Equaz. pendolo Sistema di Rif. non inerziale
buongiorno, ho il testo di un esercizio cosi' posto:

per quanto riguarda il punto 1 credo di non aver nessun problema, poi pero' quando mi viene chesto di scrivere il tutto secondo un sdr non inerziale vado un po' in crisi, nel senso che l'energia cinetica diventa quella classica del pendolo(\(\displaystyle 1/2*(ml)^2*(dθ/dt)^2 \)) e teoricamente devo aggiungere una forza d'inerzia che mi tenga conto dell'accelerazione del sistema giusto?ma come la devo scrivere?e da questa come si ricava il potenziale?

per quanto riguarda il punto 1 credo di non aver nessun problema, poi pero' quando mi viene chesto di scrivere il tutto secondo un sdr non inerziale vado un po' in crisi, nel senso che l'energia cinetica diventa quella classica del pendolo(\(\displaystyle 1/2*(ml)^2*(dθ/dt)^2 \)) e teoricamente devo aggiungere una forza d'inerzia che mi tenga conto dell'accelerazione del sistema giusto?ma come la devo scrivere?e da questa come si ricava il potenziale?
Risposte
Nel sistema accelerato le forze di inerzia, sommate al campo gravitazionale, generano un campo di forze che è ancora conservativo, quindi se scrivi opportunamente l'energia potenziale il contributo delle forze di inerzia è tenuto in conto.
certo, il mio problema era come scrivere il nuovo potenziale!cioe' come faccio a passare dalla forza d'inerzia a un potenziale?integrando e basta?
"Gioppetto":
certo, il mio problema era come scrivere il nuovo potenziale!cioe' come faccio a passare dalla forza d'inerzia a un potenziale?integrando e basta?
Puoi usare la definizione di energia potenziale, oppure, in maniera equivalente, considerare che il campo di forze totale che si genera è equivalente ad un "nuovo" campo di forze di tipo gravitazionale: basta sommare il campo di forze gravitazionali solito, verticale, con quello delle forze di inerzia, orizzontale... Quel campo di forza risultante avrà una accelerazione di gravità che è facile scrivere e da lì poi è immediato scrivere l'energia potenziale.
ok grazie, c'avevo pensato anche io dato che considerare un'accelerazione risulante non perpendicolare mi sembra l'unico modo per includere nel potenziale un termine misto nelle 2 velocita' delle coordinate libere che e' essenziale affinche le equazioni del moto coincidano..
Niente, ho provato ma non ne vengo fuori, sono proprio un asinaccio!
Ricapitolando, io dal sistema inerziale ottengo una Lagrangiana cosi' composta:
$L = 1/2*m*(a^2*t^2+l^2*dot O ^2+2*l*cosO*a*t*dot O)+m*g*l*cosO$
Mentre ciò e ho per il sistema non inerziale è una forza d'inerzia:
$F = - m*a \bar e_x$
che mi da un potenziale pari a
$V = m*a*x\bar e_x$ lungo il versore parallelo all'asse x
e un potenziale complessivo pari a:
$V = m*a*x\bar e_x - m*g*l*cosO\bar e_y $
Che però se poi sviluppo la Lagrangiana non mi porta alle stesse equazioni del moto trovate sopra, cosa sbaglio???
Ricapitolando, io dal sistema inerziale ottengo una Lagrangiana cosi' composta:
$L = 1/2*m*(a^2*t^2+l^2*dot O ^2+2*l*cosO*a*t*dot O)+m*g*l*cosO$
Mentre ciò e ho per il sistema non inerziale è una forza d'inerzia:
$F = - m*a \bar e_x$
che mi da un potenziale pari a
$V = m*a*x\bar e_x$ lungo il versore parallelo all'asse x
e un potenziale complessivo pari a:
$V = m*a*x\bar e_x - m*g*l*cosO\bar e_y $
Che però se poi sviluppo la Lagrangiana non mi porta alle stesse equazioni del moto trovate sopra, cosa sbaglio???
"Gioppetto":
e un potenziale complessivo pari a:
$V = m*a*x\bar e_x - m*g*l*cosO\bar e_y $
Il potenziale è una funzione scalare, perché qui è funzione di due versori?

Nel sistema di riferimento inerziale:
$[P-O=(1/2at^2+lsentheta)veci-lcosthetavecj] rarr [vec(v_P)=(at+ldotthetacostheta)veci+ldotthetasenthetavecj] rarr$
$rarr [T=1/2ma^2t^2+maldotthetacosthetat+1/2ml^2dottheta^2]$
$[V=-mglcostheta]$
$[L=1/2ma^2t^2+maldotthetacosthetat+1/2ml^2dottheta^2+mglcostheta] rarr [ddottheta+g/lsentheta+a/lcostheta=0]$
Nel sistema di riferimento non inerziale:
$[P-A=lsenthetaveci-lcosthetavecj] rarr [vec(v_P)=ldotthetacosthetaveci+ldotthetasenthetavecj] rarr$
$rarr [T=1/2ml^2dottheta^2]$
$[V=-mglcostheta+malsentheta]$
$[L=1/2ml^2dottheta^2+mglcostheta-malsentheta] rarr [ddottheta+g/lsentheta+a/lcostheta=0]$
$[P-O=(1/2at^2+lsentheta)veci-lcosthetavecj] rarr [vec(v_P)=(at+ldotthetacostheta)veci+ldotthetasenthetavecj] rarr$
$rarr [T=1/2ma^2t^2+maldotthetacosthetat+1/2ml^2dottheta^2]$
$[V=-mglcostheta]$
$[L=1/2ma^2t^2+maldotthetacosthetat+1/2ml^2dottheta^2+mglcostheta] rarr [ddottheta+g/lsentheta+a/lcostheta=0]$
Nel sistema di riferimento non inerziale:
$[P-A=lsenthetaveci-lcosthetavecj] rarr [vec(v_P)=ldotthetacosthetaveci+ldotthetasenthetavecj] rarr$
$rarr [T=1/2ml^2dottheta^2]$
$[V=-mglcostheta+malsentheta]$
$[L=1/2ml^2dottheta^2+mglcostheta-malsentheta] rarr [ddottheta+g/lsentheta+a/lcostheta=0]$
@speculor
C'è una cosa che mi sfugge, deve essere una banalità ma ancora non ne vengo fuori.
Avevo provato anch'io a risolvere ed ottenevo il tuo stesso risultato, c'èra un punto però che mi lasciava e mi lascia perplesso (per questo mi ero fermato) nel dedurre le equazioni del moto nel sistema di riferimento inerziale: quando derivi $\frac {\partial L}{\partial theta}$ a causa del termine $mal dot theta cos theta* t$ non viene fuori il termine $-mal dot theta sin theta* t $?
C'è una cosa che mi sfugge, deve essere una banalità ma ancora non ne vengo fuori.
Avevo provato anch'io a risolvere ed ottenevo il tuo stesso risultato, c'èra un punto però che mi lasciava e mi lascia perplesso (per questo mi ero fermato) nel dedurre le equazioni del moto nel sistema di riferimento inerziale: quando derivi $\frac {\partial L}{\partial theta}$ a causa del termine $mal dot theta cos theta* t$ non viene fuori il termine $-mal dot theta sin theta* t $?
@Faussone
Sicuramente una svista:
$[d/(dt)del/(deldottheta)(maldotthetacosthetat)=d/(dt)(malcosthetat)=malcostheta-maldotthetasenthetat]$
Sicuramente una svista:
$[d/(dt)del/(deldottheta)(maldotthetacosthetat)=d/(dt)(malcosthetat)=malcostheta-maldotthetasenthetat]$
"speculor":
@Faussone
Sicuramente una svista:
$[d/(dt)del/(deldottheta)(maldotthetacosthetat)=d/(dt)(malcosthetat)=malcostheta-maldotthetasenthetat]$

ecco fatalità stamattina nell'esame c'era e l'ho sbagliato!purtroppo mi sono trovato alla fine del tempo e me lo stavo quasi ricavando andando all'incontrario dalle eq. di Lagrange del sistema inerziale ma non ce l'ho fatta e fra l'altro ho scritto anche una mega castroneria xk ho voluto in ogni caso scrivere qualcosa!
Comunque ti rispondo io che il termine che hai scritto si elide con lo stesso termine che se ne esce dalla parte di Lagrangiana derivata anche temporalmente!

Comunque ti rispondo io che il termine che hai scritto si elide con lo stesso termine che se ne esce dalla parte di Lagrangiana derivata anche temporalmente!
ad ogni modo grazie!almeno adesso so la soluzione!