Equazione d'Alemebert, onde viaggianti
Salve a tutti. Sto studiando l'ultimo argomento affrontato di meccanica (in maniera davvero sbrigativa e poco approfondita dal Professore per via della mancanza di tempo), ovvero i fenomeni ondulatori. (il libro adottato è il Focardi, lo scrivo giusto per informazione)
Il libro parte introducendo le funzioni che descrivono rispettivamente un'onda regressiva e progressiva:
$\xi(x,t) = f(x \pm vt)$ [$(1,2)$]
definendole funzioni arbitrarie dell'argomento $w = x \pm vt$. Poi afferma che la più semplice equazione soddisfatta da tali onde viaggianti è l'equazione di D'Alembert:
$\frac{\partial ^2 \xi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 \xi}{\partial t^2}$
E qui c'è il passaggio che non riesco a capire:
Il libro afferma quindi che in termini della variabile intermedia $w$ per le forme $1,2$ si hanno le seguenti relazioni:
$\frac{\partial \xi}{\partial t} = \pm v \frac{d \xi}{d w}$
$\frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{d \xi}{d w}$
Qualcuno può spiegarmi in maniera dettagliata come si ottengono queste ultime due per favore.
Io ho pensato che la prima sia la solita formula della derivata composta:
$\frac{\partial \xi}{\partial t} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} = v \frac{\partial \xi}{\partial x} $ però non mi convince sinceramente.
Chiedo scusa in anticipo se la domanda potrà sembrare stupida ma non riesco a venirne a capo purtroppo, siate clementi
Il libro parte introducendo le funzioni che descrivono rispettivamente un'onda regressiva e progressiva:
$\xi(x,t) = f(x \pm vt)$ [$(1,2)$]
definendole funzioni arbitrarie dell'argomento $w = x \pm vt$. Poi afferma che la più semplice equazione soddisfatta da tali onde viaggianti è l'equazione di D'Alembert:
$\frac{\partial ^2 \xi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 \xi}{\partial t^2}$
E qui c'è il passaggio che non riesco a capire:
Il libro afferma quindi che in termini della variabile intermedia $w$ per le forme $1,2$ si hanno le seguenti relazioni:
$\frac{\partial \xi}{\partial t} = \pm v \frac{d \xi}{d w}$
$\frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{d \xi}{d w}$
Qualcuno può spiegarmi in maniera dettagliata come si ottengono queste ultime due per favore.
Io ho pensato che la prima sia la solita formula della derivata composta:
$\frac{\partial \xi}{\partial t} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} = v \frac{\partial \xi}{\partial x} $ però non mi convince sinceramente.
Chiedo scusa in anticipo se la domanda potrà sembrare stupida ma non riesco a venirne a capo purtroppo, siate clementi
Risposte
Tu sai derivando rispetto al tempo una funzione $f(w(t))$. Usi la regola della catena, quindi trovi $(df)/(dw)(dw)/(dt)$. Ma $(dw)/(dt)$ fa $v$. Con la x è uguale.
Ah ok quindi è come avevo immaginato grazie mille per il chiarimento
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