Eq. diffrenziale secondo ordine non linare
Salve,
mi trovo alle prese della soluzione della seguente "banale" eq. diff. del secondo ordine non lineare:
r'' = k/r^2 con le condizioni al contorno r(0 ) = R e v(0) = 0
con Wolfram esce la soluzione molto complicata e capisco come fare per calcolare le due costanti.
Grazie
mi trovo alle prese della soluzione della seguente "banale" eq. diff. del secondo ordine non lineare:
r'' = k/r^2 con le condizioni al contorno r(0 ) = R e v(0) = 0
con Wolfram esce la soluzione molto complicata e capisco come fare per calcolare le due costanti.
Grazie
Risposte
Salve TeM,
ti ringrazio tantissimo della tua soluzione al mio problema l'h0 visto tutto e (siccome con le eq. differerenz. non ho un buon rapporto) trovo chiara la soluzione.... solo che andando a mettere i numeri sotto la radice quadrata viene fuori un numero negativo un quanto R/r è maggiore di uno. chiarisco da dove nasce l'eq.
Prob. un satellite geostazionario (alla quota R = 42 *10^6 m (dal centro della terra) viene fermato improvvisamente da un urto e quindi con velocità nulla inizia a cadere sulla terra -moto rettilineo, con accelerazione variabile -(raggio terrestre Rt= 6.4*10^6 m) quindi il suo moto va da R a Rt (considerando l'asse x uscente dal centro della terra): l'eq. del moto è ovviamente mr'' = - GMm/r^2
da cui l'eq. diff. r'' = - k/r^2 (con k= GM = 40*10^13).
oppure l'eq. va scritta come da me prima proposta : r''= k/r^2??
Secondo te dove sta l'inghippo?
Possibile che il calcolo del tempo di caduta di un "sasso" da grande altezza (circa 7 volte il raggio terrestre) sia così complicato?
ti ringrazio tantissimo della tua soluzione al mio problema l'h0 visto tutto e (siccome con le eq. differerenz. non ho un buon rapporto) trovo chiara la soluzione.... solo che andando a mettere i numeri sotto la radice quadrata viene fuori un numero negativo un quanto R/r è maggiore di uno. chiarisco da dove nasce l'eq.
Prob. un satellite geostazionario (alla quota R = 42 *10^6 m (dal centro della terra) viene fermato improvvisamente da un urto e quindi con velocità nulla inizia a cadere sulla terra -moto rettilineo, con accelerazione variabile -(raggio terrestre Rt= 6.4*10^6 m) quindi il suo moto va da R a Rt (considerando l'asse x uscente dal centro della terra): l'eq. del moto è ovviamente mr'' = - GMm/r^2
da cui l'eq. diff. r'' = - k/r^2 (con k= GM = 40*10^13).
oppure l'eq. va scritta come da me prima proposta : r''= k/r^2??
Secondo te dove sta l'inghippo?
Possibile che il calcolo del tempo di caduta di un "sasso" da grande altezza (circa 7 volte il raggio terrestre) sia così complicato?
Eureka!!
ho trovato la soluzione nello Spiegel "Meccanica razionale" collana Schaum's - Prob. 5.99 - lo mette come esercizio (che è il simmetrico di quello di cui stiamo parlando, ossia pone la domanda quanto tempo impiegherà un grave ad arrivare ad altezza h con una velocità di partenza pari a vo) e da solo la risposta che è $t=((Rt+h)/(2g))^(1/2)((h/(Rt))^(1/2)+((Rt+h)/(2R))arcos((Rt-h)/(Rt+h))$ ho fatto il calcolo (qui Rt è il raggio terrestre ed h è la quota raggiunta rispetto alla superficie, ossia rispetto alla discussione precedente h = R - Rt) numerico è viene il valore giusto ossia t = 4.1 h. Rimane il problema di capire come si fa ad arrivare a tale soluzione......ti sarei molto grato se mi potessi aiutare..
ho trovato la soluzione nello Spiegel "Meccanica razionale" collana Schaum's - Prob. 5.99 - lo mette come esercizio (che è il simmetrico di quello di cui stiamo parlando, ossia pone la domanda quanto tempo impiegherà un grave ad arrivare ad altezza h con una velocità di partenza pari a vo) e da solo la risposta che è $t=((Rt+h)/(2g))^(1/2)((h/(Rt))^(1/2)+((Rt+h)/(2R))arcos((Rt-h)/(Rt+h))$ ho fatto il calcolo (qui Rt è il raggio terrestre ed h è la quota raggiunta rispetto alla superficie, ossia rispetto alla discussione precedente h = R - Rt) numerico è viene il valore giusto ossia t = 4.1 h. Rimane il problema di capire come si fa ad arrivare a tale soluzione......ti sarei molto grato se mi potessi aiutare..
Avevo già visto il problema in un altro post.
Il satellite è in un campo di forze centrali, e conservativo se trascuriamo la resistenza del mezzo.
In questo caso, esistono due integrali primi del moto, espressi dalla conservazione dell'energia meccanica e dalla conservazione del momento angolare: quest'ultimo è inizialmente nullo, e tale deve rimanere.
In queste stesse condizioni di moto si trovano i corpi celesti che orbitano attorno ad altri corpi, ad es. la Terra o altri pianeti che orbitano attorno al Sole. È il problema di Keplero. Ma qui è più semplice.
Quando la massa $ m$ del corpo orbitante è molto più piccola della massa $M$ che crea il campo, si può procedere supponendo che sia un problema "ad un sol corpo" , invece se le due masse sono paragonabili occorre trattarlo come "problema a due corpi". Nel nostro caso, è sufficiente il primo approccio.
Immaginiamo allora che il satellite sia nel piano equatoriale ad altezza $H = R_t + h $ dal centro della Terra. Esso cade radialmente nella ipotesi che venga fermato, quindi assumiamo un asse nel piano che congiunge il satellite al centro Terra e ruoti insieme con essa. Su questo asse assumiamo una coordinata radiale $r$, l'unica variabile nel moto.
Allora, l'integrale dell'energia di cui dicevo prima non è altro, per essere semplici, che il principio di conservazione dell'energia meccanica : L'energia potenziale iniziale diminuisce man mano trasformandosi in energia cinetica. Quindi si può scrivere :
$-G(Mm)/H = -G(Mm)/r + 1/2mv^2$----------(1)
e cioè eliminando $m$ :
$1/2v^2 = (GM)/r - (GM)/H ===> 2GM(1/r - 1/H) = v^2 ===> v = (dr)/(dt) = sqrt((2GM)/H)*sqrt(H/r-1) $ ------(2)
Ora pongo : $H/r = x ===> r = H/x ===> dr = - H/x^2 dx $
questa sostituzione mi consente di scrivere la (2) così :
$ dt = -(H/x^2dx )/ (sqrt((2GM)/H)*sqrt(x-1)) $
da cui :
$dt = - sqrt(H^3/(2GM))* (dx)/(x^2sqrt(x-1)) $------(3)
a questo punto, devo integrare da $0$ a $T$ al 1º membro, e corrispondentemente devo integrare il 2º membro tra $H-R_t$ e $R_t$ il secondo membro.
E qui sta il difficile…..
Ho provato a calcolare l'integrale indefinito di $(dx)/(x^2sqrt(x-1)) $ con l'integratore di Wolfram , e mi dà questo :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false
cioè l'integrale indefinito vale, secondo Wolfram :
$ sqrt(x-1)/x + arctg(sqrt(x-1)$ --------(4)
quindi basterebbe calcolare il valore dell'integrale nei due limiti di integrazione detti, per avere il valore de tempo di caduta.
Be' ,non ci crederai, ma sto trovando difficoltà a fare questo !
Non trovo invece difficoltà se faccio variare $x$ tra i limiti $+1$ e $+infty$, cioe in pratica se faccio riferimento al centro della Terra come termine e della caduta. In questo caso, quell'integrale dovrebbe valere $-\pi/2$ , e quindi in definitiva avrei:
$T = \pi/2*sqrt(H^3/(2GM))$ ------(5)
e questo ci ricorda un po' la terza legge di Keplero….Non ho fatto il calcolo numerico in questo caso.
Forse Tem ci aiuta nel calcolo, lui è bravo...
Il satellite è in un campo di forze centrali, e conservativo se trascuriamo la resistenza del mezzo.
In questo caso, esistono due integrali primi del moto, espressi dalla conservazione dell'energia meccanica e dalla conservazione del momento angolare: quest'ultimo è inizialmente nullo, e tale deve rimanere.
In queste stesse condizioni di moto si trovano i corpi celesti che orbitano attorno ad altri corpi, ad es. la Terra o altri pianeti che orbitano attorno al Sole. È il problema di Keplero. Ma qui è più semplice.
Quando la massa $ m$ del corpo orbitante è molto più piccola della massa $M$ che crea il campo, si può procedere supponendo che sia un problema "ad un sol corpo" , invece se le due masse sono paragonabili occorre trattarlo come "problema a due corpi". Nel nostro caso, è sufficiente il primo approccio.
Immaginiamo allora che il satellite sia nel piano equatoriale ad altezza $H = R_t + h $ dal centro della Terra. Esso cade radialmente nella ipotesi che venga fermato, quindi assumiamo un asse nel piano che congiunge il satellite al centro Terra e ruoti insieme con essa. Su questo asse assumiamo una coordinata radiale $r$, l'unica variabile nel moto.
Allora, l'integrale dell'energia di cui dicevo prima non è altro, per essere semplici, che il principio di conservazione dell'energia meccanica : L'energia potenziale iniziale diminuisce man mano trasformandosi in energia cinetica. Quindi si può scrivere :
$-G(Mm)/H = -G(Mm)/r + 1/2mv^2$----------(1)
e cioè eliminando $m$ :
$1/2v^2 = (GM)/r - (GM)/H ===> 2GM(1/r - 1/H) = v^2 ===> v = (dr)/(dt) = sqrt((2GM)/H)*sqrt(H/r-1) $ ------(2)
Ora pongo : $H/r = x ===> r = H/x ===> dr = - H/x^2 dx $
questa sostituzione mi consente di scrivere la (2) così :
$ dt = -(H/x^2dx )/ (sqrt((2GM)/H)*sqrt(x-1)) $
da cui :
$dt = - sqrt(H^3/(2GM))* (dx)/(x^2sqrt(x-1)) $------(3)
a questo punto, devo integrare da $0$ a $T$ al 1º membro, e corrispondentemente devo integrare il 2º membro tra $H-R_t$ e $R_t$ il secondo membro.
E qui sta il difficile…..
Ho provato a calcolare l'integrale indefinito di $(dx)/(x^2sqrt(x-1)) $ con l'integratore di Wolfram , e mi dà questo :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false
cioè l'integrale indefinito vale, secondo Wolfram :
$ sqrt(x-1)/x + arctg(sqrt(x-1)$ --------(4)
quindi basterebbe calcolare il valore dell'integrale nei due limiti di integrazione detti, per avere il valore de tempo di caduta.
Be' ,non ci crederai, ma sto trovando difficoltà a fare questo !
Non trovo invece difficoltà se faccio variare $x$ tra i limiti $+1$ e $+infty$, cioe in pratica se faccio riferimento al centro della Terra come termine e della caduta. In questo caso, quell'integrale dovrebbe valere $-\pi/2$ , e quindi in definitiva avrei:
$T = \pi/2*sqrt(H^3/(2GM))$ ------(5)
e questo ci ricorda un po' la terza legge di Keplero….Non ho fatto il calcolo numerico in questo caso.
Forse Tem ci aiuta nel calcolo, lui è bravo...
Grazie Tem, hai precisato quello che mi sfuggiva nel calcolo dell'integrale definito. Ovviamente occorre moltiplicare per $-1$ , questo era chiaro dalla presenza del "$-$ " davanti all'espressione .
Ora sarei curioso di sapere da Zorrok se, mettendo i numeri, il risultato è giusto. Penso di sì .
Naturalmente non è difficile trovare la velocità di impatto, dalle formule scritte.
Ora sarei curioso di sapere da Zorrok se, mettendo i numeri, il risultato è giusto. Penso di sì .
Naturalmente non è difficile trovare la velocità di impatto, dalle formule scritte.
Salve,
innanzitutto mi scuso perché nella mia prima risposta avevo detto che veniva un numero negativo sotto radice, ovviamente cos’ non è perché Rt (raggio della terra=6400 km) è minore di R (42000 km), quindi ho rifatto i conti e viene il risultato corretto di 4.1 h a patto di prendere il k al denominatore del primo termine positivo e non negativo come compare nella formula.
Ora c’è da dire che l’eq. differenziale corretta è r’’= - k/r2 cioè il secondo membro va preso con il segno meno (infatti l’accelerazione “punta” verso le x decrescenti (forza centrale), quindi se non è chiedere troppo direi che si potrebbe provare a risolvere la r’’ = - k/r2
(che Wolfram non esegue).
Poi ho provato a confrontare la soluzione di TeM con quella dello Spiegel (si tratta di sostituire R con Rt+h) tornerebbe tutto tranne l’argomento dell’arcos. Si dovrebbe avere arcos (Rt/R)^(1/2) = arcos ((Rt-h) / Rt+h)), e mettendo al posto di R, Rt+h al primo membro non riesco a vedere (o proprio non c’è) l’uguaglianza.
Ciliegina sulla torta ho provato ad usare dalla definizione di velocità v = - dx/dt (il segno meno per la motivazione di cui sopra, "forza centrale") il calcolo di t inserendo il valore di v che ho preso dalla conservazione dell'energia $(1/2)mv^2-GMm/x^2=-GMm/R^2$ il risultato dell'integrazione di dx/v(x) = dt da $t =(1/k)(R^(3/2)arctanR^(1/2)((R-Rt)/(R*Rt))^(1/2) +R*Rt*((R-Rt)/(R*Rt))^(1/2))$ il risultato numerico è corretto ma non vedo come rendere le due formule uguali.
innanzitutto mi scuso perché nella mia prima risposta avevo detto che veniva un numero negativo sotto radice, ovviamente cos’ non è perché Rt (raggio della terra=6400 km) è minore di R (42000 km), quindi ho rifatto i conti e viene il risultato corretto di 4.1 h a patto di prendere il k al denominatore del primo termine positivo e non negativo come compare nella formula.
Ora c’è da dire che l’eq. differenziale corretta è r’’= - k/r2 cioè il secondo membro va preso con il segno meno (infatti l’accelerazione “punta” verso le x decrescenti (forza centrale), quindi se non è chiedere troppo direi che si potrebbe provare a risolvere la r’’ = - k/r2
(che Wolfram non esegue).
Poi ho provato a confrontare la soluzione di TeM con quella dello Spiegel (si tratta di sostituire R con Rt+h) tornerebbe tutto tranne l’argomento dell’arcos. Si dovrebbe avere arcos (Rt/R)^(1/2) = arcos ((Rt-h) / Rt+h)), e mettendo al posto di R, Rt+h al primo membro non riesco a vedere (o proprio non c’è) l’uguaglianza.
Ciliegina sulla torta ho provato ad usare dalla definizione di velocità v = - dx/dt (il segno meno per la motivazione di cui sopra, "forza centrale") il calcolo di t inserendo il valore di v che ho preso dalla conservazione dell'energia $(1/2)mv^2-GMm/x^2=-GMm/R^2$ il risultato dell'integrazione di dx/v(x) = dt da $t =(1/k)(R^(3/2)arctanR^(1/2)((R-Rt)/(R*Rt))^(1/2) +R*Rt*((R-Rt)/(R*Rt))^(1/2))$ il risultato numerico è corretto ma non vedo come rendere le due formule uguali.
Sei veramente bravo, i miei complimenti, per curiosità sei un matematico o un fisico?
Io sono un fisico ormai quasi attempato…(magari con qualche neurone in meno sic!) ma sempre attivo!
Ora tutto torna fra le due formule, ma se non si scoccio oltre ogni limite, come si fa a verificare che anche la formula che viene fuori dalla conservazione dell'energia che qui riporto:
$t =(1/k)(R^(3/2)arctanR^(1/2)((R-Rt)/(R*Rt))^(1/2) +R*Rt*((R-Rt)/(R*Rt))^(1/2))$
è riconducibile alla tua?
e dulcis in fundo per chiudere l'aspetto teorico del problema:
Quesito di ordine teorico
In generale se abbiamo una accelerazione variabile con x e vogliamo calcolare il tempo con cui un punto materiale percorre una data distanza rettilinea, partendo dalla relazione generale dv = a(x) dt e quindi dx/dt = a(x) dt separando le variabili si avrebbe dx/a(x) = (dt)^2: ed ora come si dovrebbe procedere?
Estraendo la radice e poi integrando? quindi si avrebbe t = Intgrale(dx/a(x))^(1/2)
Grazie tantissimo.
Io sono un fisico ormai quasi attempato…(magari con qualche neurone in meno sic!) ma sempre attivo!
Ora tutto torna fra le due formule, ma se non si scoccio oltre ogni limite, come si fa a verificare che anche la formula che viene fuori dalla conservazione dell'energia che qui riporto:
$t =(1/k)(R^(3/2)arctanR^(1/2)((R-Rt)/(R*Rt))^(1/2) +R*Rt*((R-Rt)/(R*Rt))^(1/2))$
è riconducibile alla tua?
e dulcis in fundo per chiudere l'aspetto teorico del problema:
Quesito di ordine teorico
In generale se abbiamo una accelerazione variabile con x e vogliamo calcolare il tempo con cui un punto materiale percorre una data distanza rettilinea, partendo dalla relazione generale dv = a(x) dt e quindi dx/dt = a(x) dt separando le variabili si avrebbe dx/a(x) = (dt)^2: ed ora come si dovrebbe procedere?
Estraendo la radice e poi integrando? quindi si avrebbe t = Intgrale(dx/a(x))^(1/2)
Grazie tantissimo.
idem
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Si parla di cariche elettriche ma l'equazione differenziale è la stessa.
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Allora in bocca al lupo per la tua carriera da prossimo Ingegnere!
Ora tutto torna. grazie ancora.
Ora tutto torna. grazie ancora.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo