Eq Maxwell dielettrici: D è in ritardo rispetto ad E.
Ciao a tutti, stavo riordinando degli appunti di Fisica 2 e mi sono imbattuto nelle equazioni di Maxwell nei dielettrici:
div ($\vec D$) = $\rho$
div ($\vec B$) = 0
rot($\vec E$) = -$delvec B$/$delt$
rot($\vec H$) = -$delvec D$/$delt$ + $\vec J$
dove il vettore $vec D=\epsi vecE$ è l'induzione elettrica ed $\epsi=\epsi_o * \epsi_r$
$vecE = vecE(vecx, \omegat)$ è il campo elettrico.
Ora mi pongo in un caso particolare in cui $\rho$=0 e $\vec J$=0 (assenza di cariche di conduzione e di correnti).
Calcolo l'equazione d'onda e poi cerco soluzioni per "onda piana":
$\nabla^2 vec E -\mu\epsi * del^2vec E$/$del^2t^2$
la soluzione generale è:
E=$\phi(vec r)*e^-(i\omegat)$ e nel caso di onda piana (con x direzione di propagazione) si ha $\phi(x)=e^(ikx)$
Ora se ho capito bene nel caso di un dielettrico omogeneo, isotropo, e neutro il mio campo elettrico dipenderà solo da $\omega$ e t
E=E($\omega$,t), la velocità dell'onda nel dielettrico è minore di c (viene scalata dai termini $\mu_r$ e da $\epsi_r$) e dunque è più lenta.
Il mio dubbio sorge ora che voglio dimostrare o perlomeno far vedere, (dato che il termine $\epsi =\epsi(\omega)$ , che è dunque funzione della frequenza) che il vettore $vec D=\epsi(\omega) vecE(t)$ non dipendendo solamente dal campo E ma ance da $\epsi(\omega)$ subisce un ritardo rispetto alla variazione del campo.
Cioè che nei mezzi dispersivi si ha una risposta ritardata rispetto alla variazione di $vec E$ ($vec D$ assume ancora valori di quando il campo non era ancora cambiato cioè di istanti precedenti a quello attuale)
Pensavo che già sapere come sono legati $\epsi$ ed $\omega$ poteva essere un'idea. ma non ho ancora trovato nulla sui miei libri. Mentre continuo la ricerca chiedo a voi
Grazie a chi leggerà e magari risponderà.
Luca
div ($\vec D$) = $\rho$
div ($\vec B$) = 0
rot($\vec E$) = -$delvec B$/$delt$
rot($\vec H$) = -$delvec D$/$delt$ + $\vec J$
dove il vettore $vec D=\epsi vecE$ è l'induzione elettrica ed $\epsi=\epsi_o * \epsi_r$
$vecE = vecE(vecx, \omegat)$ è il campo elettrico.
Ora mi pongo in un caso particolare in cui $\rho$=0 e $\vec J$=0 (assenza di cariche di conduzione e di correnti).
Calcolo l'equazione d'onda e poi cerco soluzioni per "onda piana":
$\nabla^2 vec E -\mu\epsi * del^2vec E$/$del^2t^2$
la soluzione generale è:
E=$\phi(vec r)*e^-(i\omegat)$ e nel caso di onda piana (con x direzione di propagazione) si ha $\phi(x)=e^(ikx)$
Ora se ho capito bene nel caso di un dielettrico omogeneo, isotropo, e neutro il mio campo elettrico dipenderà solo da $\omega$ e t
E=E($\omega$,t), la velocità dell'onda nel dielettrico è minore di c (viene scalata dai termini $\mu_r$ e da $\epsi_r$) e dunque è più lenta.
Il mio dubbio sorge ora che voglio dimostrare o perlomeno far vedere, (dato che il termine $\epsi =\epsi(\omega)$ , che è dunque funzione della frequenza) che il vettore $vec D=\epsi(\omega) vecE(t)$ non dipendendo solamente dal campo E ma ance da $\epsi(\omega)$ subisce un ritardo rispetto alla variazione del campo.
Cioè che nei mezzi dispersivi si ha una risposta ritardata rispetto alla variazione di $vec E$ ($vec D$ assume ancora valori di quando il campo non era ancora cambiato cioè di istanti precedenti a quello attuale)
Pensavo che già sapere come sono legati $\epsi$ ed $\omega$ poteva essere un'idea. ma non ho ancora trovato nulla sui miei libri. Mentre continuo la ricerca chiedo a voi
Grazie a chi leggerà e magari risponderà.
Luca
Risposte
Per quel poco che mi ricordo io di ottica:
- Tu avrai un ritardo (sfasamento) tra D ed E solamente se $\epsilon$ è immaginario, e questo equivale ad un mezzo DISSIPATIVO. Diversa è la definizione di mezzo DISPERSIVO (che richiede invece solamente $\epsilon$ dipendente dalla frequenza);
- a questo punto il tutto dipende da come calcoli la $\epsilon(\omega)$, come dicevi..
Un modellino standard è considerare il materiale fatto da elettroni legati ai nuclei da una forza elastica con frequenza $\omega_o$ e vedere quale è la polarizzazione che si induce per il passaggio di un'onda monocromatica a frequenza $\omega$. Si deve impostare l'equazione del moto per ogni singolo elettrone e risolverla.
Nn so se ti ho risposto...
- Tu avrai un ritardo (sfasamento) tra D ed E solamente se $\epsilon$ è immaginario, e questo equivale ad un mezzo DISSIPATIVO. Diversa è la definizione di mezzo DISPERSIVO (che richiede invece solamente $\epsilon$ dipendente dalla frequenza);
- a questo punto il tutto dipende da come calcoli la $\epsilon(\omega)$, come dicevi..
Un modellino standard è considerare il materiale fatto da elettroni legati ai nuclei da una forza elastica con frequenza $\omega_o$ e vedere quale è la polarizzazione che si induce per il passaggio di un'onda monocromatica a frequenza $\omega$. Si deve impostare l'equazione del moto per ogni singolo elettrone e risolverla.
Nn so se ti ho risposto...
Ciao, grazie anzitutto per la risposta.
Ciò che mi hai suggerito l'ho svolto or ora per un mezzo isotropo lineare. ho considerato una porzione di materiale con N atomi neutri per unità di volume; ogni atomo è costituito da un elettr di massa m e carica q legata ad un nucleo, di carica opposta, con una molla di constante elastica $m*\omega_0^2$. sui trascura ovviamente il moto del nucleo. La magnetizzazione è nulla. Sull'elettrone agisce il campo elettrico $E_x(\omega t)$ e in più si può tener conto di una forza di smorzamento $m*b vecv$ , e quindi di un trasferimento dell'energia per via degli urti con le altre particelle (il calore).
$E_x = E_0 cos(\omega*t - \phi)$
Nella soluzione del moto $x(t) = Acos(\omega*t - \phi) +Bsen(\omega*t - \phi)$
con $Acos(\omega*t - \phi)$ parte elastica (in fase con la forza eccitatrice) e $Bsen(\omega*t - \phi)$ parte assorbitiva (in quadratura o sfasata di 90°, con la forza eccitatrice)
Poichè
$A=(qE_0)/m * (\omega_0^2 - \omega^2)/((\omega_0^2 - \omega^2)^2 +b^2*\omega^2)$
e
$B=(qE_0)/m * (b\omega)/((\omega_0^2 - \omega^2)^2 +b^2*\omega^2)$
ricavo le susciettività della parte elastica e assorb. dato che
$\chi_(elastica) = (NqA)/E_0$
$\chi_(assorb) = (NqB)/E_0$
e poi banalmente la costante dielettrica
$\epsi =1+ \chi = 1+(\chi_(elastica) + i*\chi_(assorb))$
(ovviamente compare una $i$ perchè ho poi fatto tutto lo studio dei campi nel caso "complesso" dove fare uso dei numeri complessi (formule di eulero ecc) può portare qualche semplificazione algebrica nella descrizione delle onde elettromagnetiche: $E_x= E_0 * e^i(kx-\omegat)$. nel caso ovviamente che ho menzionato $rho=0$ ed $vecJ=0$)
E dunque è giustissimo il tuo ragionamento. Ero in realtà alla ricerca di un metodo più "A VISTA" nel senso una relazione del tipo
$vec D(\tau)= QUALCOSA * \epsi(t-t^|) vecE(t))$ che faccia vedere subito che il vettore D è in ritardo rispetto ad E si evidenzi subito la differenza temporale tra i due, proprio per non dover entrare nei casi particolari (elettrone-molla-nucleo ecc)
Cmq grazissime per il suggerimento
Ciò che mi hai suggerito l'ho svolto or ora per un mezzo isotropo lineare. ho considerato una porzione di materiale con N atomi neutri per unità di volume; ogni atomo è costituito da un elettr di massa m e carica q legata ad un nucleo, di carica opposta, con una molla di constante elastica $m*\omega_0^2$. sui trascura ovviamente il moto del nucleo. La magnetizzazione è nulla. Sull'elettrone agisce il campo elettrico $E_x(\omega t)$ e in più si può tener conto di una forza di smorzamento $m*b vecv$ , e quindi di un trasferimento dell'energia per via degli urti con le altre particelle (il calore).
$E_x = E_0 cos(\omega*t - \phi)$
Nella soluzione del moto $x(t) = Acos(\omega*t - \phi) +Bsen(\omega*t - \phi)$
con $Acos(\omega*t - \phi)$ parte elastica (in fase con la forza eccitatrice) e $Bsen(\omega*t - \phi)$ parte assorbitiva (in quadratura o sfasata di 90°, con la forza eccitatrice)
Poichè
$A=(qE_0)/m * (\omega_0^2 - \omega^2)/((\omega_0^2 - \omega^2)^2 +b^2*\omega^2)$
e
$B=(qE_0)/m * (b\omega)/((\omega_0^2 - \omega^2)^2 +b^2*\omega^2)$
ricavo le susciettività della parte elastica e assorb. dato che
$\chi_(elastica) = (NqA)/E_0$
$\chi_(assorb) = (NqB)/E_0$
e poi banalmente la costante dielettrica
$\epsi =1+ \chi = 1+(\chi_(elastica) + i*\chi_(assorb))$
(ovviamente compare una $i$ perchè ho poi fatto tutto lo studio dei campi nel caso "complesso" dove fare uso dei numeri complessi (formule di eulero ecc) può portare qualche semplificazione algebrica nella descrizione delle onde elettromagnetiche: $E_x= E_0 * e^i(kx-\omegat)$. nel caso ovviamente che ho menzionato $rho=0$ ed $vecJ=0$)
E dunque è giustissimo il tuo ragionamento. Ero in realtà alla ricerca di un metodo più "A VISTA" nel senso una relazione del tipo
$vec D(\tau)= QUALCOSA * \epsi(t-t^|) vecE(t))$ che faccia vedere subito che il vettore D è in ritardo rispetto ad E si evidenzi subito la differenza temporale tra i due, proprio per non dover entrare nei casi particolari (elettrone-molla-nucleo ecc)
Cmq grazissime per il suggerimento
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