\lambda_1= \omega*i$, mentre $\lambda_2 = -\omega*i$. Il discriminate dell'equazione caratteristica è negativo, dunque la famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale (1.1) si prensentano nella forma:
$x(t)= e^(\alpha t)(C_1 \cos(\beta t)+ C_2 sin(\beta t))$, dove $\alpha$ è la parte reale di $\lambda_1$, $\beta$ è la parte immaginaria presa in modulo, $C_1, C_2$ sono costanti reali.
In questo caso particolare $\alpha$ vale...., mentre $\beta$ vale...., dunque la soluzione generale è ...
$x''(t)+\omega^2 x(t)=0$ (1.1).
Associ ad essa l'equazione caratteristica che è: $\lambda^2+ \omega^2=0$, le cui radici caratteristiche sono
$\lambda_1= \omega*i$, mentre $\lambda_2 = -\omega*i$. Il discriminate dell'equazione caratteristica è negativo, dunque la famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale (1.1) si prensentano nella forma:
$x(t)= e^(\alpha t)(C_1 \cos(\beta t)+ C_2 sin(\beta t))$, dove $\alpha$ è la parte reale di $\lambda_1$, $\beta$ è la parte immaginaria presa in modulo, $C_1, C_2$ sono costanti reali.
In questo caso particolare $\alpha$ vale...., mentre $\beta$ vale...., dunque la soluzione generale è ...
grazie ad entrambi, avete risolto i miei dubbi.. 
thanks alla prossima...
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