Equazione differenziale e moto di un proiettile
Ciao a tutti, scrivo per confrontarmi con voi riguardo questo apparentemente banale problema:
- Moto di un proiettile diretto verticalmente verso l'alto
Supponiamo che ad un proiettile sia impressa una velocità iniziale $ \mathbf{v}_{\text{in}} $, diretta verticalmente verso l'alto. L'obiettivo è studiare ed interpretare da un punto di vista fisico l'equazione differenziale che governa tale fenomeno.
Scrivendo un bilancio di forze, abbiamo
\[ \mathbf{F}_{\text{peso}} + \mathbf{F}_{\text{attrito}} = m\mathbf{a} \quad \rightarrow \quad m\mathbf{g} - b\mathbf{v} = m\mathbf{a} \quad \rightarrow \quad -mg - bv = -ma \quad \rightarrow \quad ma - bv - mg = 0 \]
L'ultima scrittura è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti nell'incognita $ y(t) $, che rappresenta la posizione del proiettile al generico istante di tempo $ t $.
D'altronde, quello che interessa risolvere è il problema di Cauchy che si ottiene aggiungendo le condizioni iniziali
\[ \matrix{y(0) = 0 \\ v(0) = v_{\text{in}}} \]
In definitiva:
\[ \cases{m \ddot y - b \dot y - mg = 0 \\ y(0) = 0 \\ \dot y(0) = v_{\text{in}}} \]
La soluzione del problema (secondo i miei calcoli) è
\[ y(t) = \frac{m}{b} \Big ( v_{\text{in}} + \frac{mg}{b} \Big ) \big ( e^{\frac{b}{m} t} - 1 \big ) - \frac{mg}{b} t, \quad t \in [0, +\infty) \]
E ora viene il problema: quello che si osserva studiando la soluzione è che \( y(t) \rightarrow +\infty \) per \( t \rightarrow +\infty \).
Ma in linea del tutto intuitiva, non dovrebbe accadere che il proiettile si fermi ad una certa quota e cominci a tornare indietro (cioè, dal punto di vista analitico, che y(t) risulti crescente fino ad un certo istante $ \bar t $ per poi decrescere fino a $ - \infty $)?
Inoltre, derivando la soluzione due volte (ottenendo dunque gli andamenti di velocità e accelerazione del proiettile al variare di $ t $), otteniamo
\[ \matrix{\dot y(t) = \Big ( v_{\text{in}} + \frac{mg}{b} \Big ) e^{\frac{b}{m} t} - \frac{mg}{b}, \quad t \in [0, +\infty) \\ \ddot y(t) = \frac{b}{m} \Big ( v_{\text{in}} + \frac{mg}{b} \Big ) e^{\frac{b}{m} t}, \quad t \in [0, +\infty)} \]
E qui si osserva che la velocità del proiettile, invece che diminuire, cresce esponenzialmente fino a $ +\infty $!
Per quanto riguarda l'accelerazione, poi, essa si comporta nello stesso identico modo: cresce esponenzialmente fino a $ +\infty $.
Un'assurdità.
A questo punto, spero di aver commesso degli errori gravi e che qualcuno abbia la pazienza di mostrarmi la strada giusta.
Chi mi sa aiutare?
- Moto di un proiettile diretto verticalmente verso l'alto
Supponiamo che ad un proiettile sia impressa una velocità iniziale $ \mathbf{v}_{\text{in}} $, diretta verticalmente verso l'alto. L'obiettivo è studiare ed interpretare da un punto di vista fisico l'equazione differenziale che governa tale fenomeno.
Scrivendo un bilancio di forze, abbiamo
\[ \mathbf{F}_{\text{peso}} + \mathbf{F}_{\text{attrito}} = m\mathbf{a} \quad \rightarrow \quad m\mathbf{g} - b\mathbf{v} = m\mathbf{a} \quad \rightarrow \quad -mg - bv = -ma \quad \rightarrow \quad ma - bv - mg = 0 \]
L'ultima scrittura è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti nell'incognita $ y(t) $, che rappresenta la posizione del proiettile al generico istante di tempo $ t $.
D'altronde, quello che interessa risolvere è il problema di Cauchy che si ottiene aggiungendo le condizioni iniziali
\[ \matrix{y(0) = 0 \\ v(0) = v_{\text{in}}} \]
In definitiva:
\[ \cases{m \ddot y - b \dot y - mg = 0 \\ y(0) = 0 \\ \dot y(0) = v_{\text{in}}} \]
La soluzione del problema (secondo i miei calcoli) è
\[ y(t) = \frac{m}{b} \Big ( v_{\text{in}} + \frac{mg}{b} \Big ) \big ( e^{\frac{b}{m} t} - 1 \big ) - \frac{mg}{b} t, \quad t \in [0, +\infty) \]
E ora viene il problema: quello che si osserva studiando la soluzione è che \( y(t) \rightarrow +\infty \) per \( t \rightarrow +\infty \).
Ma in linea del tutto intuitiva, non dovrebbe accadere che il proiettile si fermi ad una certa quota e cominci a tornare indietro (cioè, dal punto di vista analitico, che y(t) risulti crescente fino ad un certo istante $ \bar t $ per poi decrescere fino a $ - \infty $)?
Inoltre, derivando la soluzione due volte (ottenendo dunque gli andamenti di velocità e accelerazione del proiettile al variare di $ t $), otteniamo
\[ \matrix{\dot y(t) = \Big ( v_{\text{in}} + \frac{mg}{b} \Big ) e^{\frac{b}{m} t} - \frac{mg}{b}, \quad t \in [0, +\infty) \\ \ddot y(t) = \frac{b}{m} \Big ( v_{\text{in}} + \frac{mg}{b} \Big ) e^{\frac{b}{m} t}, \quad t \in [0, +\infty)} \]
E qui si osserva che la velocità del proiettile, invece che diminuire, cresce esponenzialmente fino a $ +\infty $!
Per quanto riguarda l'accelerazione, poi, essa si comporta nello stesso identico modo: cresce esponenzialmente fino a $ +\infty $.
Un'assurdità.
A questo punto, spero di aver commesso degli errori gravi e che qualcuno abbia la pazienza di mostrarmi la strada giusta.
Chi mi sa aiutare?
Risposte
Credo che ci sia un errore nel modo in cui proietti l'equazione vettoriale sull'asse $y$ , orientato verso l'alto.
Dovresti scrivere : $ -mg - bv = ma$, poichè sai a priori il verso delle forze, non sai quello del vettore accelerazione, e allora lo assumi verso l'alto. Dal calcolo poi ti viene $a$ negativa, il che vuol dire che si tratta di una decelerazione.
Del resto, quando trascuri la resistenza dell'aria, come scrivi le equazioni di velocità e spazio? Con l'asse $y$ diretto positivamente verso l'alto, scrivi :
$ v_y = v_0 - g*t $
$y = v_0* t - 1/2g*t^2 $
Derivando la prima rispetto al tempo, ottieni: $ a_y = -g $ , come dev' essere.
In definitiva, la terza equazione dovrebbe essere, ripeto : $ -mg - bv = ma$ , da cui la quarta consegue:
$ ma + bv + mg = 0$ , da cui : $ m/b(dv)/(dt) + v + (mg)/b = 0 $
Cosí facendo, l'esponente di $e$ dovrebbe venire negativo ( prova, io non ho risolto l'eq differenziale), e quindi al tendere di $t$ a $ + infty$ l'esponenziale tende a zero.
Dovresti scrivere : $ -mg - bv = ma$, poichè sai a priori il verso delle forze, non sai quello del vettore accelerazione, e allora lo assumi verso l'alto. Dal calcolo poi ti viene $a$ negativa, il che vuol dire che si tratta di una decelerazione.
Del resto, quando trascuri la resistenza dell'aria, come scrivi le equazioni di velocità e spazio? Con l'asse $y$ diretto positivamente verso l'alto, scrivi :
$ v_y = v_0 - g*t $
$y = v_0* t - 1/2g*t^2 $
Derivando la prima rispetto al tempo, ottieni: $ a_y = -g $ , come dev' essere.
In definitiva, la terza equazione dovrebbe essere, ripeto : $ -mg - bv = ma$ , da cui la quarta consegue:
$ ma + bv + mg = 0$ , da cui : $ m/b(dv)/(dt) + v + (mg)/b = 0 $
Cosí facendo, l'esponente di $e$ dovrebbe venire negativo ( prova, io non ho risolto l'eq differenziale), e quindi al tendere di $t$ a $ + infty$ l'esponenziale tende a zero.
"navigatore":
Poichè sai a priori il verso delle forze, non sai quello del vettore accelerazione, e allora lo assumi verso l'alto. Dal calcolo poi ti viene $a$ negativa, il che vuol dire che si tratta di una decelerazione.
Il ragionamento che ho fatto è stato il seguente.
Dal momento che tutte le forze in gioco puntano verso il basso (in senso quindi opposto a quello dell'asse $ y $), anche la risultante di queste forze punterà nella medesima direzione: pertanto, tale vettore accelerazione sarà opposto all'asse $ y $, obbligandomi quindi a mettere un segno meno.
Quello che non riesco a capire è cosa non vada in questo ragionamento, dato che la matematica mi smentisce.
Perché dici che non so quello del vettore accelerazione? Alla luce di quanto appena detto, sembra proprio che il verso di questo vettore sia noto!
E poi il fatto di assumerlo verso l'alto rimane comunque una scelta arbitraria, o mi sbaglio? A seconda di come lo punto ottengo dei segni opposti, ma la cosa che più mi sorprende è che una scelta di questo tipo sia così incredibilmente determinante...
Riccardo,
quando scrivi la 2º eq della Dinamica in forma vettoriale scrivi così : $vecR = mveca$ , dove al primo membro c'è la risultante di tutte le forze esterne. È quello che hai fatto nello scrivere la tua prima equazione :
$vecP + vecF_a = mveca$
sei d'accordo? poi proietti sull'asse $y$, cioè scrivi la stessa equazione per componenti, ma stavolta le componenti devono avere un segno. E allora, sai che la componente del peso è negativa e le dai il segno " $-$ " . Così pure per la componente della forza di attrito, che come vettore è opposto alla velocità ( e $vecv$ è diretto verso l'alto, non c'è dubbio su questo).
Ma non sai a priori il verso dell'accelerazione, quindi il segno che devi dare alla componente. Perciò lo lasci positivo.
Anzi, è proprio il fatto che le componenti al primo membro hanno complessivamente segno " $-$ " , ad avere come conseguenza che $a$ sia negativa.
Ti ho accennato al caso in cui la forza di attrito sia nulla. Vettorialmente scrivi :
$vecP = m veca $. Cioè : $ m vecg = m veca$.
Ma quando vai a proiettare sull'asse $y$ che è orientato verso l'alto, devi scrivere : $ -g = a = (dv)/(dt) $ .
Solo cosí, integrando una volta con la condizione iniziale $v(0) = v_(0y) $ , puoi ottenere la corretta espressione della velocità in funzione del tempo :
$ v(t) = v_(0y) + at = v_(0y) - g*t $ -------(1)
poiché il moto è decelerato e il grave si arresta ad un certo istante, poi ricade. Come vedi, dopo il primo " $=$ " ho messo $ +at $ , e dopo il secondo " $=$ " ho messo $ -g*t $, visto che il vettore $vecg$ ha, rispetto all'asse $y$ orientato verso l'alto, la componente $ -g $ .
Se nella (1) avessi messo $ a = g $ , avrei ottenuto la seguente : $ v(t) = v_(0y) + at = v_(0y) + g*t $ -------(2)
e la velocità sarebbe risultata crescente col tempo, non decrescente !
Comunque, non voglio insistere più di tanto. Forse dico cose sbagliate.
Ma prova a vedere che cosa ottieni coi segni che ti ho detto io, forse l'errore è da un'altra parte, e non riusciamo ancora a vederlo. Fammi sapere.
quando scrivi la 2º eq della Dinamica in forma vettoriale scrivi così : $vecR = mveca$ , dove al primo membro c'è la risultante di tutte le forze esterne. È quello che hai fatto nello scrivere la tua prima equazione :
$vecP + vecF_a = mveca$
sei d'accordo? poi proietti sull'asse $y$, cioè scrivi la stessa equazione per componenti, ma stavolta le componenti devono avere un segno. E allora, sai che la componente del peso è negativa e le dai il segno " $-$ " . Così pure per la componente della forza di attrito, che come vettore è opposto alla velocità ( e $vecv$ è diretto verso l'alto, non c'è dubbio su questo).
Ma non sai a priori il verso dell'accelerazione, quindi il segno che devi dare alla componente. Perciò lo lasci positivo.
Anzi, è proprio il fatto che le componenti al primo membro hanno complessivamente segno " $-$ " , ad avere come conseguenza che $a$ sia negativa.
Ti ho accennato al caso in cui la forza di attrito sia nulla. Vettorialmente scrivi :
$vecP = m veca $. Cioè : $ m vecg = m veca$.
Ma quando vai a proiettare sull'asse $y$ che è orientato verso l'alto, devi scrivere : $ -g = a = (dv)/(dt) $ .
Solo cosí, integrando una volta con la condizione iniziale $v(0) = v_(0y) $ , puoi ottenere la corretta espressione della velocità in funzione del tempo :
$ v(t) = v_(0y) + at = v_(0y) - g*t $ -------(1)
poiché il moto è decelerato e il grave si arresta ad un certo istante, poi ricade. Come vedi, dopo il primo " $=$ " ho messo $ +at $ , e dopo il secondo " $=$ " ho messo $ -g*t $, visto che il vettore $vecg$ ha, rispetto all'asse $y$ orientato verso l'alto, la componente $ -g $ .
Se nella (1) avessi messo $ a = g $ , avrei ottenuto la seguente : $ v(t) = v_(0y) + at = v_(0y) + g*t $ -------(2)
e la velocità sarebbe risultata crescente col tempo, non decrescente !
Comunque, non voglio insistere più di tanto. Forse dico cose sbagliate.
Ma prova a vedere che cosa ottieni coi segni che ti ho detto io, forse l'errore è da un'altra parte, e non riusciamo ancora a vederlo. Fammi sapere.
Ho risolto l'equazione differenziale che mi hai proposto.
La soluzione del problema è
\[ y(t) = -\frac{m}{b} \Big ( \frac{mg}{b} + v_{\text{in}} \Big ) \big ( e^{-\frac{b}{m}t} - 1 \big ) - \frac{mg}{b}t, \quad t \in [0, +\infty) \]
cioè la stessa di prima con qualche segno corretto.
Dunque:
\[ \dot y(t) = \Big ( \frac{mg}{b} + v_{\text{in}} \Big ) e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b}, \quad t \in [0, +\infty) \]
Guardando l'espressione, qualcosa inizia ad emergere.
Il valore asintotico della velocità rappresenta la cosiddetta velocità limite che il proiettile raggiunge durante la caduta all'indietro (ciò è indicato dal segno meno del valore asintotico).
Questa volta, inoltre, lo zero della funzione non si trova più nel semiasse negativo dei tempi (fisicamente inaccettabile), bensì in quello positivo; precisamente:
\[ \dot y(t) = 0 \quad \rightarrow \quad t = \Big ( -\frac{m}{b} \Big ) \ln{\frac{mg}{mg + bv_{\text{in}}}} \]
e tale zero rappresenta l'istante in cui il proiettile raggiunge la massima quota.
Infine:
\[ \ddot y(t) = -\frac{b}{m} \Big ( \frac{mg}{b} + v_{\text{in}} \Big ) e^{-\frac{b}{m}t}, \quad t \in [0, +\infty) \]
L'accelerazione si azzera anch'essa asintoticamente, dato che il proiettile procede asinoticamente alla velocità limite (costante).
In ogni caso, una cosa è certa: seguendo il mio ragionamento precedente, la Matematica mi dice che non va bene; quindi il mio ragionamento è sbagliato.
L'unica cosa che mi manca da capire è perché.
Se ho capito bene la tua spiegazione, per convenzione scegliamo per $ \mathbf{a} $ il verso positivo. In questo modo, la sua componente risulta negativa. Ma se davvero di una convenzione si tratta, allora posso anche prendere il verso opposto, trovandomi quindi una componente positiva.
Ma allora per quale motivo se agisco in questo modo succede il finimondo?
Ti ringrazio per la pazienza mostrata (e che spero mostrerai ancora in seguito).
La soluzione del problema è
\[ y(t) = -\frac{m}{b} \Big ( \frac{mg}{b} + v_{\text{in}} \Big ) \big ( e^{-\frac{b}{m}t} - 1 \big ) - \frac{mg}{b}t, \quad t \in [0, +\infty) \]
cioè la stessa di prima con qualche segno corretto.
Dunque:
\[ \dot y(t) = \Big ( \frac{mg}{b} + v_{\text{in}} \Big ) e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b}, \quad t \in [0, +\infty) \]
Guardando l'espressione, qualcosa inizia ad emergere.
Il valore asintotico della velocità rappresenta la cosiddetta velocità limite che il proiettile raggiunge durante la caduta all'indietro (ciò è indicato dal segno meno del valore asintotico).
Questa volta, inoltre, lo zero della funzione non si trova più nel semiasse negativo dei tempi (fisicamente inaccettabile), bensì in quello positivo; precisamente:
\[ \dot y(t) = 0 \quad \rightarrow \quad t = \Big ( -\frac{m}{b} \Big ) \ln{\frac{mg}{mg + bv_{\text{in}}}} \]
e tale zero rappresenta l'istante in cui il proiettile raggiunge la massima quota.
Infine:
\[ \ddot y(t) = -\frac{b}{m} \Big ( \frac{mg}{b} + v_{\text{in}} \Big ) e^{-\frac{b}{m}t}, \quad t \in [0, +\infty) \]
L'accelerazione si azzera anch'essa asintoticamente, dato che il proiettile procede asinoticamente alla velocità limite (costante).
In ogni caso, una cosa è certa: seguendo il mio ragionamento precedente, la Matematica mi dice che non va bene; quindi il mio ragionamento è sbagliato.
L'unica cosa che mi manca da capire è perché.
Se ho capito bene la tua spiegazione, per convenzione scegliamo per $ \mathbf{a} $ il verso positivo. In questo modo, la sua componente risulta negativa. Ma se davvero di una convenzione si tratta, allora posso anche prendere il verso opposto, trovandomi quindi una componente positiva.
Ma allora per quale motivo se agisco in questo modo succede il finimondo?
Ti ringrazio per la pazienza mostrata (e che spero mostrerai ancora in seguito).
Figurati! Non devi ringraziarmi, per me è un piacere...
Io non sono bravo come te in Matematica, e mi sono quasi scordato come si risolve un'equazione differenziale...
Però ho fatto delle ricerche su sacri testi, ed ho trovato anch'io che in questo modo si arriva al calcolo della velocità limite.
Ma infine, una cosa vorrei sapere, se l'hai verificata: questa soluzione descrive o no tutto il processo di lancio verso l'alto con velocità iniziale positiva, decelerazione, arresto e caduta all'indietro? Io non l'ho mica capito!
Per quanto riguarda il tuo dubbio, io ho sempre ragionato così: la quantità scalare $ma = m (dv)/(dt) = m (d^2y)/(dt^2)$ dipende, secondo Newton, dalle forze agenti, non solo in valore ma anche in segno, che a priori non conosco. Per cui quando ho un asse orientato in un certo modo e devo scrivere l'equazione differenziale del moto, scrivo innanzitutto questa quantità , poi al secondo membro scrivo le componenti sull'asse delle forze agenti, e queste sí che le scrivo col segno, perché so in che verso agiscono le forze date! Non so se mi sono spiegato bene...Voglio dire che a priori non dò un segno alla derivata seconda dello spazio, il segno mi viene fuori dalla soluzione dell'equazione.
Se il segno viene positivo, vuol dire che il vettore $veca$ è orientato come l'asse. Se mi viene negativo, è orientato in verso opposto.
Forse non è un ragionamento del tutto corretto...
PEr esempio, come scriverei l''equazione nel caso in esame, se avessi orientato l'asse verso il basso? La scriverei così :
$ mg + bv = m (d^2y)/(dt^2)$ ( conosco i versi delle forze, assumo positiva la derivata seconda dello spazio) ,
però ora le condizioni iniziali sarebbero che per $t = 0$ deve essere : $y = 0$ e $ doty = - v_o $ , perché il vettore $vecv_0$ è discorde con l'asse. E naturalmente, a regime, senza attrito, scrivo : $ -v = -v_o + g*t $ , e tutto torna come prima.
Dovrebbe venire fuori lo stesso risultato, penso. Ma non mi azzardo a risolvere l'equazione differenziale...
Ciao, è stato un piacere.
Io non sono bravo come te in Matematica, e mi sono quasi scordato come si risolve un'equazione differenziale...
Però ho fatto delle ricerche su sacri testi, ed ho trovato anch'io che in questo modo si arriva al calcolo della velocità limite.
Ma infine, una cosa vorrei sapere, se l'hai verificata: questa soluzione descrive o no tutto il processo di lancio verso l'alto con velocità iniziale positiva, decelerazione, arresto e caduta all'indietro? Io non l'ho mica capito!
Per quanto riguarda il tuo dubbio, io ho sempre ragionato così: la quantità scalare $ma = m (dv)/(dt) = m (d^2y)/(dt^2)$ dipende, secondo Newton, dalle forze agenti, non solo in valore ma anche in segno, che a priori non conosco. Per cui quando ho un asse orientato in un certo modo e devo scrivere l'equazione differenziale del moto, scrivo innanzitutto questa quantità , poi al secondo membro scrivo le componenti sull'asse delle forze agenti, e queste sí che le scrivo col segno, perché so in che verso agiscono le forze date! Non so se mi sono spiegato bene...Voglio dire che a priori non dò un segno alla derivata seconda dello spazio, il segno mi viene fuori dalla soluzione dell'equazione.
Se il segno viene positivo, vuol dire che il vettore $veca$ è orientato come l'asse. Se mi viene negativo, è orientato in verso opposto.
Forse non è un ragionamento del tutto corretto...
PEr esempio, come scriverei l''equazione nel caso in esame, se avessi orientato l'asse verso il basso? La scriverei così :
$ mg + bv = m (d^2y)/(dt^2)$ ( conosco i versi delle forze, assumo positiva la derivata seconda dello spazio) ,
però ora le condizioni iniziali sarebbero che per $t = 0$ deve essere : $y = 0$ e $ doty = - v_o $ , perché il vettore $vecv_0$ è discorde con l'asse. E naturalmente, a regime, senza attrito, scrivo : $ -v = -v_o + g*t $ , e tutto torna come prima.
Dovrebbe venire fuori lo stesso risultato, penso. Ma non mi azzardo a risolvere l'equazione differenziale...
Ciao, è stato un piacere.
Dovrebbe essere possibile ricavare queste formule dal Mazzoldi-Nigro-Voci nel paragrafo sull'attrito viscoso.
\[
\begin{cases}
m\ddot{x}+b\dot{x}=0 \\
\dot{x}(0)=v_{0_{x}} \\
x(0)=x_{0} \\
\end{cases} \ \ \ \ \
\begin{cases}
m\ddot{y}+b\dot{y}-mg=0 \\
\dot{y}(0)=v_{0_{y}} \\
y(0)=y_{0} \\
\end{cases}
\]
Risolvendo ad esempio la prima
\[
x(t)=\frac{mv_{0_{x}}}{b}(1-\exp{(-bt/m)})
\]
Si vede che dopo un po la pallina si ferma, posizione in funzione del tempo img e velocità in funzione del tempo img. Anche la seconda è lineare e la soluzione si ottiene allo stesso modo
\[
\begin{split}
\delta_{1,2}&=[-b\pm(b^{2}+4m^{2}g)^{1/2}]/2m \\
y(t)&=c_{1}e^{\delta_{1}t}+c_{2}e^{\delta_{2}t} \\
\end{split}
\]
\[
\begin{cases}
m\ddot{x}+b\dot{x}=0 \\
\dot{x}(0)=v_{0_{x}} \\
x(0)=x_{0} \\
\end{cases} \ \ \ \ \
\begin{cases}
m\ddot{y}+b\dot{y}-mg=0 \\
\dot{y}(0)=v_{0_{y}} \\
y(0)=y_{0} \\
\end{cases}
\]
Risolvendo ad esempio la prima
\[
x(t)=\frac{mv_{0_{x}}}{b}(1-\exp{(-bt/m)})
\]
Si vede che dopo un po la pallina si ferma, posizione in funzione del tempo img e velocità in funzione del tempo img. Anche la seconda è lineare e la soluzione si ottiene allo stesso modo
\[
\begin{split}
\delta_{1,2}&=[-b\pm(b^{2}+4m^{2}g)^{1/2}]/2m \\
y(t)&=c_{1}e^{\delta_{1}t}+c_{2}e^{\delta_{2}t} \\
\end{split}
\]
"navigatore":
Ma infine, una cosa vorrei sapere, se l'hai verificata: questa soluzione descrive o no tutto il processo di lancio verso l'alto con velocità iniziale positiva, decelerazione, arresto e caduta all'indietro? Io non l'ho mica capito!
Certamente! Infatti della soluzione ottenuta sono pienamente soddisfatto (non sono stato a fare uno studio di funzione completo, ma in linea di massima tutto sembra tornare; sono sicuro che se lo facessi per intero le aspettative sarebbero comunque soddisfatte).
"navigatore":
Per quanto riguarda il tuo dubbio, io ho sempre ragionato così: la quantità scalare $ma = m (dv)/(dt) = m (d^2y)/(dt^2)$ dipende, secondo Newton, dalle forze agenti, non solo in valore ma anche in segno, che a priori non conosco. Per cui quando ho un asse orientato in un certo modo e devo scrivere l'equazione differenziale del moto, scrivo innanzitutto questa quantità , poi al secondo membro scrivo le componenti sull'asse delle forze agenti, e queste sí che le scrivo col segno, perché so in che verso agiscono le forze date! Non so se mi sono spiegato bene...Voglio dire che a priori non dò un segno alla derivata seconda dello spazio, il segno mi viene fuori dalla soluzione dell'equazione.
Se il segno viene positivo, vuol dire che il vettore $veca$ è orientato come l'asse. Se mi viene negativo, è orientato in verso opposto.
Il tuo ragionamento non fa una piega.
Consultando il testo di Halliday, Resnick, Krane - Fisica 1, ho però scoperto che l'attribuzione arbitraria del verso dell'accelerazione in presenza di forze dipendenti dal verso del moto (e.g., forze di attrito) può condurre a errori.
Te la senti di commentare questa affermazione? Forse si trova qui l'inghippo.
"navigatore":
Per esempio, come scriverei l''equazione nel caso in esame, se avessi orientato l'asse verso il basso? La scriverei così :
$ mg + bv = m (d^2y)/(dt^2)$ ( conosco i versi delle forze, assumo positiva la derivata seconda dello spazio) ,
però ora le condizioni iniziali sarebbero che per $t = 0$ deve essere : $y = 0$ e $ doty = - v_o $ , perché il vettore $vecv_0$ è discorde con l'asse. E naturalmente, a regime, senza attrito, scrivo : $ -v = -v_o + g*t $ , e tutto torna come prima.
Dovrebbe venire fuori lo stesso risultato, penso. Ma non mi azzardo a risolvere l'equazione differenziale...
Ho due notizie da darti, una bella e una brutta.
Quella bella è che anch'io la scriverei così, quella brutta è che conduce ad una soluzione con esponenziale positivo (e quindi sbagliata).
Durante i miei ragionamenti ho osservato che le cose tornano sempre mettendo il segno del termine $ ma $ concorde con il verso del vettore $ \mathbf{v} $; nel caso di partenza tale ragionamento mi propone l'equazione che mi hai scritto all'inizio, mentre in quest'ultimo caso porta all'equazione corretta!
Non credo che sia una coincidenza, ci dev'essere un criterio che ancora non ho ben compreso...
Se qualcuno ha qualche idea in merito si faccia pure avanti; tu, navigatore, cosa ne pensi?
Consideriamo il moto nella direzione dell'asse \(x\). La componente \(m\ddot{x}\) è una incognita da ricavare, ipotizziamo il moto verso destra. Il vettore \(\vec{F}_{a}\) punta in direzione contraria al moto e questo è evidenziato nella sua unica componente non nulla. Dato che \(F_{a}\) è definita come \(F_{a}=-bv\) (agisce nel verso contrario alla forza) si ha che
\[
\begin{split}
\vec{F}
&=(F_{x},0,0) \\
&=(m\ddot{x},0,0) \\ \\
\vec{F_{a}}
&=(-F_{a_{x}},0,0) \\
&=(b\dot{x},0,0) \\ \\
\vec{F}+\vec{F_{a}}
&=(m\ddot{x}+b\dot{x},0,0) \\
&=(0,0,0)
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\vec{F}
&=(F_{x},0,0) \\
&=(m\ddot{x},0,0) \\ \\
\vec{F_{a}}
&=(-F_{a_{x}},0,0) \\
&=(b\dot{x},0,0) \\ \\
\vec{F}+\vec{F_{a}}
&=(m\ddot{x}+b\dot{x},0,0) \\
&=(0,0,0)
\end{split}
\]
Sí, 5mrkv, per il moto lungo $x$ la tua analisi non fa una piega, è correttissima. Per cui l'equazione differenziale in direzione $x$ , scritta per componenti, è :
$m*ddotx = - bdotx$.
Che cosa cambia, in direzione $y$ ? soltanto la aggiunta della forza peso la cui componente (quindi, col suo segno! Spesso confondiamo componente e modulo...) rispetto all'asse $y$ orientato verso l'alto è negativa. Perciò l'equazione differenziale in direzione $y$ si scrive così, ormai ne sono sicuro:
$m*ddoty= -mg - bdoty$.
L'equazione differenziale in direzione $y$ che scrive il MAzzoldi ritengo che non sia applicabile a questo caso. I tre termini posti tutti al primo membro dovrebbero avere tutti segno positivo, se sta parlando della stessa questione e ha orientato l'asse verso l'alto. Ma penso si riferisca ad un corpo che cade in fluido viscoso, e l'asse verticale mi sembra orientato verso il basso: basta riscrivere la sua equazione così : $m*ddoty= mg - bdoty$.
E Halliday...lo lasciamo agli Americani. Può aver ragione, ma non mi pronunzio.
Quella che Riccardo chiama "intuizione" è, a mio parere, un importante ingrediente del ragionamento fisico, e aiuta a scrivere le equazioni.
PS : Ragazzi, notizia importante: ho trovato l'esercizio in esame svolto su un ormai introvabile libro di Esercizi di MR di Bruno Finzi, gran professore della materia del secolo scorso ( qualcuno forse ancora se lo ricorda, io ho gelosamente custodito come un tesoro i suoi libri!).
Ora non ho tempo, ma stasera lo scannerizzo e lo metto qui. Così finalmente ci rendiamo conto e umilmente accettiamo la lezione del maestro.
$m*ddotx = - bdotx$.
Che cosa cambia, in direzione $y$ ? soltanto la aggiunta della forza peso la cui componente (quindi, col suo segno! Spesso confondiamo componente e modulo...) rispetto all'asse $y$ orientato verso l'alto è negativa. Perciò l'equazione differenziale in direzione $y$ si scrive così, ormai ne sono sicuro:
$m*ddoty= -mg - bdoty$.
L'equazione differenziale in direzione $y$ che scrive il MAzzoldi ritengo che non sia applicabile a questo caso. I tre termini posti tutti al primo membro dovrebbero avere tutti segno positivo, se sta parlando della stessa questione e ha orientato l'asse verso l'alto. Ma penso si riferisca ad un corpo che cade in fluido viscoso, e l'asse verticale mi sembra orientato verso il basso: basta riscrivere la sua equazione così : $m*ddoty= mg - bdoty$.
E Halliday...lo lasciamo agli Americani. Può aver ragione, ma non mi pronunzio.
Quella che Riccardo chiama "intuizione" è, a mio parere, un importante ingrediente del ragionamento fisico, e aiuta a scrivere le equazioni.
PS : Ragazzi, notizia importante: ho trovato l'esercizio in esame svolto su un ormai introvabile libro di Esercizi di MR di Bruno Finzi, gran professore della materia del secolo scorso ( qualcuno forse ancora se lo ricorda, io ho gelosamente custodito come un tesoro i suoi libri!).
Ora non ho tempo, ma stasera lo scannerizzo e lo metto qui. Così finalmente ci rendiamo conto e umilmente accettiamo la lezione del maestro.
"5mrkv":
\[ \vec{F_{a}} =(-F_{a_{x}},0,0) =(b\dot{x},0,0) \]
Perché hai messo un altro $ - $ davanti alla componente?
Per lo stesso motivo per cui ho messo il segno \(+\) davanti a \(m\ddot{x}\). Se ho un vettore di forze \(\vec{v}=(v_{x},v_{y},v_{z})\) lo devo pur "direzionare". Se punta vero il basso \(\vec{v}=(0,0,-v_{z})\), se punta verso l'alto \(\vec{v}=(0,0,+v_{z})\), se punta verso sinistra \(\vec{v}=(-v_{x},0,0)\). Potevo sempre considerare il vettore \(\vec{F}\) come puntato verso sinistra, allora \(F=(-m\ddot{x},0,0)\) e dovrei scrivere di conseguenza \(\vec{F}_{a}=(+F_{a},0,0)\) che punta verso destra, ed il risultato è lo stesso. Confronta \(F_{a}=-bv\) con \(F=mg\) e vedi che bisogna stare attenti con il segno, una aiuta il moto, l'altra no 
ed un motivo per convincersene è che altrimenti la soluzione sarebbe priva di senso.
ed un motivo per convincersene è che altrimenti la soluzione sarebbe priva di senso.
"navigatore":
PS : Ragazzi, notizia importante: ho trovato l'esercizio in esame svolto su un ormai introvabile libro di Esercizi di MR di Bruno Finzi, gran professore della materia del secolo scorso ( qualcuno forse ancora se lo ricorda, io ho gelosamente custodito come un tesoro i suoi libri!).
Sono molto interessato.
Signori, ho un'ottima notizia: ho capito tutto.
Iniziamo da qui:
"5mrkv":
Dovrebbe essere possibile ricavare queste formule dal Mazzoldi-Nigro-Voci nel paragrafo sull'attrito viscoso.
\[
\begin{cases}
m\ddot{x}+b\dot{x}=0 \\
\dot{x}(0)=v_{0_{x}} \\
x(0)=x_{0} \\
\end{cases} \ \ \ \ \
\begin{cases}
m\ddot{y}+b\dot{y}-mg=0 \\
\dot{y}(0)=v_{0_{y}} \\
y(0)=y_{0} \\
\end{cases}
\]
Nel nostro caso il moto è puramente verticale, pertanto trascuriamo la componente orizzontale (e quindi il primo sistema).
Navigatore giustamente scrive:
"navigatore":
L'equazione differenziale in direzione $y$ che scrive il Mazzoldi ritengo che non sia applicabile a questo caso. I tre termini posti tutti al primo membro dovrebbero avere tutti segno positivo, se sta parlando della stessa questione e ha orientato l'asse verso l'alto. Ma penso si riferisca ad un corpo che cade in fluido viscoso, e l'asse verticale mi sembra orientato verso il basso: basta riscrivere la sua equazione così : $m*ddoty= mg - bdoty$.
L'equazione differenziale che è riportata è quella che descrive il fenomeno sia di salita che di discesa del moto di un proiettile con asse $ y $ rivolto verso il basso.
Quella che descrive lo stesso fenomeno con l'asse $ y $ rivolto verso l'alto è quella che navigatore ha suggerito fin dall'inizio, cioè \( m \ddot y + b \dot y + mg = 0 \).
Scriviamo il bilancio di forze:
\[ m\mathbf{g} -b\mathbf{v} = m\mathbf{a} \]
Questo bilancio è valido qualunque sia il sistema di riferimento, infatti l'equazione non esplicita in alcun modo delle componenti vettoriali; per scrivere l'equazione differenziale, però, occorre scrivere esplicitamente le componenti, pertanto dobbiamo distinguere due casi (a seconda del riferimento scelto):
(1) Asse y rivolto verso l'alto
In questo caso abbiamo
\[ \matrix{\mathbf{g} = -g\mathbf{e}_y \\ \mathbf{v} = v\mathbf{e}_y \\ \mathbf{a} = a\mathbf{e}_y} \]
Il bilancio di forze diventa allora
\[ -mg \mathbf{e}_y - bv \mathbf{e}_y = ma\mathbf{e}_y \quad \rightarrow \quad -mg - bv = ma \quad \rightarrow \quad ma + bv + mg = 0 \]
Osservazione: i segni di $ v $ ed $ a $, variando durante l'evoluzione del fenomeno, non sono esplicitati; a seconda dell'istante considerato, essi modificheranno opportunamente il verso del vettore associato.
Tale scelta non influisce in alcun modo sul bilancio. Per vederlo, si pensi alla condizione iniziale: velocità iniziale rivolta verso l'alto (quindi positiva rispetto al riferimento); per quanto detto, in tale istante la forza d'attrito risulta opposta al riferimento, come effettivamente accade.
Applicando poi lo stesso ragionamento nel caso di $ a $, si viene a scoprire cosa c'era di sbagliato nel mio ragionamento iniziale: all'istante iniziale le forze puntano tutte verso il basso, pertanto il vettore $ \mathbf{a} $ è rivolto anch'esso verso il basso. Il segno di $ a $ è dunque negativo. Se io scrivo $ -ma $ al posto di $ ma $, ottengo un'accelerazione positiva, concorde con l'asse $ y $ e quindi opposta a quella corretta.
(2) Asse y rivolto verso il basso
In questo caso abbiamo
\[ \matrix{\mathbf{g} = g\mathbf{e}_y \\ \mathbf{v} = v\mathbf{e}_y \\ \mathbf{a} = a\mathbf{e}_y} \]
Il bilancio di forze diventa allora
\[ mg \mathbf{e}_y - bv \mathbf{e}_y = ma\mathbf{e}_y \quad \rightarrow \quad mg - bv = ma \quad \rightarrow \quad ma + bv - mg = 0 \]
LA soluzione di Finzi è stringata, come tutti i suoi problemi. Eccola.
L'equazione in direzione $z$ l'abbiamo ormai capita.
L'equazione in direzione $z$ l'abbiamo ormai capita.
Interessante: una generalizzazione nel piano di quanto ci siamo raccontati finora.
Ciò che lo rende interessante è la curva in forma cartesiana che descrive il moto del grave (che sarebbe parabolico in assenza di attriti); sviluppando tale espressione in serie di Taylor troncata al second'ordine in un intorno delle condizioni iniziali, otteniamo
\[ z = \frac{v_{0z}}{v_{0x}}x-\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2 + o(x^2) \]
che è proprio l'espressione che descrive il moto parabolico senza considerare la resistenza dell'aria.
Grazie molte per gli aiuti.
Ciò che lo rende interessante è la curva in forma cartesiana che descrive il moto del grave (che sarebbe parabolico in assenza di attriti); sviluppando tale espressione in serie di Taylor troncata al second'ordine in un intorno delle condizioni iniziali, otteniamo
\[ z = \frac{v_{0z}}{v_{0x}}x-\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2 + o(x^2) \]
che è proprio l'espressione che descrive il moto parabolico senza considerare la resistenza dell'aria.
Grazie molte per gli aiuti.
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