Equazione del moto disco e punto materiale saldato
Buongiorno a tutti!
Ho qualche piccolo problema con questo esercizio in cui viene chiesto di scrivere l'equazione del moto di un sistema non proprio banale, ovvero questo:
Abbiamo un disco omogeneo di centro $O$, raggio $R$ e massa $M_1$ che poggia su un piano scabro inclinato di un angolo $vartheta=pi/6$.
Al bordo del disco è fissato un punto materiale di $P$ di massa $M_2$.
La massa del disco $M_1$ è uguale alla massa del punto materiale $M_2$, tuttavia le ho distinte per identificarle meglio quando scriverò le forze peso nelle cardinali.
$phi$ è l'angolo che la congiungente $bar(PO)$ forma con la verticale passante per $O$, il quale è definito crescente in senso antiorario (positivo uscente).
Il disco si muove di rotolamento puro.
Viene chiesto di scrivere l'espressione dell'accelerazione angolare in funzione dell'angolo $phi$ (mantenendo la convenzione positivo uscente) supponendo che il sistema parta da fermo con $phi=0$, ovvero con il punto $P$ lungo la verticale passante per $O$.
Se applico la cardinale con centro di riduzione in $C$, avrò solo due forze che mi daranno momento, ovvero:
$I_Cddot(phi)= -RM_1gsin(pi/6) - (Rsin(pi/6)-Rsin(phi))M_2g$
sapendo che $M_1=M_2$
$I_Cddot(phi)= -R/2Mg - R/2Mg +Rsin(phi)Mg $
$rArr ddot(phi)= (MgR (-1 + sin(phi)))/ I_C$
Non sto a scrivere chi è $I_C$ perché è semplice.
Problemino: Dal momento che l'accelerazione sarà in verso orario, e quindi negativa, nella terzultima equazione, avrei dovuto porre un segno negativo davanti a $I_Cddot(phi)$ ?
Avrei dovuto per caso scrivere:
$- I_Cddot(phi)= -RM_1gsin(pi/6) - (Rsin(pi/6)-Rsin(phi))M_2g$
?
Se sì, perché? Se no, perché?
Ho qualche piccolo problema con questo esercizio in cui viene chiesto di scrivere l'equazione del moto di un sistema non proprio banale, ovvero questo:
Abbiamo un disco omogeneo di centro $O$, raggio $R$ e massa $M_1$ che poggia su un piano scabro inclinato di un angolo $vartheta=pi/6$.
Al bordo del disco è fissato un punto materiale di $P$ di massa $M_2$.
La massa del disco $M_1$ è uguale alla massa del punto materiale $M_2$, tuttavia le ho distinte per identificarle meglio quando scriverò le forze peso nelle cardinali.
$phi$ è l'angolo che la congiungente $bar(PO)$ forma con la verticale passante per $O$, il quale è definito crescente in senso antiorario (positivo uscente).
Il disco si muove di rotolamento puro.
Viene chiesto di scrivere l'espressione dell'accelerazione angolare in funzione dell'angolo $phi$ (mantenendo la convenzione positivo uscente) supponendo che il sistema parta da fermo con $phi=0$, ovvero con il punto $P$ lungo la verticale passante per $O$.
Se applico la cardinale con centro di riduzione in $C$, avrò solo due forze che mi daranno momento, ovvero:
$I_Cddot(phi)= -RM_1gsin(pi/6) - (Rsin(pi/6)-Rsin(phi))M_2g$
sapendo che $M_1=M_2$
$I_Cddot(phi)= -R/2Mg - R/2Mg +Rsin(phi)Mg $
$rArr ddot(phi)= (MgR (-1 + sin(phi)))/ I_C$
Non sto a scrivere chi è $I_C$ perché è semplice.
Problemino: Dal momento che l'accelerazione sarà in verso orario, e quindi negativa, nella terzultima equazione, avrei dovuto porre un segno negativo davanti a $I_Cddot(phi)$ ?
Avrei dovuto per caso scrivere:
$- I_Cddot(phi)= -RM_1gsin(pi/6) - (Rsin(pi/6)-Rsin(phi))M_2g$
?
Se sì, perché? Se no, perché?
Risposte
No, l'accelerazione e' un'incognita. Non puoi dare un segno a un incognita a priori
Tu la imponi positiva. E poi, come in questo caso, ti accorgi che e' negativa.
Tu la imponi positiva. E poi, come in questo caso, ti accorgi che e' negativa.
"professorkappa":
No, l'accelerazione e' un'incognita. Non puoi dare un segno a un incognita a priori
Tu la imponi positiva. E poi, come in questo caso, ti accorgi che e' negativa.
Anche io ero di questa opinione, solo che un banalissimo esercizio è riuscito a farmi sorgere qualche dubbio.
Non sto a mostrarti un altro esercizio, ti faccio vedere solo una situazione in cui avevo sbagliato il verso dell'accelerazione.
Semplice caduta di un punto materiale di massa $m$ da un altezza $h$ con asse $y$ lungo la verticale crescente verso l'alto ed origine situata dove il punto materiale viene lasciato cadere. Presenza delle sole forza peso e forza di attrito viscoso dell'aria (n.b. assenza di vento).
io ho scritto, sbagliando:
$mddot(y)= -mg - gammadot(y)$
Avrei dovuto mettere un segno negativo davanti a $mddot(y)$ oppure davanti a $gammadot(y)$? Perché?
Avrei comunque dovuto decidere a priori il verso dell'accelerazione o della velocità.
Chi ti ha che e' sbagliata?
"professorkappa":
Chi ti ha che e' sbagliata?
E' sbagliata perché a giudicare dalla legge oraria, dovrei avere un termine positivo e l'altro negativo.
In questo caso:
$a=-g$
$Gamma=gamma/m$
Dovrei avere i due termini
$mG$
e
$gammadot(x)$
con segno opposto, nel caso in cui così non fosse, scriverei una legge oraria che da risultati sbagliati (ho verificato).
Mi piacerebbe vedere la verifica
La forza e' sempre opposta alla velocita', indipendentemente dal sistema di riferimento.
Nel tuo sistema di riferimento, usando la tua equazione, che e' corretta,
$ddoty+gammadoty+g=0$ (attento io chiamo $gamma$ il rapporto su $k/m$)
La risoluzione dell'equazione e'
$y=-g/gamma^2e^[-gammat]+g/gamma^2-g/gammat$
$v=g/gammae^[-gammat]-g/gamma$
La forza e' sempre opposta alla velocita', indipendentemente dal sistema di riferimento.
Nel tuo sistema di riferimento, usando la tua equazione, che e' corretta,
$ddoty+gammadoty+g=0$ (attento io chiamo $gamma$ il rapporto su $k/m$)
La risoluzione dell'equazione e'
$y=-g/gamma^2e^[-gammat]+g/gamma^2-g/gammat$
$v=g/gammae^[-gammat]-g/gamma$
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