Equazione di Lagrange ed il Problema del Moto
Salve a tutti.
Vi espongo il problema. Sono uno studente-lavoratore della facoltà di Matematica e devo sostenere l'esame di Fisica-Matematica, non ho appunti e non ho mai seguito una lezione, ho già dato la prima parte ed ho studiato anche la seconda parte. Tuttavia in merito alla trattazione delle equazioni di Lagrange nonostante sappia quasi a memoria le parole del libro nella mia testa rimangono enormi dubbi.
Il libro da cui sto studiando questa parte(equazioni di Lagrange) è di Benettin-Gagliani.
Cosa non mi è chiaro.
Abbiamo l'equazione vettoriale di Newton $ma =F$ le sue componenti scalari sono $m$ $ddot x$ $=$ $F_x$, $m$ $ddot y$ $=$ $F_y$, $m$ $ddot z$ $=$ $F_z$, ora supponiamo di scrivere le $x,y,z$ in funzione di coordinate libere $q_1,q_2,q_3$ $in U sub R^3$. Facciamo le ipotesi che lo jacobiano abbia determinante diverso da zero, ciò ci assicura una base che garantisce l'invertibilità locale del cambiamento di coordinate. Abbiamo quindi le linee coordinate ed i vettori tangenti che sono $\partial P$ $/$ $\partial q_h$ $h = 1,...,n$
Primo problema: qualcuno ha qualche rappresentazione grafica per capire cosa sono visivamente queste due espressioni? (ho una mia idea ma rimane una mia idea)
Secondo problema: nel libro si dice che allora il modo migliore per trovare le equazioni scalari di Newton nelle nuove coordinate partendo dall'equazione vettoriale è quello di proiettare le equazione vettoriale sui vettori tangenti ottenendo:
$(ma -F)$ $\partial P$ $/$ $\partial q_h$ $=0$ $h =1,....,3$
come si fa a proiettare? Esiste una visualizzazione di questa proiezione che mi permetta di capire meglio cosa sta succedendo?
Terzo Problema: introdotti i vincoli in numero di $r$, siano essi ideali, cioè tali che le reazioni vincolari $\varphi$ siano del tipo: $\varphi$ $\partial P$ $/$ $\partial q_h$ $=0$ $h = 1,...n$. Siano $n = 3N- r$ i gradi di libertà. Inoltre consideriamo un sistema di $N$ punti materiali, allora le equazioni del moto sono $m_i*a_i = F_i + \varphi_i$ $i = 1,...,N$, questo sistema è un sistema di $3N$ equazioni, mentre le incognite sono $3N + n$. Perchè?
Evidentemente sono $3N$ perchè le componenti scalari per ogni punto sono $3$ e sono poi $N$ i punti materiali. I vincoli, o meglio le reazioni vincolari, invece che sono incognite sono $r$. Allora perchè le incognite sono $3N +n$ e non $3N +r$.
Non riesco ad enumerare correttamente il numero di equazioni ed il numero di incognite.
Si potrebbe fornire un esempio pratico di sistema determinato?
Ho l'esame tra 14 gg e per il tipo che sono se non capisco profondamente tutto non riesco a presentarmi all'esame.
Ho bisogno di qualche esempio e chiarimento
Grazie a tutti in anticipo
Vi espongo il problema. Sono uno studente-lavoratore della facoltà di Matematica e devo sostenere l'esame di Fisica-Matematica, non ho appunti e non ho mai seguito una lezione, ho già dato la prima parte ed ho studiato anche la seconda parte. Tuttavia in merito alla trattazione delle equazioni di Lagrange nonostante sappia quasi a memoria le parole del libro nella mia testa rimangono enormi dubbi.
Il libro da cui sto studiando questa parte(equazioni di Lagrange) è di Benettin-Gagliani.
Cosa non mi è chiaro.
Abbiamo l'equazione vettoriale di Newton $ma =F$ le sue componenti scalari sono $m$ $ddot x$ $=$ $F_x$, $m$ $ddot y$ $=$ $F_y$, $m$ $ddot z$ $=$ $F_z$, ora supponiamo di scrivere le $x,y,z$ in funzione di coordinate libere $q_1,q_2,q_3$ $in U sub R^3$. Facciamo le ipotesi che lo jacobiano abbia determinante diverso da zero, ciò ci assicura una base che garantisce l'invertibilità locale del cambiamento di coordinate. Abbiamo quindi le linee coordinate ed i vettori tangenti che sono $\partial P$ $/$ $\partial q_h$ $h = 1,...,n$
Primo problema: qualcuno ha qualche rappresentazione grafica per capire cosa sono visivamente queste due espressioni? (ho una mia idea ma rimane una mia idea)
Secondo problema: nel libro si dice che allora il modo migliore per trovare le equazioni scalari di Newton nelle nuove coordinate partendo dall'equazione vettoriale è quello di proiettare le equazione vettoriale sui vettori tangenti ottenendo:
$(ma -F)$ $\partial P$ $/$ $\partial q_h$ $=0$ $h =1,....,3$
come si fa a proiettare? Esiste una visualizzazione di questa proiezione che mi permetta di capire meglio cosa sta succedendo?
Terzo Problema: introdotti i vincoli in numero di $r$, siano essi ideali, cioè tali che le reazioni vincolari $\varphi$ siano del tipo: $\varphi$ $\partial P$ $/$ $\partial q_h$ $=0$ $h = 1,...n$. Siano $n = 3N- r$ i gradi di libertà. Inoltre consideriamo un sistema di $N$ punti materiali, allora le equazioni del moto sono $m_i*a_i = F_i + \varphi_i$ $i = 1,...,N$, questo sistema è un sistema di $3N$ equazioni, mentre le incognite sono $3N + n$. Perchè?
Evidentemente sono $3N$ perchè le componenti scalari per ogni punto sono $3$ e sono poi $N$ i punti materiali. I vincoli, o meglio le reazioni vincolari, invece che sono incognite sono $r$. Allora perchè le incognite sono $3N +n$ e non $3N +r$.
Non riesco ad enumerare correttamente il numero di equazioni ed il numero di incognite.
Si potrebbe fornire un esempio pratico di sistema determinato?
Ho l'esame tra 14 gg e per il tipo che sono se non capisco profondamente tutto non riesco a presentarmi all'esame.
Ho bisogno di qualche esempio e chiarimento
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
La prima domanda è una questione basilare di geometria differenziale. Se moltiplichi lo jacobiano della trasformazione $(q_1 , q_2 , q_3) -> (x , y , z)$ per un vettore tangente ad una curva nello spazio $(q_1 , q_2 , q_3)$ ottieni il corrispondente vettore tangente alla curva trasformata nello spazio $(x , y , z)$.
Nel tuo caso, quei vettori sono i vettori tangenti alle linee coordinate $t -> (t , 0 , 0) -> (x , y , z)$ , $t -> (0 , t , 0) -> (x , y , z)$ , $t -> (0 , 0 , t) -> (x , y , z)$.
Nel tuo caso, quei vettori sono i vettori tangenti alle linee coordinate $t -> (t , 0 , 0) -> (x , y , z)$ , $t -> (0 , t , 0) -> (x , y , z)$ , $t -> (0 , 0 , t) -> (x , y , z)$.
"anonymous_af8479":
La prima domanda è una questione basilare di geometria differenziale. Se moltiplichi lo jacobiano della trasformazione $(q_1 , q_2 , q_3) -> (x , y , z)$ per un vettore tangente ad una curva nello spazio $(q_1 , q_2 , q_3)$ ottieni il corrispondente vettore tangente alla curva trasformata nello spazio $(x , y , z)$.
Nel tuo caso, quei vettori sono i vettori tangenti alle linee coordinate $t -> (t , 0 , 0) -> (x , y , z)$ , $t -> (0 , t , 0) -> (x , y , z)$ , $t -> (0 , 0 , t) -> (x , y , z)$.
ti ringrazio questo punto mi è chiaro.
Rimane il terzo punto, quello dove ho maggiori difficoltà.
Dall'analisi dei testi relativi alle equazioni di lagrange sono arrivato alla conclusione che nel testo in cui ho studiato, vi sia un errore o quanto meno una non chiara esplicitazione del problema.
Infatti immaginiamo che vi siano $2$ punti non vincolati per determinare il moto abbiamo $6$ euqazioni scalari. E fin qui nulla di complicato. Immaginiamo adesso che questi punti siano vincolati ad una curva, cioè i gradi di libertà sono $n = 1$, allora per determinare il moto dei due punti non necessito più delle $6$ equazioni scalari, ma soltanto di $2$ equazioni scalari calcolate in funzione delle coordinate libere a cui devo aggiungere però le due equazioni relative alle reazioni vincolari. Quindi dovrei trovarmi sempre $6$ equazioni di cui $2$ del tipo $x_i(t)$ mentre $4$ sono relative alle $2$ reazioni vincolari calcolate per ogni punto. Abbiamo sempre $6$ equazioni ma di diverso tipo.
Ora mi chiedo perchè nel libro si dice che il numero di incognite è $3N +n$? Ciò non sembra vero, in quanto all'aumentare delle reazioni vincolari lo spazio delle configurazioni accessibili si restringe e quindi diminuisce il numero delle equazioni scalari necessarie per determinare il movimento $x(t)$ ($x$ vettore) ed aumenta il numero di equazioni riferite alle reazioni vincolari.
Voi che dite?
Grazie.
Le incognite sono $3N + n$ perché le $\varphi$ nelle $N$ eq. di Newton sono funzioni delle $n$ variabili $q$.
A me piacerebbe di più partire dalla lagrangiana già espressa nelle variabili corrispondenti ai giusti gradi di libertà ...
A me piacerebbe di più partire dalla lagrangiana già espressa nelle variabili corrispondenti ai giusti gradi di libertà ...
"anonymous_af8479":
Le incognite sono $3N + n$ perché le $\varphi$ nelle $N$ eq. di Newton sono funzioni delle $n$ variabili $q$.
A me piacerebbe di più partire dalla lagrangiana già espressa nelle variabili corrispondenti ai giusti gradi di libertà ...
Beh allora vuol dire che ancora non ho ben chiaro il problema.
Si potrebbe avere un esempio che mi faccia capire come si arriva a quel numero di equazioni?
Grazie
Il pendolo semplice mi sembrerebbe un buon esempio.
"anonymous_af8479":
Il pendolo semplice mi sembrerebbe un buon esempio.
come avevi suggerito ho visto il problema del pendolo semplice.
In questo problema abbiamo solo un grado di libertà. Ho visto più esempi in uno ho un sistema di due equazioni: la prima è l'equazione pura del moto, la seconda è invece quella relativa alla reazione vincolare rispetto a due assi.
Il mio professore invece in merito a questo problema ricava solo l'equazione pura. D'altra parte nell'esempio in cui compare il sistema non sembra ci sia necessità della 2° equazione in quanto sembrano due equazioni indipendenti ad una sola incognita.
La prima è $ms^('') = -mgsinalpha$, la seconda invece è $0 = -mgcosalpha + \varphi/t$ essendo la reazione vincolare ortogonale a $s$ e parallela a $t$. Il mio prof. invece per il problema del pendolo ricava solo la prima equazione, la cosa mi pare anche normale essendo che la seconda non aggiunge nulla.
Sono sempre più confuso.
Direi che ci siamo.
$(m ddot x , m ddot y) = (0 , -mg) + (-mg sin \alpha , mg cos \alpha)$ .
Si tratta di due equazione in tre incognite (come si diceva sopra).
Se per esempio $\alpha$ è piccolo, si ottiene, essendo $x = l \alpha$, l'oscillatore armonico:
$ddot x = -g / l x$.
Io, però, partirei dalla lagrangiana già espressa nella sola coordinata generalizzata $\alpha$ ...
$(m ddot x , m ddot y) = (0 , -mg) + (-mg sin \alpha , mg cos \alpha)$ .
Si tratta di due equazione in tre incognite (come si diceva sopra).
Se per esempio $\alpha$ è piccolo, si ottiene, essendo $x = l \alpha$, l'oscillatore armonico:
$ddot x = -g / l x$.
Io, però, partirei dalla lagrangiana già espressa nella sola coordinata generalizzata $\alpha$ ...
"anonymous_af8479":
Direi che ci siamo.
$(m ddot x , m ddot y) = (0 , -mg) + (-mg sin \alpha , mg cos \alpha)$ .
Si tratta di due equazione in tre incognite (come si diceva sopra).
Se per esempio $\alpha$ è piccolo, si ottiene, essendo $x = l \alpha$, l'oscillatore armonico:
$ddot x = -g / l x$.
Io, però, partirei dalla lagrangiana già espressa nella sola coordinata generalizzata $\alpha$ ...
Intanto grazie della risposta.
C'era effettivamente qualcosa non mi quadrava.
Infatti il mio professore nel desumere il moto del pendolo semplice fa uso dell'ascissa curvilinea e non si calcola la reazione vincolare, "violando" la teoria che vuole che nel desumere il moto $P =P(t)$ il sistema deve essere determinato, cioè tante equazioni quante sono le incognite. Da un file dell'INFN sul pendolo semplice si dice esplicitamente che la reazione vincolare che c'è nel pendolo semplice "non ha influenza sul moto".
Il fatto che non avevo capito bene è proprio quello. Cioè la reazione vincolare non serve per determinare il moto $P = P(t)$ ma è il moto che ci permette di calcolare la reazione vincolare.
E' come se avessimo due equazioni a due incognite, nella prima però una variabile è determinata, e solo nell'altra equazione compaiono entrambe le variabili.
Infatti, siccome $x = l sin \alpha , y = - l cos \alpha$, la lagrangiana del pendolo è semplicemente:
$L = 1/2 m l^2 dot alpha ^ 2 + m g l cos \alpha$
da cui si ricava direttamente (usando Eulero-Lagrange):
$l ddot \alpha = -g sin \alpha$.
$L = 1/2 m l^2 dot alpha ^ 2 + m g l cos \alpha$
da cui si ricava direttamente (usando Eulero-Lagrange):
$l ddot \alpha = -g sin \alpha$.
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