Equazione di Einstein
sto studiando sul carrol la derivazione dell'equazione di einstein e ad un certo punto mi perdo in un passaggio
che non riesco a capire( sicuramente è una domanda stupida questa)
ad un certo punto il libro dice:
contraendo entrambi i lati dell'equazione 4.30 $R_(\mu\nu)-1/2Rg_(\mu\nu)=kT_(\mu\nu)$
( dove per contrarre si intende moltiplicare il tutto per $g^(\mu\nu)$)
si ottiene
$R=-kT$ ($R$ è la traccia del tensore di ricci, $k$ è una costante di proporzionalità, T è la traccia del tensore energia impulso).
ora il problema è che non capisco perchè si ottiene questo risultato $R=-kT$
secondo me se moltiplico a destra e a sinistra per $g^(\mu\nu)$ dovrei ottenere:
$R-R/2=kT$ che iplica
$R=2kT$
dove sbaglio?
che non riesco a capire( sicuramente è una domanda stupida questa)
ad un certo punto il libro dice:
contraendo entrambi i lati dell'equazione 4.30 $R_(\mu\nu)-1/2Rg_(\mu\nu)=kT_(\mu\nu)$
( dove per contrarre si intende moltiplicare il tutto per $g^(\mu\nu)$)
si ottiene
$R=-kT$ ($R$ è la traccia del tensore di ricci, $k$ è una costante di proporzionalità, T è la traccia del tensore energia impulso).
ora il problema è che non capisco perchè si ottiene questo risultato $R=-kT$
secondo me se moltiplico a destra e a sinistra per $g^(\mu\nu)$ dovrei ottenere:
$R-R/2=kT$ che iplica
$R=2kT$
dove sbaglio?
Risposte
Baldo, la traccia di $\delta_\beta^\alpha = g^(\alpha\mu)g_(\mu\beta) $ vale $4$. La matrice $\delta$ è la matrice identica.
Quando fai la moltiplicazione per il tensore controvariante $g^(mu\nu)$ e poi contrai, ottieni proprio quello che ho scritto sopra come fattore del secondo termine a primo membro.
Come sai, lo scopo è quello di uguagliare il tensore di Einstein a primo membro $G_(\mu\nu)$ , che ha divergenza tensoriale identicamente nulla (per la identità di Bianchi, mi sembra di ricordare), al tensore $T_(\mu\nu)$ , con una costante di proporzionalita che deve essere tale da riprodurre, per campi deboli, l'equazione di campo newtoniana di Poisson : $nabla_2\Phi = 4\piG\rho$.
Quando fai la moltiplicazione per il tensore controvariante $g^(mu\nu)$ e poi contrai, ottieni proprio quello che ho scritto sopra come fattore del secondo termine a primo membro.
Come sai, lo scopo è quello di uguagliare il tensore di Einstein a primo membro $G_(\mu\nu)$ , che ha divergenza tensoriale identicamente nulla (per la identità di Bianchi, mi sembra di ricordare), al tensore $T_(\mu\nu)$ , con una costante di proporzionalita che deve essere tale da riprodurre, per campi deboli, l'equazione di campo newtoniana di Poisson : $nabla_2\Phi = 4\piG\rho$.

grazie mille nav