Equazione di Pauli
ciao a tutti,
sono alle prese con un dubbio che mi sta facendo impazzire. Sto studiando il procedimento per arrivare nel limite non relativistico dall'equazione di Dirac all'equazione di Pauli. Mi è quasi tutto chiaro a parte un punto che sinceramente mi crea non pochi grattacapi; il punto in questione è il seguente:
$ (vec sigma * vec pi)(vec sigma * vec pi)= vec pi^2 - e/ch vec sigma*vec nabla ^^ vec A $ ,
dove $ vec pi = vec p - e/c vecA $
e $ vec sigma $ sono le matrici di Pauli.
(h in realtà è h tagliato, non me lo faceva scrivere, ma questo non è importante).
ora, sinceramente non mi torna il tutto, perchè a quanto ho capito l'identità che usa per dimostrare l'asserto è questa:
$ (vec sigma * vec a)(vec sigma * vec b)= vec a * vec b + i vec sigma*( vec a ^^ vec b ) $
ma sostituendo $ vec pi $ al posto di a e b, nel secondo termine dovrebbe venire il prodotto vettoriale di $ vec pi $ con se stesso, che fa zero?!?!? no??
non riesco a capacitarmi di questa cosa!!
sono alle prese con un dubbio che mi sta facendo impazzire. Sto studiando il procedimento per arrivare nel limite non relativistico dall'equazione di Dirac all'equazione di Pauli. Mi è quasi tutto chiaro a parte un punto che sinceramente mi crea non pochi grattacapi; il punto in questione è il seguente:
$ (vec sigma * vec pi)(vec sigma * vec pi)= vec pi^2 - e/ch vec sigma*vec nabla ^^ vec A $ ,
dove $ vec pi = vec p - e/c vecA $
e $ vec sigma $ sono le matrici di Pauli.
(h in realtà è h tagliato, non me lo faceva scrivere, ma questo non è importante).
ora, sinceramente non mi torna il tutto, perchè a quanto ho capito l'identità che usa per dimostrare l'asserto è questa:
$ (vec sigma * vec a)(vec sigma * vec b)= vec a * vec b + i vec sigma*( vec a ^^ vec b ) $
ma sostituendo $ vec pi $ al posto di a e b, nel secondo termine dovrebbe venire il prodotto vettoriale di $ vec pi $ con se stesso, che fa zero?!?!? no??
non riesco a capacitarmi di questa cosa!!
Risposte
"skyluke89":
$ (vec sigma * vec a)(vec sigma * vec b)= vec a * vec b + i vec sigma*( vec a ^^ vec b ) $
ma sostituendo $ vec pi $ al posto di a e b, nel secondo termine dovrebbe venire il prodotto vettoriale di $ vec pi $ con se stesso, che fa zero?!?!? no??
No, perche' le componenti di [tex]\vec \pi[/tex] non commutano tra di loro (vengono fuori le derivate del potenziale vettore).
mm... continuo però a non raccapezzarmi.
Allora, scriviamo il tutto esplicitando bene; usando la formula abbiamo:
$ (vec sigma * vec pi)(vec sigma*vec pi) = vec pi^2 + ivecsigma(vec pi ^^ vec pi) = vec pi^2 +iepsilon_(ijk)sigma_k(p-e/cA)_i(p-e/cA)_j $
dove $ epsilon_(ijk) $ è il simbolo di Levi_Civita.
Fin qui ok. Ora calcoliamo esplicitamente questo prodotto, viene:
$ vec pi^2 + iepsilon_(ijk)sigma_k[p_ip_j + e^2/c^2A_iA_j-e/cA_ip_j - e/cp_iA_j] $
Da qui in poi ho parecchi problemi. Sui miei appunti quello che ho è che i primi 2 termini nella quadra scompaiono, e degli ultimi 2 per qualche strana ragione ne sopravvive uno solo... questo passaggio sinceramente non me lo spiego, perchè?!?
EDIT: ok, sui primi 2 termini ci sono, ho capito perchè scompaiono. Ma gli ultimi 2? perchè si riducono a uno solo?
Allora, scriviamo il tutto esplicitando bene; usando la formula abbiamo:
$ (vec sigma * vec pi)(vec sigma*vec pi) = vec pi^2 + ivecsigma(vec pi ^^ vec pi) = vec pi^2 +iepsilon_(ijk)sigma_k(p-e/cA)_i(p-e/cA)_j $
dove $ epsilon_(ijk) $ è il simbolo di Levi_Civita.
Fin qui ok. Ora calcoliamo esplicitamente questo prodotto, viene:
$ vec pi^2 + iepsilon_(ijk)sigma_k[p_ip_j + e^2/c^2A_iA_j-e/cA_ip_j - e/cp_iA_j] $
Da qui in poi ho parecchi problemi. Sui miei appunti quello che ho è che i primi 2 termini nella quadra scompaiono, e degli ultimi 2 per qualche strana ragione ne sopravvive uno solo... questo passaggio sinceramente non me lo spiego, perchè?!?
EDIT: ok, sui primi 2 termini ci sono, ho capito perchè scompaiono. Ma gli ultimi 2? perchè si riducono a uno solo?
"skyluke89":
$ vec pi^2 + iepsilon_(ijk)sigma_k[p_ip_j + e^2/c^2A_iA_j-e/cA_ip_j - e/cp_iA_j] $
Da qui in poi ho parecchi problemi. Sui miei appunti quello che ho è che i primi 2 termini nella quadra scompaiono, e degli ultimi 2 per qualche strana ragione ne sopravvive uno solo... questo passaggio sinceramente non me lo spiego, perchè?!?
EDIT: ok, sui primi 2 termini ci sono, ho capito perchè scompaiono. Ma gli ultimi 2? perchè si riducono a uno solo?
Devi pensare all'impulso come la derivata rispetto alla coordinata coniugata, quindi
[tex]p_i A_j = (p_i A_j) + A_j p_i[/tex]
ovvero
[tex]\partial_i A_j = (\partial_i A_j) + A_j \partial_i[/tex]
e ti devi immaginare questa espressione applicata a qualche funzione test.
Contraendo con il tensore antisimmetrico e sommando al resto della parentesi della tua espressione, hai che il termine
[tex]A_j \partial_i + A_i \partial_j[/tex]
si annulla (perche' simmetrico negli indici $i$ e $j$), e sopravvive solo
[tex]\epsilon_{kij}(\partial_i A_j)[/tex]
che e' il rotore di $\vec A$
scusa ma mi son perso già al primo passaggio... che l'impulso sia la derivata della coordinata coniugata ci sono, ma come hai tirato fuori la prima relazione?
"skyluke89":
scusa ma mi son perso già al primo passaggio... che l'impulso sia la derivata della coordinata coniugata ci sono, ma come hai tirato fuori la prima relazione?
Allora, facciamo le cose con calma.
Abbiamo l'espressione
[tex]\epsilon_{kij} (p_i A_j + A_i p_j)[/tex]
Ti ricordo che $p_i$ e $A_i$ sono operatori. Nella base delle coordinate si riducono rispettivamente alla derivata [tex]-i \hslash \partial_i[/tex] e alla moltiplicazione per la funzione $A_j(x)$.
Per fare le cose pulite, dimentichiamoci pero' delle derivate, scriviamo la espressione di sopra nella forma
[tex]\epsilon_{kij} (A_j p_i + [p_i,A_j] + A_i p_j)[/tex]
con $[a,b]$ il commutatore di $a$ e $b$.
Adesso, il termine
[tex]\epsilon_{kij} (A_j p_i + A_i p_j)[/tex]
si annulla perche' cio' che c'e' tra parentesi e' simmetrico negli indici $i$ e $j$, mentre [tex]\epsilon[/tex] e' antisimmetrico.
Rimane
[tex]\epsilon_{kij} [p_i,A_j][/tex]
A questo punto puoi andare nella base delle coordinate e ricordarti che
[tex][p_i,A_j] = -i \hslash \partial_i A_j(x)[/tex]
e ottieni il rotore.
In alternativa puoi andare da subito nella base delle coordinate, come dicevo nel precedente messaggio, solo che magari li' la notazione e' un pochino oscura. Cmq se segui la notazione vedi che nei miei due post ho scritto le stesse cose in due modi diversi.
ah, ok. Ora mi torna già di più. Grazie!
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