Eq differenziale II ordine e moto armonico semplice
Salve a tutti,
Il mio libro di Fisica, parlando di moto armonico semplice, in cui presuppone un moto in una dimensione e senza attrito di una massa $m$ collegata ad una molla, si propone di ricavare l'espressione della sua legge oraria $x(t)$, partendo dal fatto che l'unica forza agente è la forza elastica $F_x=-kx$, dove $k$ è la costante elastica della molla. Quindi
${(F=ma),(F=-kx):} \qquad \Rightarrow \qquad ma=-kx \qquad \Rightarrow \qquad \frac{d^2x(t)}{dt^2}+\frac{k}{m}x(t)=0$
Qui, il libro fa semplicemente notare, come per magia, che una soluzione può essere proprio
(1) $x(t)=A\cos{\omega t+\phi}$,
dove $A$ e $\phi$ sono costanti arbitrarie. Verificare la soluzione che descrive il moto armonico semplice è piuttosto facile, a questo punto. Ma qui cerco di applicare le mie reminescenze di analisi e chiedo aiuto a voi.
------------------------------
È già impostata una equazione differenziale omogenea del II ordine, per cui posso scrivere il polinomio caratteristico ($\lambda^2+2b\lambda+c=0$) come $\lambda^2+\frac{k}{m}=0$, dal momento che $b=0$ e $c=k/m$. Questo implica che $\sqrt{b^2-c}<0$ e ci si riconduce al "terzo caso", come mi ricordo che veniva definito.
Prendendo direttamente la formula $x(t)=e^{-bt}[c_1\cos(\nu t)+c_2\sen(\nu t)]$, dove $\nu=\sqrt{c-b^2}$, e applicandola al nostro caso ($b=0$ e $c=k/m$), si dovrebbe avere
(2) $x(t)=c_1\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+c_2\sen(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$.
Ora, questa è una soluzione della equazione differenziale di partenza, ma anche imponendo $\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega$, come fa anche il libro, non riesco a capire come trasformare una somma lineare di seno e coseno, come l'eq. (2), in un prodotto di una variabile $A$ per un coseno con un argomento come $\omega t+\phi$, come l'eq. (1).
Cosa devo imporre per trasformare la (2) che ho ottenuto nella (1) che fornisce il testo?
Il mio libro di Fisica, parlando di moto armonico semplice, in cui presuppone un moto in una dimensione e senza attrito di una massa $m$ collegata ad una molla, si propone di ricavare l'espressione della sua legge oraria $x(t)$, partendo dal fatto che l'unica forza agente è la forza elastica $F_x=-kx$, dove $k$ è la costante elastica della molla. Quindi
${(F=ma),(F=-kx):} \qquad \Rightarrow \qquad ma=-kx \qquad \Rightarrow \qquad \frac{d^2x(t)}{dt^2}+\frac{k}{m}x(t)=0$
Qui, il libro fa semplicemente notare, come per magia, che una soluzione può essere proprio
(1) $x(t)=A\cos{\omega t+\phi}$,
dove $A$ e $\phi$ sono costanti arbitrarie. Verificare la soluzione che descrive il moto armonico semplice è piuttosto facile, a questo punto. Ma qui cerco di applicare le mie reminescenze di analisi e chiedo aiuto a voi.
------------------------------
È già impostata una equazione differenziale omogenea del II ordine, per cui posso scrivere il polinomio caratteristico ($\lambda^2+2b\lambda+c=0$) come $\lambda^2+\frac{k}{m}=0$, dal momento che $b=0$ e $c=k/m$. Questo implica che $\sqrt{b^2-c}<0$ e ci si riconduce al "terzo caso", come mi ricordo che veniva definito.
Prendendo direttamente la formula $x(t)=e^{-bt}[c_1\cos(\nu t)+c_2\sen(\nu t)]$, dove $\nu=\sqrt{c-b^2}$, e applicandola al nostro caso ($b=0$ e $c=k/m$), si dovrebbe avere
(2) $x(t)=c_1\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+c_2\sen(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$.
Ora, questa è una soluzione della equazione differenziale di partenza, ma anche imponendo $\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega$, come fa anche il libro, non riesco a capire come trasformare una somma lineare di seno e coseno, come l'eq. (2), in un prodotto di una variabile $A$ per un coseno con un argomento come $\omega t+\phi$, come l'eq. (1).
Cosa devo imporre per trasformare la (2) che ho ottenuto nella (1) che fornisce il testo?
Risposte
I tuoi argomenti sono perfettamente corretti, la risposta comunque è molto semplice.
Ti faccio notare che:
[tex]Asin(\omega t+ \phi)= A \bigl[sin(\omega t)cos(\phi) + cos(\omega t ) sin(\phi) ][/tex]
Quindi, per confronto con l'espressione da te ricavata, si ha:
$ c_{1}=A sin (\phi); \quad c_{2}=A cos(\phi) $
Ti faccio notare che:
[tex]Asin(\omega t+ \phi)= A \bigl[sin(\omega t)cos(\phi) + cos(\omega t ) sin(\phi) ][/tex]
Quindi, per confronto con l'espressione da te ricavata, si ha:
$ c_{1}=A sin (\phi); \quad c_{2}=A cos(\phi) $
Grazie della risposta,
immaginavo che c'entrassero la formule di addizione di seno e coseno! Non le ho mai digerite, purtroppo. Un solo appunto, però: nella risposta tu parli di $A\sin(\omega t+\phi)$ e lo scomponi con la formula di addizione del seno, mentre la legge oraria che esprime il mio libro di testo utilizza il coseno ed è
(1) $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$,
per cui l'eventuale formula di addizione ($\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$), applicata alla (1), darebbe
$x(t)=A\cos(\omega t+\phi) = A\cos(\phi)\cos(\omega t)-A\sin(\phi)\sin(\omega t) = c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)$,
imposti $c_1=A\cos(\phi)$ e $c_2=-A\sin(\phi)$. Volendo ricavare $A$ e $\phi$ dalle costanti arbitrarie $c_1$ e $c_2$, verrebbe fuori che
${(c_1=A\cos(\phi)),(c_2=-A\sin(\phi)):} \qquad {(A=\frac{1}{\cos(\phi)}\cdot c_1),(\sin(\phi)=-\frac{c_2}{A}):} \qquad {(A=\frac{c_1}{\cos[\arcsin(-\frac{c_2}{A})]}),(\phi=\arcsin(-\frac{c_2}{A})):}$
$\text{passaggi omessi} \qquad {(A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}),(\phi=-\arcsin(\frac{c_2}{A})):}$
È tutto corretto?
immaginavo che c'entrassero la formule di addizione di seno e coseno! Non le ho mai digerite, purtroppo. Un solo appunto, però: nella risposta tu parli di $A\sin(\omega t+\phi)$ e lo scomponi con la formula di addizione del seno, mentre la legge oraria che esprime il mio libro di testo utilizza il coseno ed è
(1) $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$,
per cui l'eventuale formula di addizione ($\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$), applicata alla (1), darebbe
$x(t)=A\cos(\omega t+\phi) = A\cos(\phi)\cos(\omega t)-A\sin(\phi)\sin(\omega t) = c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)$,
imposti $c_1=A\cos(\phi)$ e $c_2=-A\sin(\phi)$. Volendo ricavare $A$ e $\phi$ dalle costanti arbitrarie $c_1$ e $c_2$, verrebbe fuori che
${(c_1=A\cos(\phi)),(c_2=-A\sin(\phi)):} \qquad {(A=\frac{1}{\cos(\phi)}\cdot c_1),(\sin(\phi)=-\frac{c_2}{A}):} \qquad {(A=\frac{c_1}{\cos[\arcsin(-\frac{c_2}{A})]}),(\phi=\arcsin(-\frac{c_2}{A})):}$
$\text{passaggi omessi} \qquad {(A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}),(\phi=-\arcsin(\frac{c_2}{A})):}$
È tutto corretto?
Sì è corretto. Comunque capisci bene che è la stessa cosa scegliere seno o coseno in quella formula, in quanto per passare dall'uno all'altro basta aggiungere o sottrarre $ \pi/2 $ al fattore di fase.
"alephy":
Sì è corretto. Comunque capisci bene che è la stessa cosa scegliere seno o coseno in quella formula, in quanto per passare dall'uno all'altro basta aggiungere o sottrarre $ \pi/2 $ al fattore di fase.
Certo, secondo la relazione $\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)$, se non erro. Grazie ancora della risposta!
C'è un modo formale di ringraziare un utente, un +1, o qualcosa del genere come in altri forum? Se no, grazie comunque.
Ah ah non che io sappia! Figurati, qui è un piacere disinteressato chiarire i dubbi altrui e i propri...a presto;)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo