$\epsilon_{i,j,k}$ e contrazioni degli indici

[Ariz93]

Salve ! Sono in ricerca di una qualsiasi dispensa o libro che mi aiuti nella marmaglia degli indici! Vi faccio degli esempi:
Mi ritrovo con roba del tipo:

$ \epsilon_{i,j,k} \epsilon_{k,l,m} $

$- \delta_{k,j}\epsilon_{i,k,h}$
c'è un modo fast (magari con anche una certa spiegazione) per capire come usare bene questi indici?
c'è un modo per avere l'occhio giusto sulle sommatorie ,una certa regola sulle contrazioni degli indici . Insomma qualcosa i può essere d'aiuto. Magari conoscete dispense o libri .

[mathbells]

[xdom="mathbells"]Titolo corretto. Sei avvisato.[/xdom]

[Ariz93]

"mathbells":[xdom="mathbells"]Titolo corretto. Sei avvisato.[/xdom]

Era solo uno modo di scherzare però capisco comunque che non il regolamento parla chiaro e quindi mi scuso.

[Sk_Anonymous]

Stai parlando, immagino, di indici controvarianti e indici covarianti, di tensori, della regola di Einstein circa la sommatoria su indici ripetuti in alto e in basso….Di materiale ce n'è tanto, ma bisogna capire di che cosa hai bisogno in particolare, e da dove devi partire, e dove vuoi arrivare.

Tanto per cominciare, ti dico che scrivere $\epsilon_(i,j,k)$ e cose simili che hai scritto, non ha proprio senso.
Le virgole messe in basso hanno un significato ben preciso nel calcolo tensoriale, precisamente stanno a significare una derivata parziale : $f,_\alpha = (partialf)/(partialx^\alpha)$.

[Ariz93]

"navigatore":Stai parlando, immagino, di indici controvarianti e indici covarianti, di tensori, della regola di Einstein circa la sommatoria su indici ripetuti in alto e in basso….Di materiale ce n'è tanto, ma bisogna capire di che cosa hai bisogno in particolare, e da dove devi partire, e dove vuoi arrivare.

Tanto per cominciare, ti dico che scrivere $\epsilon_(i,j,k)$ e cose simili che hai scritto, non ha proprio senso.
Le virgole messe in basso hanno un significato ben preciso nel calcolo tensoriale, precisamente stanno a significare una derivata parziale : $f,_\alpha = (partialf)/(partialx^\alpha)$.

Intanto ti ringrazio per la pazienza navigatore,le virgole le ho messe per sbaglio, di certo non sottointendevo una dervata parziale. In quanto a ciò che mi serve....il problema è questo: il nostro professore di meccanica analitica ci ha solo accennato ai tensori , e non ci ha detto come lavorare con gli indici, cioè tutte le regole sui tensori simmetrici e antisimmetrici, sulle contrazioni degli indici.
Di quello che hai scritto so solo la regola di Einstein circa la sommatoria sugli indici ripetuti. Mi servirebbe un modo di procedere per saper operare su prodotti tra $\epsilon_(ijk)\epsilon_(lmn) $ nei vari casi in cui possono sussistere uguaglianze tra indici , tipo m=j e n=i oppure solo un indice uguale. Anche prodotti $\epsilon_(ijk) \delta_(lm) $ sempre analizzando diversi casi oppure prodotti $\delta_(ij) \delta_(kl) $. Spero di essere stato chiaro. Ti dico quel che so così magari è più facile per te darmi un consiglio: conosco le definizioni di $\epsilon_(ijk)$ e $ \delta_(lm) $

[Sk_Anonymous]

"Ariz93":……..
In quanto a ciò che mi serve....il problema è questo: il nostro professore di meccanica analitica ci ha solo accennato ai tensori , e non ci ha detto come lavorare con gli indici, cioè tutte le regole sui tensori simmetrici e antisimmetrici, sulle contrazioni degli indici….

e per me questo non è giusto, non vi aiuta certo! È come dare un computer nelle mani di una gentile anziana signora, che non ci sa mettere le mani!
C'è tutto da imparare sui tensori! Alla fine, quando hai imparato, ti accorgi che ti bastano poche regole, ed è tutta questione di districarsi tra gli indici in alto e in basso, capire che se un indice è ripetuto sopra e sotto devi fare la somma su quell'indice….per esempio, se hai un prodotto del genere :

$A^(ji)B_(lmk) $

e devi saturare l'indice $i$ con l'indice $k$, cioè devi calcolare:

$A^(jk)B_(lmk) $

questo significa che devi scrivere la somma :

$A^(j1)B_(lm1) + A^(j2)B_(lm2) + A^(j3)B_(lm3) + …..+A^(jn)B_(lmn) = C_(lm)^j$

dove fai variare l'indice $k$ da $1$ fino a $n$ , essendo $n$ la dimensione dello spazio in cui operi.
Questo ora scritto è un tensore di rango 3, inferiore di due unita al rango 5 del prodotto iniziale dato $A^(ji)B_(lmk) $ .
E se oltre a saturare il secondo indice superiore col terzo indice inferiore devi saturare, per esempio, anche $j$ con $l$ (oppure con $m$ ), devi ripetere la storiella : porre gli indici uguali, cioè fare la somma di $n$ addendi facendo variare $j$ e $l$ ( oppure m) da $1$ ad $n$.
Un tensore è simmetrico rispetto a due indici, se scambiando i due indici il tensore non cambia segno:

$A_(…jk….) = A_(…kj…)$

invece è antisimmetrico (rispetto a quei due indici) se cambia segno: $A_(…jk….) = -A_(…kj…)$

Comunque, prova a cercare in rete "calcolo tensoriale", trovi molto.
E magari comincia proprio dal testo di Lussardi-Amadori, che sono "sicuramente" dei nostri ! :

https://www.matematicamente.it/staticfil ... a-cap3.pdf

Non spaventarti della massa di simboli che vedi scritti, si tratta essenzialmente di capire, quando si ragiona per componenti, come si trasformano le componenti controvarianti e come si trasformano le componenti covarianti di un tensore, passando da un sistema di coordinate ad un altro.

Il nostro amico Arrigo magari potrà darti qualche dritta maggiore. Me lo auguro!

[Ariz93]

Eh...lo so navigatore ma purtroppo io posso sol che rimboccarmi e maniche.
Grazie per la guida la leggerò per bene .

Intanto per vedere se ho capito ti posto alcune conclusioni a cui sono arrivato:

$\epsilon_(ijk)$ è un tensore antisimmetrico.
$ \delta_(lm) $ è un tensore simmetrico.

preso ad esempio il prodotto:

$ \delta_(jk) \epsilon_(lmk)$ ottengo : $ \delta_(jk) \epsilon_(lmk)= \delta_(j1) \epsilon_(lm1)+\delta_(j2) \epsilon_(lm2)+\delta_(j3) \epsilon_(lm3)= \epsilon_(jlm)$

un altro esempio è: $-\delta_(jk) \epsilon_(kml)=-\delta_(jk) \epsilon_(lkm)= \epsilon_(jlm)$

[Sk_Anonymous]

"Ariz93":……...
Intanto per vedere se ho capito ti posto alcune conclusioni a cui sono arrivato:

$ \epsilon_(ijk) $ è un tensore antisimmetrico.

Naturalmente siamo in 3 dimensioni.

Il simbolo di Ricci $ \epsilon_(ijk) $ è uno pseudo tensore cartesiano, che vale $+1$ se $(ijk)$ è una permutazione pari di $1,2,3$ , vale $-1$ se $(ijk)$ è una permutazione dispari di $1,2,3$ . È uguale a $0$ se due indici qualsiasi sono uguali.
In pratica :

$\epsilon_(123) = \epsilon_(231) = \epsilon_(312) = +1 $
$\epsilon_(213) = \epsilon_(132) = \epsilon_(321) = -1 $

Quindi è chiaro che se prendi due indici e li scambi di posto passi da permutazione pari a dispari o viceversa. È antismmetrico.
Può servire ad esempi per definire le componenti di un prodotto vettoriale :

$\vecc = \veca\times\vecb ===> c_i = \epsilon_(ijk)a_jb_k$

Quando fai questo prodotto, devi tenere fermo $i$. Poi, per ogni $i$, tieni fermo $j$ e dai a $k$ tutti e tre i valori. E questo lo devi ripetere per ogni valore di $j$ !!! E poi cambi $i$…..
È un po' un casino, ma che ci vuoi fare! In totale, devi scrivere 27 termini, cioè 9 termini per ogni $i$ ! Alla fine, vedi che saltano fuori solo i due addendi noti.

$\delta_(lm)$ è un tensore simmetrico.

Si tratta del simbolo $\delta$ di Kronecker, che è simmetrico, vale $+1$ se $l=m$ , vale $0$ se $l$ è diverso da $m$.

In pratica : $ \delta_(11) = \delta_(22) = \delta_(33) = 1 $ . Tutti gli altri sono nulli.

preso ad esempio il prodotto:

$ \delta_(jk) \epsilon_(lmk) $ ottengo : $ \delta_(jk) \epsilon_(lmk)= \delta_(j1) \epsilon_(lm1)+\delta_(j2) \epsilon_(lm2)+\delta_(j3) \epsilon_(lm3)= \epsilon_(jlm) $

un altro esempio è: $ -\delta_(jk) \epsilon_(kml)=-\delta_(jk) \epsilon_(lkm)= \epsilon_(jlm) $

Però come ti ho detto, di questi $\delta_(jk)$ sono diversi da $1$ solo quelli per cui : $j=k$ . Quindi per es. nel primo prodotto, se fosse $j=2$ , rimane solo il termine contenente : $\delta_(22) = 1$

Nell'ultimo esempio, puoi scrivere : $ -\delta_(jk) \epsilon_(kml)=-\delta_(jk) \epsilon_(mlk)= \delta_(jk)\epsilon_(lmk) $

e ti sei ricondotto al caso di prima.

Guardati questi link, il secondo è semplice :
http://www.dica.unipg.it/DICA/common/pd ... 2_6003.pdf

http://w3.uniroma1.it/marittima/idraulica/3_TENSORI.pdf

Ti auguro buon divertimento!

[Ariz93]

Grazie di tutto navigatore.... purtroppo mi spiace di averti fatto scrivere molto .
Alla prossima!