Equazione differenziale moto armonico semplice smorzato

[matteo_g1]

ciao ragazzi sto affrontando l'argomento "moto armonico semplice smorzato" e mi sono imbattuto in un equazione differenziale che non so risolvere.

il libro scrive che esiste una forza smorzante pari a -bv ( $ Fsm=-b*v $ ) dove b è detta costante di smorzamento e v la velocità, poi viene presa in considerazione la forza che la molla esercita sul blocco pari a -kx ( $ Fm=-K*x $ ). alla fine dice che possiamo esprimere la seconda legge di newton come $ -b*v-K*x=ma $ e scrive v come la derivata della posizione (x) e l'accelerazione a come la derivata seconda della posizione. successivamente mi dice che si ottiene come risultato della precedente equazione differenziale la seguente espressione:
$ x(t)=Xm*e^((-bt)/(2m))*cos(Wsm*t+phi) $

come devo procedere per risolvere la precedente equazione differenziale e giungere a questo risultato?
grazie!!

[donald_zeka]

Ovviamente, se prima non fai un po' di eq. differenziali ad analisi, questa è solo roba da imparare a memoria senza capirci nulla (dato che non sai neanche cos'è una equazione differenziale...)

[matteo_g1]

"TeM":Dunque, dato il seguente oscillatore armonico con smorzamento viscoso:

applicando la seconda legge di Newton in direzione parallela ad \(x\), si ha: \[ -k\,x(t) -\beta\,\dot x(t) = m\,\ddot{x}(t) \,, \] equazione differenziale corrispondente al moto armonico semplice con smorzamento viscoso.


A questo punto, definendo i parametri \(h:=\frac{\beta}{m}\) e \(\omega^2:=\frac{k}{m}\), si ottiene: \[ \ddot x(t) + h\,\dot x(t) + \omega^2 \, x(t) = 0\,, \] equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, lineare, omogenea, a coefficienti costanti.


Quindi, assumendo che la soluzione sia proporzionale a \(e^{\lambda\,t}\), con \(\lambda \in \mathbb{C}\), si ha: \[ \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2}\left(e^{\lambda\,t}\right) + h\,\frac{\text{d}}{\text{d} t}\left(e^{\lambda\,t}\right) + \omega^2\,e^{\lambda\,t} = 0 \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \left(\lambda^2 + h\,\lambda + \omega^2\right)e^{\lambda\,t} = 0 \] equazione verificata se e soltanto se[nota]Assumendo \(h^2-4\,\omega^2<0\), caso subcritico - oscillatorio smorzato.[/nota]: \[ \lambda_{1,2} = \frac{-h \pm \sqrt{h^2 - 4\,\omega^2}}{2} = - \frac{h}{2} \pm \text{i}\,\frac{\sqrt{4\,\omega^2 - h^2}}{2} := a \pm \text{i}\,b\,, \] da cui segue che la soluzione dell'equazione differenziale ordinaria in esame risulta essere \[ x(t) = k_1\,e^{(a - \text{i}\,b)\,t} + k_2\,e^{(a + \text{i}\,b)\,t}\,, \] con \(k_1\), \(k_2\) costanti arbitrarie. Non rimane che manipolare per bene tale soluzione:
\[ \begin{aligned}
x(t)
& = k_1\,e^{a\,t}\,e^{-\text{i}\,b\,t} + k_2\,e^{a\,t}\,e^{\text{i}\,b\,t} \\
& = e^{a\,t}\left[k_1\left(\cos(b\,t) - \text{i}\,\sin(b\,t)\right) + k_2\left(\cos(b\,t) + \text{i}\,\sin(b\,t)\right) \right] \\
& = e^{a\,t}\left[(k_1 + k_2)\,\cos(b\,t) - \text{i}\,(k_1 - k_2)\,\sin(b\,t) \right] \\
& = e^{a\,t}\left[c_1\,\cos(b\,t) - c_2\,\sin(b\,t) \right] ,
\end{aligned} \] con \(c_1\), \(c_2\) costanti arbitrarie. Non ancora soddisfatti, manipoliamo ancora po' tale soluzione:
\[ \begin{aligned}
x(t)
& = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}\,e^{a\,t}\left[\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2 + c_2^2}}\,\cos(b\,t) - \frac{c_2}{\sqrt{c_1^2 + c_2^2}}\,\sin(b\,t) \right] \\
& = A\,e^{a\,t}\left[\cos(b\,t)\,\cos\phi - \sin(b\,t)\,\sin\phi \right] \\
& = A\,e^{a\,t}\,\cos(b\,t + \phi)\,,
\end{aligned} \] con \(A > 0\), \(\phi \in [0,\,2\pi)\) costanti arbitrarie (determinabili imponendo le condizioni iniziali).


Spero sia sufficientemente chiaro.

grazie mille per tutto il tempo che hai impiegato per rispondere alla mia domanda, sei stato molto chiaro. Grazie ancora!!!!