Equazione di Hamilton-Jacobi e funzione caratteristica

[Salvo19911]

Salve a tutti,
Da qualche giorno ho un problema sull'equazione di Hamilton-Jacobi e sulla separazione della azione in funz. caratteristica e energia per tempo.
Per comodità dei lettori, linko la pagina di wikipedia a riguardo : http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_ ... i_Hamilton

Espongo ora brevemente il quadro della situazione prima di passare al mio problema :
L'equazione di H-J è una equazione alle derivate parziali la cui soluzione è S=S(q,t) definita come l'azione valutata sul moto che "unisce" il punto (0,0) al punto (q,t) , e che riguarda anche la funzione Hamiltoniana H=H(p,q,t) del problema in considerazione :

H + $(delS)/(delt)$ = 0

Dove è inteso che H = H ° ($(delS)/(delq)$,q,t), così da ottenere a primo membro una funzione di q e t.
Nel caso in cui H non dipenda esplicitamente dal tempo, ossia H = H($(delS)/(delq)$,q) sappiamo che essa è una costante dei moti, ossia se H(p,q) ° (p(t),q(t)) = E che dipende solo dal moto in questione (ed è la sua energia).
Per come viene ricava l'equazione di H-J questo continua a valere, ossia se valuto H($(delS)/(delq)$,q) lungo un cammino (q(t),t) che risolve ad esempio le equazione di Eulero Lagrange, avrò di nuovo il risultato E che dipende solo dal moto.
(Forse ho usato una notazione poco ortodossa, nei libri/dispense dove ho studiato io non è mai sottolineato precisamente chi è funzione di chi e non sono mai scritte le varie composizioni, ma penso che il mio problema nasca proprio da qui quindi preferisco essere pedante.)




A questo punto arriviamo al mio problema, ossia scrivere S = W(q)-Et quando H non dipende dal tempo.
Vediamo come l'articolo di wikipedia che ho postato sopra procede :
H non dipende dal tempo, quindi posso scrivere H + $(delS)/(delt)$ = E + $(delS)/(delt)$ = 0 e ricavare S per integrazione rispetto a t nota la sua derivata parziale, ottenendo S(q,t) = W(q) - E*t.
Ora, è evidente che in questi passaggi è stata commessa un imprecisione : H non dipende dal tempo fintantochè la valuto su di un particolare moto, prendendo coppie a caso di (q,t) ottengo moti diversi con energie diverse.
Quindi deve essere sottinteso che sto valutando S su di un particolare moto di energia E, allora è possibile verificare (e non ricavare per integrazione peraltro) che una funzione della forma S(q(t),t) = W(q(t)) - E*t è effettivamente soluzione dell'eq H-J ristretta al particolare moto q(t).
Questa è la mia interpretazione, magari mi sbaglio (anche se il mio ex prof. di meccanica analitica me l'ha confermata).
Ciò detto, non capisco però a cosa serva questa "separazione", S ristretta ad un moto diventa una funzione di una sola variabile (diciamo T) col quale percorro il moto, non è più funzione di due variabili, non ha molto senso parlare di separazione, no?

Per il momento mi fermo qui e aspetto i vostri commenti e (spero) le vostre correzioni, mi rendo conto di essere stato un pò pesante e quindi ringrazio in anticipo chi si prenderà la briga di aiutarmi!

[zerolucat]

H non dipende dal tempo fintantochè la valuto su di un particolare moto, prendendo coppie a caso di (q,t) ottengo moti diversi con energie diverse.

se H non dipende esplicitamente dal tempo, essa è costante cioè d/dt H(p,q) =0 . Ovviamente se scegli condizioni iniziali differenti otterrai moti diversi , con energie diverse. Se vuoi quando scrivi H(p,q)=E è sottinteso che hai fissato delle condizioni iniziali per p e q compatibili con tale energia, per esempio per una particella libera (caso unidimensionale) p(0)=sqrt[2mE] mentre q(0) non viene influenzato da E; per un oscillatore armonico potrai scegliere per esempio p(0)=sqrt[2mE] e q(0)=0 . Comunque possiamo evitare di farci queste seghe mentali : infatti basta scegliere le condizioni iniziali e da queste determinare il valore specifico di E.

deve essere sottinteso che sto valutando S su di un particolare moto di energia E

se vuoi... comunque S(q,t) è la funzione generatrice "incognita" che devi determinare risolvendo l'eq. di HJ . Più che valutare S su un moto di energia E, io direi che S è un funzionale dipendente dal "percorso" q(t) , oltre che dipendere esplicitamente dal tempo. se H non dipende esplicitamente da t, puoi cercare una soluzione della forma
S(q,t)= W(q) + a t
si trova che la costante a non è altro che l'energia cambiata di segno, a=-H=-E

Ciò detto, non capisco però a cosa serva questa "separazione", S ristretta ad un moto diventa una funzione di una sola variabile (diciamo T) col quale percorro il moto, non è più funzione di due variabili, non ha molto senso parlare di separazione, no?

S non è una funzione di una sola variabile, infatti ha una dipendenza funzionale da q(t) (dove q(t) è un percorso che è soluzione dell'eq.del moto , se vuoi è un percorso arbitrario in quanto lo è la scelta delle condizioni iniziali) il tuo scopo è determinare qusta S. la separazione sta nel fatto che dall'eq. alle derivate parziali (in q e t) di HJ iniziale , hai separato la dipendenza temporale dalla dipendenza da q, ottenendo un'eq
H(∂W/∂q,q)-E=0
risolvendola otterrai W(q) e quindi S(q,t). Comunque potrei anche aver detto qualche bestialità , vista l'ora! in ogni caso ti consiglio di leggerti qualcosa dal Goldstone, li queste cose le faceva in maniera piuttosto chiara ciao