Equazione di stato del viriale
Ciao, ho da poco dato un esame di chimica-fisica ma mi e rimasto un dubbio. L eq. di stato del viriale che esprime il fattore di compressibilita come una serie (che si puo dimostrare essere convergente) in $V_m$(volume molare):
$Z=(PV_m)/(RT)=1+(B_(2V)(T))/(V_m)+(B_(3V)(T))/(V_m)^2+...$
come si fa ad ottenere lo sviluppo in serie? e come si dimostra che e convergente?
vi prego toglietemi questo dubbio se riuscite....grazie ciao!
$Z=(PV_m)/(RT)=1+(B_(2V)(T))/(V_m)+(B_(3V)(T))/(V_m)^2+...$
come si fa ad ottenere lo sviluppo in serie? e come si dimostra che e convergente?
vi prego toglietemi questo dubbio se riuscite....grazie ciao!
Risposte
nessuno riesce ad aiutarmi?
Suppongo che sia una specie di sviluppo in serie di taylor centrato sulle condizoni di gas perfetto...
Comuqnue alla fine si tratta di coefficienti empirici.
Comuqnue alla fine si tratta di coefficienti empirici.
grazie per la risp...
e vero che si tratta di coeff. empirici pero a me interesserebbe capire come sviluppare con taylor o cmq come arrivare alla serie....sempre che nn sia troppo complicato...
e vero che si tratta di coeff. empirici pero a me interesserebbe capire come sviluppare con taylor o cmq come arrivare alla serie....sempre che nn sia troppo complicato...
Credo di essermi sbalgiato, non è una serie di taylor...
Una prima esposizione, anche se i problemi di convergenza dello sviluppo sono solo accennati, lo si può trovare in Equazioni di stato.
grazie mille cmax!!sono contento!Cmq, a prima vista, molto a prima vista sembra uno sviluppo di Taylor...
grazie mille cmax!!sono contento.....cmq a prima vista, senza leggere ancora sembra un sviluppo di Taylor....ciao!!
Sì, è uno sviluppo di Taylor anche se camuffato! 
Ad essere sviluppata è la funzine pressione P=P(1/v) in un intorno di zero,
posto v=V/n il volume occupato da una mole (n ovviamente numero di moli )
Riscritta la formula come P = RT/v +BV/v^2 + CV/v^3 + .....
Si vede subito che è equivalente a P= P(0) + P'(0)/v + P"(0)/2 *(1/v)^2 +.....
essendo P(0)V=nRT ovvero P(0)=RT/v (si noti che in o significa gas perfetto cioè mancanza di urti intermolecolari)
ed essendo V=nv
Sulla convergenza non mi farei troppi problemi perchè uno sviluppo all'infinito non ha molto senso (il coeff. B tiene conto degli urti fra 2 molecole, il C fra 3 ecc.) e dunque è semmai da valutare l'errore all'n-esima approssimazione.
Ti fo invece notare che lo sviluppo fatto non è molto rigoroso; meglio considerare P=P(w/V) essendo w il volume totale delle molecole. Cosicchè w/V è un NUMERO minore di 1
Si ha quindi una serie di potenze di ragione minore di 1 che converge con raggio di convergenza r=lim(a(n)/a(n+1)) Che questo r sia diverso da 0 non mi sembra fisicamente strano!
Ad essere sviluppata è la funzine pressione P=P(1/v) in un intorno di zero,
posto v=V/n il volume occupato da una mole (n ovviamente numero di moli )
Riscritta la formula come P = RT/v +BV/v^2 + CV/v^3 + .....
Si vede subito che è equivalente a P= P(0) + P'(0)/v + P"(0)/2 *(1/v)^2 +.....
essendo P(0)V=nRT ovvero P(0)=RT/v (si noti che in o significa gas perfetto cioè mancanza di urti intermolecolari)
ed essendo V=nv
Sulla convergenza non mi farei troppi problemi perchè uno sviluppo all'infinito non ha molto senso (il coeff. B tiene conto degli urti fra 2 molecole, il C fra 3 ecc.) e dunque è semmai da valutare l'errore all'n-esima approssimazione.
Ti fo invece notare che lo sviluppo fatto non è molto rigoroso; meglio considerare P=P(w/V) essendo w il volume totale delle molecole. Cosicchè w/V è un NUMERO minore di 1
Si ha quindi una serie di potenze di ragione minore di 1 che converge con raggio di convergenza r=lim(a(n)/a(n+1)) Che questo r sia diverso da 0 non mi sembra fisicamente strano!
I passaggi sono molto confusi, e mi pare anche poco corretti.
L'equazione di stato virale può essere espressa effettuando un sviluppo in serie di Taylor, e successivamente studiarla in un determinato intorno.
se consideri il fattore di compressibilità dipendente da pressione o densità, mantenendo costante la temperatura: $z=z(T,\rho)$ o $z=z(T,p)$
ricordo che $\rho=\hatV^(-1)$
Effettuando uno sviluppo in un intorno $\rho_0$:
$z(T,\rho)=z(T,\rho_0)+((\partialz)/(\partial(\rho)))_T(\rho-\rho_0)+...+1/(n!)((\partial^nz)/(\partial\rho^n))_T(\rho-\rho_0)^n$
stessa cosa vale per $z(T,p)$:
$z(T,p)=z(T,p_0)+((\partialz)/(\partialp))_T(p-p_0)+...+1/(n!)((\partial^nz)/(\partialp^n))_T(p-p_0)^n$
scegliendo un valore di intorno nel quale operare, ad esempio tendente a zero (quindi per un volume specifico tendente all'infinito e pressioni tendenti a zero, che equivale a definire uno stato di idealità), l'espressione diventa uno sviluppo di MacLaurin:
$lim_(\rho_0->0)z(T,\rho)=lim_(\rho_0->0)z(T,\rho_0)+lim_(\rho_0->0)((\partialz)/(\partial\rho))_T*\rho+lim_(\rho_0->0)1/2((\partial^2z)/(\partial\rho^2))_T*\rho^2+...+lim_(\rho_0->0)1/(n!)((\partial^nz)/(\partial\rho^n))_T*\rho^n$
Studiando il primo termine:
$lim_(\rho_0->0)z(T,\rho_0)=1$ per volumi tendenti all'infinito e pressioni tendenti a zero il fattore di compressibilità è pari a $1$ come per i gas perfetti.
Gli altri termini invece prendono il nome di secondo, terzo,.... coefficiente viriale.
$lim_(\rho_0->0)((\partialz)/(\partial\rho))_T=B(T)$
$lim_(\rho_0->0)1/2((\partial^2z)/(\partial\rho^2))_T=C(T)$
... e così via
Quindi l'equazione di stato viriale risulta essere scritta per la densità:
$z=1+B\rho+C\rho^2+...$
per la pressione:
$z=1+B'p+C'p^2+...$
Se provassimo a confrontare i termini uscirebbe che per $B=RTB'$, $C'=(C-B^2)/(R^2T^2)$, $D'=(D-3CB-3B^2)/(R^3T^3)$ e così via...
se consideri il fattore di compressibilità dipendente da pressione o densità, mantenendo costante la temperatura: $z=z(T,\rho)$ o $z=z(T,p)$
ricordo che $\rho=\hatV^(-1)$
Effettuando uno sviluppo in un intorno $\rho_0$:
$z(T,\rho)=z(T,\rho_0)+((\partialz)/(\partial(\rho)))_T(\rho-\rho_0)+...+1/(n!)((\partial^nz)/(\partial\rho^n))_T(\rho-\rho_0)^n$
stessa cosa vale per $z(T,p)$:
$z(T,p)=z(T,p_0)+((\partialz)/(\partialp))_T(p-p_0)+...+1/(n!)((\partial^nz)/(\partialp^n))_T(p-p_0)^n$
scegliendo un valore di intorno nel quale operare, ad esempio tendente a zero (quindi per un volume specifico tendente all'infinito e pressioni tendenti a zero, che equivale a definire uno stato di idealità), l'espressione diventa uno sviluppo di MacLaurin:
$lim_(\rho_0->0)z(T,\rho)=lim_(\rho_0->0)z(T,\rho_0)+lim_(\rho_0->0)((\partialz)/(\partial\rho))_T*\rho+lim_(\rho_0->0)1/2((\partial^2z)/(\partial\rho^2))_T*\rho^2+...+lim_(\rho_0->0)1/(n!)((\partial^nz)/(\partial\rho^n))_T*\rho^n$
Studiando il primo termine:
$lim_(\rho_0->0)z(T,\rho_0)=1$ per volumi tendenti all'infinito e pressioni tendenti a zero il fattore di compressibilità è pari a $1$ come per i gas perfetti.
Gli altri termini invece prendono il nome di secondo, terzo,.... coefficiente viriale.
$lim_(\rho_0->0)((\partialz)/(\partial\rho))_T=B(T)$
$lim_(\rho_0->0)1/2((\partial^2z)/(\partial\rho^2))_T=C(T)$
... e così via
Quindi l'equazione di stato viriale risulta essere scritta per la densità:
$z=1+B\rho+C\rho^2+...$
per la pressione:
$z=1+B'p+C'p^2+...$
Se provassimo a confrontare i termini uscirebbe che per $B=RTB'$, $C'=(C-B^2)/(R^2T^2)$, $D'=(D-3CB-3B^2)/(R^3T^3)$ e così via...
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