Equazione di d'Alambert

[justachemical]

Salve a tutti ragazzi,

vado subito al sodo con un problemino sull'equazione di d'Alambert o meglio sulle sue soluzioni per l'equazione dell'onda piana. Non riesco a capire perche la risoluzione di d^2E/dx^2 = d^2E/dt^2 * 1/v^2 ha equazione generale f(x+wt)+g(x-wt) Da dove viene fuori l'equazione risolutiva? Perchè?

Grazie
justachemical

[Black Magic]

Supponiamo che $E(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$ e proviamo che soddisfa l'equazione alle derivate parziali delle onde di D'Alembert.

Poniamo a tal scopo $z=x-vt$, si ha:

$(delf)/(delx)=(df)/(dz) (dz)/(dx)=(df)/(dz)$,

$(delf)/(delt)=(df)/(dz) (dz)/(dt) =- v*(delf)/(delx)=(df)/(dz)$,

Perché $(delz)/(delt)=-v$ e $(delz)/(delx)=1$

Quindi si ha:

$(del^2f)/(delt^2)=(del)/(delt) (delf)/(delt)=d/(dz)(- v*(delf)/(delx))(delz)/(delt)=-v*(d/(dz)(df)/(dz)) (dz)/(dt) $

Ma $(d/(dz)(df)/(dz))=(d^2f)/(dz^2)=(del^2f)/(delx^2)$ e $(dz)/(dt)=-v$, così abbiamo $v^2 = (-v)*(-v)$ a fattore e inoltre l'ultimo pezzo è uguale a $v^2 (del^2f)/(delx^2)$ e allora:

$(del^2f)/(delt^2)=v^2 (del^2f)/(delx^2)$

Questo implica che $f(x-vt)$ è soluzione dell'equazione di D'Alembert. Analogamente si vede che anche $g(x+vt)$ è soluzione della stessa equazione.
Possiamo ordunque concludere che, fisicamente, per il Principio di Sovrapposizione (o invocando la linearità dell'equazione di D'Alembert, in termini più matematici) una qualunque combinazione lineare di $f$ e $g$ è soluzione dell'equazione di D'Alembert.

[justachemical]

[quote][/quote]

Grazie mille, farò del mio meglio per capirlo

justachemical