Equazione di Schoedinger
Ciao a tutti ragazzi sto cominciando a studiare la Meccanica Quantistica in particolare ora sto vedendo la quantizzazione dell'energia ma ci sono delle cose che non comprendo.
IN particolare devo studiare l'equazione :
$d^2/dx^2$$\psi(x)$ = $2m/k^2$[ V(x) - E ]$\psi(x)$
che è l'equazione di Schoedinger nel caso di indipendenza dal tempo.Il testo considera $V(x)$ come finito ovunque. A questo punto il libro fa una serie di considerazione che non sempre riesco ad afferrare ad esempio:
1)la derivata seconda della funzione d'onda $\psi(x)$ è finita poiche $V(x)$ è finita...perchè?idem la derivata prima e perciò la funzione d'onda è continua per tutte le x.
2)poichè sia V che E sono reali,se $\psi(x)$ è soluzione dell'equazione allora lo è anche il suo complesso coniugato.
Poi il testo come esempio considera un potenziale che tende ad un certo valore finito minore di zero per x che tende a meno infinito che poi ,al crescere di x, raggiunge un minimo assoluto e che al crescere ulteriore della variabile indipendente diventa prima positivo e poi tende asintoticamente ad un valore finito positivo per x che tende all'infinito.Detto questo discute i vari il primo dei quali è quello in cui :$E
una affermazione che proprio non riesco a comprendere è questa:
Poichè $V(x) - E > 0$ sempre per tutte le x è chiaro che una soluzione dell'equaz differenziale che rimanga finita ovunque non si puo trovare.IL meglio che possiamo fare è trovare tra le due soluzioni linearmente indipendenti una soluzione che tenda asintoticamente a 0 o da destra o da sinistra ma che poi dovrà saltare dall'altra parte dell'asse x.SI conclude dicendo che non ci sono soluzioni fisicamente accettabili per l'equaizone in questo caso........se qualcuno puo aiutarmi in qualche modo...
preciso che $k^2$ sarebbe $h$ tagliato che non so come si scriva in codice
IN particolare devo studiare l'equazione :
$d^2/dx^2$$\psi(x)$ = $2m/k^2$[ V(x) - E ]$\psi(x)$
che è l'equazione di Schoedinger nel caso di indipendenza dal tempo.Il testo considera $V(x)$ come finito ovunque. A questo punto il libro fa una serie di considerazione che non sempre riesco ad afferrare ad esempio:
1)la derivata seconda della funzione d'onda $\psi(x)$ è finita poiche $V(x)$ è finita...perchè?idem la derivata prima e perciò la funzione d'onda è continua per tutte le x.
2)poichè sia V che E sono reali,se $\psi(x)$ è soluzione dell'equazione allora lo è anche il suo complesso coniugato.
Poi il testo come esempio considera un potenziale che tende ad un certo valore finito minore di zero per x che tende a meno infinito che poi ,al crescere di x, raggiunge un minimo assoluto e che al crescere ulteriore della variabile indipendente diventa prima positivo e poi tende asintoticamente ad un valore finito positivo per x che tende all'infinito.Detto questo discute i vari il primo dei quali è quello in cui :$E
una affermazione che proprio non riesco a comprendere è questa:
Poichè $V(x) - E > 0$ sempre per tutte le x è chiaro che una soluzione dell'equaz differenziale che rimanga finita ovunque non si puo trovare.IL meglio che possiamo fare è trovare tra le due soluzioni linearmente indipendenti una soluzione che tenda asintoticamente a 0 o da destra o da sinistra ma che poi dovrà saltare dall'altra parte dell'asse x.SI conclude dicendo che non ci sono soluzioni fisicamente accettabili per l'equaizone in questo caso........se qualcuno puo aiutarmi in qualche modo...
preciso che $k^2$ sarebbe $h$ tagliato che non so come si scriva in codice
Risposte
Posso risponderti alla seconda domanda:
parti dall'equazione di Schrodinger e coniugala, ottieni:
[tex]\frac{d^2}{dx^2}\phi^*(x)=2\frac{m}{\hbar^2}\left[V(x)-E\right]\phi^*(x)[/tex]
Quindi vedi che il complesso coniugato di [tex]\phi[/tex] soddisfa alla stessa equazione di [tex]\phi[/tex].
Per fare l'h tagliato devi usare \hbar
parti dall'equazione di Schrodinger e coniugala, ottieni:
[tex]\frac{d^2}{dx^2}\phi^*(x)=2\frac{m}{\hbar^2}\left[V(x)-E\right]\phi^*(x)[/tex]
Quindi vedi che il complesso coniugato di [tex]\phi[/tex] soddisfa alla stessa equazione di [tex]\phi[/tex].
Per fare l'h tagliato devi usare \hbar
Per la prima domanda penso sia così: l'equazione di Schrodinger dice che la derivata seconda della [tex]$\psi$[/tex] eguaglia quell'altro termine, quindi se quell'altro termine è finito (ovvero se [tex]$V$[/tex] è finita) è finita anche [tex]$\frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2}$[/tex].
Però il secondo termine è moltiplicato per $\psi$, quindi se V è limitato e $\psi$ diverge in un punto, il secondo termine diverge
"lucagalbu":
Però il secondo termine è moltiplicato per $\psi$, quindi se V è limitato e $\psi$ diverge in un punto, il secondo termine diverge
Questo direi che non può succedere a meno di scegliere potenziali molto patologici.
Infatti un'equazione differenziale lineare [tex]$\sum_{n=0}^{N} p_{n}(x) y^{(n)}(x) = 0$[/tex]
ha soluzione [tex]y(x)[/tex] analitica se le funzioni [tex]p_{n}(x)[/tex] sono analitiche.
Edit: Ho dimenticato di specificare che deve essere [tex]p_{N}[/tex] costante, cosa che avviene nel caso in esame.
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